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天津市第四十二中学 张鼎言 6. 已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx (Ⅰ)求f(-)的值; (Ⅱ)设α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。 解：(Ⅰ)化简f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x-- =sin(2x+-)-- f(-)=sin---=0 解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)-- =---， ∴sin(α+-)=- -sinα+-cosα=- sinα+-cosα=- -cosα=--sinα 两边平方整理关于sinα的二次方程： 16sin2α-4sinα-11=0 ∵α∈(0，π) ∴sinα=- 注：在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起着重要的作用。 (二)三角函数的图象与性质 复习导引：这一部分是高考的重点内容。三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质，又有其特殊的性质，周期性突显出来，如第3、9题，从图象角度审视，轴对称、中心对称、成为拟题的载体，如第4、5、6、11题。 1. 设函数f(x) =-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。 (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)如果f(x)在区间[--，-]上的最小值为-，求α的值。 解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α =--+-sin2ωx+α =-sin2ωx+-cos2ωx+α+- =sin(2ωx+-)+α+- 2ω■+-=-，ω=- (Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+- --≤x≤- 0≤x+-≤- fmin(x)=f(-)=--+α+-=- ∴α=-+- 2. 如图，函数y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0，1)。 (Ⅰ)求φ的值; (Ⅱ)设p是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求-与-的夹角。 解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=- 0≤φ≤- ∴φ=- (Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-) ∵P为最高点 ∴πx+-=-，x=-，Q(-，0) f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=- cos2α=-=- ∴-与-的夹角是arccos- 3. 已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A0，ω0，0-)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点(1，2)。 (1)求φ; (2)计算f(1)+f(2)+…+f(2023)。 解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ) fmax(x)=--(--)=2 ∴A=2 由已知，T=4=-，ω=- f(x)=1-cos(-x+2φ) f(1)=1-cos(-+2φ)=2 ∴sin2φ=1 0- ∴φ=- ∴f(x)=sin(-x)+1 (Ⅱ)f(1)=sin-+1=2 f(2)=sinπ+1=1 f(3)=sin-+1=0 f(4)=sin2π+1=1 又f(n)是以4为周期的函数 -=502 ∴f(1)+f(2)+…+f(2023)=502×4=2023 4. 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=-。 (Ⅰ)求φ; (Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间; (Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。 解：(Ⅰ)∵x=-为f(x)对称轴， ∴sin(2×■+φ)=±1. ∴sin(-+φ)=±1，-π0 ∴-+φ=--，φ=-- ∴f(x)=sin(2x--) 解：(Ⅱ)f(x)的单调递增区间 2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z 证明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=- f(x)=sin(2x--) k'=f'(x)=2cos(2x--) |k'|≤2 ∵k≠|k'| ∴不能相切 注：本题阐述了三角函数图象轴对称求解析式的方法。 | 
