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定比分点 定比分点公式(向量P1P= 向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 ，使 向量P1P= 向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+OP2)(1+(定比分点向量公式) x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b0，则a//b的重要条件是存在唯一实数，使a=b。 a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 a b=0。 ab的充要条件是 xx'+yy'=0。 零向量0垂直于任何向量. 设a=(x，y)，b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即共同起点，指向被减 a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣ ∣a∣。 当0时，a与a同方向; 当0时，a与a反方向; 当=0时，a=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数，都有a=0。 注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。 实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍; 当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a) b=(a b)=(a b)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a. 数对于向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b. 数乘向量的消去律：① 如果实数0且a=b，那么a=b。② 如果a0且a=a，那么=。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0〈a,b〉 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a b。若a、b不共线，则a b=|a| |b| cos〈a，b〉;若a、b共线，则a b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a b=x x'+y y'。 向量的数量积的运算律 a b=b a(交换律); (a) b=(a b)(关于数乘法的结合律); (a+b) c=a c+b c(分配律); 向量的数量积的性质 a a=|a|的平方。 ab 〈=〉a b=0。 |a b||a| |b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a b) c例如：(a b)^2a^2 b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a b=a c (a0)，推不出 b=c。 3、|a b||a| |b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 4、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作ab。若a、b不共线，则ab的模是：∣ab∣=|a| |b| sin〈a，b〉;ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b共线，则ab=0。 向量的向量积性质： ∣ab∣是以a和b为边的平行四边形面积。 aa=0。 a‖b〈=〉ab=0。 向量的向量积运算律 ab=-b (a)b=(ab)=a( (a+b)c=ac+bc. 注：向量没有除法，向量AB/向量CD是没有意义的。 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣; ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号; ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣∣a-b∣∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号; ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 | 
