2023高考数学:函数y=Asin(ωx+φ)的图象

2023高考各科复习资料

2023年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2023年高考复习，2023年高考一轮复习，2023年高考二轮复习，2023年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。

考纲解读

1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义，能画出y=Asin(ωx+φ)的图像，了解参数A、ω、φ对函数图像变化的影响.

2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

考向预测

1.“五点法”作图的有关知识是高考的热点.

2.图像的变换规律：平移和伸缩变换常在客观题中考查.

3.结合三角恒等变形，考查y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用是解答题中三角函数考查的热点.

知识梳理

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+φ)

(A0，ω0)，

x[0，+∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T=f==ωx+φ φ

2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图

用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.

有质量

x ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0

π

3.函数y=sinx的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0，ω0)的图像的步骤

4.三角函数模型的应用

(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像.

(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.

(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.

1.(2023·安徽文，7)要得到函数y=cos(2x+1)的图像，只要将函数y=cos2x的图像()

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

[解析]本题考查三角函数(余弦型函数)图像的平移问题.

y=cos(2x+1)=cos2(x+)，所以只须将y=cos2x图像向左平移个单位即可得到y=cos(2x+1)的图像.注意图像平移是对“x”而言的.

2.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω0)在区间[0,2π]的图像如下：

那么ω=()

A.1 B.2

C. D.

[答案]B

[解析]由图像可知，函数周期T=π，ω==2.

3.把y=sinx的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y=sinωx的图像，则ω的值为()

A.1 B.4

C. D.2

[解析]y=sinxy=sin(x)=sinx，ω=.

4.(文)将函数y=sin2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是()

A.y=cos2xB.y=2cos2x

C.y=1+sin D.y=2sin2x

[解析]本小题主要考查了三角函数图像的平移，同时考查了学生应用诱导公式化简三角函数式的能力.

(理)设函数f(x)=cosωx(ω0)，将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()

A. B.3

C.6 D.9

[解析]由题意可知，nT=(nN*)，

n·=(nN*)，ω=6n(nN*)，

当n=1时，ω取得最小值6.

5.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示，f=-，则f(0)=________.

[答案]

[解析]由图可知，=，T=，ω=3，故f(x)=Acos(3x+φ).f=-，Acos=-，Asinφ=-.又f=0，Acos=0，

sinφ=-cosφ，f(0)=Acosφ=-Asinφ=.

6.(2023·四川成都一模)已知函数f(x)=sin(x+)(x0)的图像与x轴的交点从左到右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，…，则数列{xn}的前4项和为________.

[答案]26

[解析]令f(x)=sin(x+)=0，则x+=kπ，

x=3k-1(kN*)，

x1+x2+x3+x4=3(1+2+3+4)-4=26.

7.(2023·山东理，17)已知向量m=(sinx,1)，n=(Acosx，cos2x)(A0)，函数f(x)=m·n的最大值为6.

(1)求A;

(2)将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像.求g(x)在[0，]上的值域.

[解析](1)f(x)=m·n=Asinxcosx+cos2x

=Asin2x+cos2x=Asin(2x+)，

因为f(x)的最大值为6，所以A=6.

(2)函数y=f(x)的图像向左平移个单位得到函数y=6sin[2(x+)+]的图像，再将所得图像各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=6sin(4x+).

当x[0，]时，4x+[，]，

sin(4x+)[-，1]，g(x)[-3,6].

故函数g(x)在[0，]上的值域为[-3,6].

[例1]作出函数y=3sin，xR的简图，说明它与y=sinx图像之间的关系.

[分析]利用五点作图法作出函数图像，然后判断图像间的关系.

函数y=Asin(ωx+φ)的图像[解析]按“五点法”，令2x+分别取0，，π，π，2π时，x相应取-，，，，，所对应的五点是函数y=3sin，x的图像上起关键作用的点.

列表：

x - 2x+ 0 π 2π 3sin 0 3 0 -3 0

描点画图，如图.

利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到

y=3sin，xR的简图.

从图可以看出，y=3sin的图像，是用下面方法得到的.

[点评]解法1是先平移，后伸缩;解法2是先伸缩，后平移.表面上看，两种变换方法中的平移分别是和，是不同的，但由于平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的.

已知函数y=sin+cos(xR).

(1)用“五点法”画出它的图像;

(2)求它的振幅、周期及初相;

(3)说明该函数的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换而得到?

[解析](1)y=2sin(+)，令X=+，

列表如下：

X 0 π 2π x - y 0 2 0 -2 0

描点连线得图像如图

(2)振幅A=2，周期T=4π，初相为.

(3)将y=sinx图像上各点向左平移个单位，得到y=sin(x+)的图像，再把y=sin(x+)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin(+)的图像.最后把y=sin(+)的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y=2sin(+)的图像.

