|
天津市第四十二中学 张鼎言 3. 已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点。 (Ⅰ)若动点M满足-=-+-+-(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程; (Ⅱ)在x轴上是否存在定点C，使-■为常数?若存在，求出点C的坐标;若不存在，请说明理由。 分析：(1)---=1，a2=b2=2→c=2 F1(-2，0). F2(2，0).A(x1，y1).B(x2，y2)，M(x，y) -=(x+2，y)，-=(x1+2，y1)， -=(x2+2，y2)，-=(2，0) x+2=x1+2+x2+2+2=x1+x2+6 x1+x2=x-4 y1+y2=y 若A(x1，y1).B(x2，y2)在---=1上，有---=1，---=1用(四)第四题方法，两式相减-=-而(-，-)恰是AB中点，当AB与x轴不垂直时，-恰是AB直线的斜率。 设N为AB中点，N(-，-)，又kAB=kNF2■=-(*) 当AB与x轴不垂直时， -=-=- 把中点N坐标，及kNF2代入(*)式，得出(x-6)2-y2=4。 当AB⊥x轴：x1=x2=2，y1=-y2， ∴x=8，y=0 同样满足(x-6)2-y2=4 分析(2)假设存在C(m，0)， -g-=(x1-m)(x2-m)+y1y2 =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2 A(x1，y1).B(x2，y2)为双曲线与直线y=k(x-2)两交点，m为所求参数. 此时(1)所述方法不适用，理由是出现了x1gx2，y1y2，这是(1)中方法不能实现的，转为过F2的直线方程y=k(x-2)与二次曲线联立(设k存在) - →(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0 1-k2≠0，反之，k≠±1，过F2的直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点。 x1+x2=-，x1x2=-， -g-=(1+k2)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2 =-+m2 若C(m，0)为定点，-g-的解析式应消去k，这是推导的目标。 | 