[点评]用“五点法”作图应抓住四条：化为y=Asin(ωx+φ)(A0，ω0)或y=Acos(ωx+φ)(A0，ω0)的形式;求出周期T=;求出振幅A;列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点.

[例2]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω0，|φ|)的图像的一部分如图所示：

(1)求f(x)的表达式;

(2)试写出f(x)的对称轴方程.

求三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式[分析](1)函数的最大值为3，最小值为-1，周期T=π，从而A，b，ω可求，再代入(，3)，可求φ值.

(2)根据y=sinx的对称轴方程得到所求的对称轴方程.

[解析](1)由图像可知，函数的最大值M=3，最小值m=-1，

则A==2，b==1.

又T=2(π-)=π，ω===2，

f(x)=2sin(2x+φ)+1.

将x=，y=3代入上式，得sin(+φ)=1，

∴+φ=+2kπ，kZ，

即φ=+2kπ，kZ，

又|φ|，φ=，

f(x)=2sin(2x+)+1.

(2)由2x+=+kπ(kZ)得

x=+kπ，kZ，

f(x)=2sin(2x+)+1的对称轴方程为：

x=+kπ，kZ.

[点评]在确定φ值时，也可用五点法确定，往往以寻找“五点法”中的第一零点(-，0)作为突破口.具体如下：

“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.

(文)已知简谐运动f(x)=2sin(|φ|)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()

A.T=6，φ= B.T=6，φ=

C.T=6π，φ= D.T=6π，φ=

[解析]最小正周期T==6.

f(x)过点(0,1)，1=2sinφ，又|φ|，φ=.

(理)函数y=Asin(ωx+φ)(ω0，|φ|，xR)的部分图像如图所示，则函数表达式为______________.

[答案]y=-4sin

[解析]由图像可以看出，A=4，=6+2，T=16.

则ω==.将点(-2,0)代入y=4sin中得sin=0.-+φ=π，φ=，

y=4sin.又|φ|.

∴函数表达式y=4sin

=-4sin.

[点评]三角函数图像中，图像上与x轴相邻两个交点之间的距离为半个周期，相邻两对称轴之间的距离为半个周期.

[例3]已知函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin(0π)，其图像过点.

(1)求φ的值;

(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值.

三角函数性质的综合应用[分析]本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力.可直接利用公式化简求值.

[解析](1)因为已知函数图像过点，所以有=sinsinφ+cos2cosφ-sin(0π)，即有1=sinφ+cosφ-cosφ(0π)，

所以sin=1，所以φ+=，解得φ=.

(2)由(1)知φ=，所以f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin(0π)

=sin2x+cos2x-=sin2x+×-

=sin，

所以g(x)=sin，因为x，

所以4x+，

所以当4x+=时，g(x)取最大值;

当4x+=时，g(x)取最小值-.

[点评]高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中，需要利用这些公式，先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.

已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsin(ωx+)+2cos2ωx，xR(ω0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

(1)求f(x)的对称轴方程;

(2)求f(x)的单调递增区间.

[解析](1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+

=sin(2ωx+)+.

令2ωx+=，将x=代入可得：ω=1，

f(x)=sin(2x+)+，

对称轴方程为2x+=kπ+(kZ)，

即x=kπ+(kZ).

(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+(kZ)可得：

单调增区间为[kπ-，kπ+](kZ).

考纲解读

1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义，能画出y=Asin(ωx+φ)的图像，了解参数A、ω、φ对函数图像变化的影响.

2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

考向预测

1.“五点法”作图的有关知识是高考的热点.

2.图像的变换规律：平移和伸缩变换常在客观题中考查.

3.结合三角恒等变形，考查y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用是解答题中三角函数考查的热点.

知识梳理

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+φ)

(A0，ω0)，

x[0，+∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T=f==ωx+φ φ

2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图

用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.

有质量

x ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0

π

3.函数y=sinx的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0，ω0)的图像的步骤

4.三角函数模型的应用

(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像.

(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.

(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.

1.(2023·安徽文，7)要得到函数y=cos(2x+1)的图像，只要将函数y=cos2x的图像()

A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

[解析]本题考查三角函数(余弦型函数)图像的平移问题.

y=cos(2x+1)=cos2(x+)，所以只须将y=cos2x图像向左平移个单位即可得到y=cos(2x+1)的图像.注意图像平移是对“x”而言的.

2.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω0)在区间[0,2π]的图像如下：

那么ω=()

A.1 B.2

C. D.

[答案]B

[解析]由图像可知，函数周期T=π，ω==2.

3.把y=sinx的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y=sinωx的图像，则ω的值为()

A.1 B.4

C. D.2

[解析]y=sinxy=sin(x)=sinx，ω=.

4.(文)将函数y=sin2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是()

A.y=cos2xB.y=2cos2x

C.y=1+sin D.y=2sin2x

[解析]本小题主要考查了三角函数图像的平移，同时考查了学生应用诱导公式化简三角函数式的能力.

(理)设函数f(x)=cosωx(ω0)，将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()

A. B.3

C.6 D.9

[解析]由题意可知，nT=(nN*)，

n·=(nN*)，ω=6n(nN*)，

当n=1时，ω取得最小值6.

5.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示，f=-，则f(0)=________.

[答案]

[解析]由图可知，=，T=，ω=3，故f(x)=Acos(3x+φ).f=-，Acos=-，Asinφ=-.又f=0，Acos=0，

sinφ=-cosφ，f(0)=Acosφ=-Asinφ=.

6.(2023·四川成都一模)已知函数f(x)=sin(x+)(x0)的图像与x轴的交点从左到右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，…，则数列{xn}的前4项和为________.

[答案]26

[解析]令f(x)=sin(x+)=0，则x+=kπ，

x=3k-1(kN*)，

x1+x2+x3+x4=3(1+2+3+4)-4=26.

7.(2023·山东理，17)已知向量m=(sinx,1)，n=(Acosx，cos2x)(A0)，函数f(x)=m·n的最大值为6.

(1)求A;

(2)将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像.求g(x)在[0，]上的值域.

[解析](1)f(x)=m·n=Asinxcosx+cos2x

=Asin2x+cos2x=Asin(2x+)，

因为f(x)的最大值为6，所以A=6.

(2)函数y=f(x)的图像向左平移个单位得到函数y=6sin[2(x+)+]的图像，再将所得图像各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=6sin(4x+).

当x[0，]时，4x+[，]，

sin(4x+)[-，1]，g(x)[-3,6].

故函数g(x)在[0，]上的值域为[-3,6].

[例1]作出函数y=3sin，xR的简图，说明它与y=sinx图像之间的关系.

[分析]利用五点作图法作出函数图像，然后判断图像间的关系.

函数y=Asin(ωx+φ)的图像[解析]按“五点法”，令2x+分别取0，，π，π，2π时，x相应取-，，，，，所对应的五点是函数y=3sin，x的图像上起关键作用的点.

列表：

x - 2x+ 0 π 2π 3sin 0 3 0 -3 0

描点画图，如图.

利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到

y=3sin，xR的简图.

从图可以看出，y=3sin的图像，是用下面方法得到的.

[点评]解法1是先平移，后伸缩;解法2是先伸缩，后平移.表面上看，两种变换方法中的平移分别是和，是不同的，但由于平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的.

已知函数y=sin+cos(xR).

(1)用“五点法”画出它的图像;

(2)求它的振幅、周期及初相;

(3)说明该函数的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换而得到?

[解析](1)y=2sin(+)，令X=+，

列表如下：

X 0 π 2π x - y 0 2 0 -2 0

描点连线得图像如图

(2)振幅A=2，周期T=4π，初相为.

(3)将y=sinx图像上各点向左平移个单位，得到y=sin(x+)的图像，再把y=sin(x+)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin(+)的图像.最后把y=sin(+)的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y=2sin(+)的图像.

[点评]用“五点法”作图应抓住四条：化为y=Asin(ωx+φ)(A0，ω0)或y=Acos(ωx+φ)(A0，ω0)的形式;求出周期T=;求出振幅A;列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点.

[例2]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω0，|φ|)的图像的一部分如图所示：

(1)求f(x)的表达式;

(2)试写出f(x)的对称轴方程.

求三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式[分析](1)函数的最大值为3，最小值为-1，周期T=π，从而A，b，ω可求，再代入(，3)，可求φ值.

(2)根据y=sinx的对称轴方程得到所求的对称轴方程.

[解析](1)由图像可知，函数的最大值M=3，最小值m=-1，

则A==2，b==1.

又T=2(π-)=π，ω===2，

f(x)=2sin(2x+φ)+1.

将x=，y=3代入上式，得sin(+φ)=1，

∴+φ=+2kπ，kZ，

即φ=+2kπ，kZ，

又|φ|，φ=，

f(x)=2sin(2x+)+1.

(2)由2x+=+kπ(kZ)得

x=+kπ，kZ，

f(x)=2sin(2x+)+1的对称轴方程为：

x=+kπ，kZ.

[点评]在确定φ值时，也可用五点法确定，往往以寻找“五点法”中的第一零点(-，0)作为突破口.具体如下：

“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.

(文)已知简谐运动f(x)=2sin(|φ|)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()

A.T=6，φ= B.T=6，φ=

C.T=6π，φ= D.T=6π，φ=

[解析]最小正周期T==6.

f(x)过点(0,1)，1=2sinφ，又|φ|，φ=.

(理)函数y=Asin(ωx+φ)(ω0，|φ|，xR)的部分图像如图所示，则函数表达式为______________.

[答案]y=-4sin

[解析]由图像可以看出，A=4，=6+2，T=16.

则ω==.将点(-2,0)代入y=4sin中得sin=0.-+φ=π，φ=，

y=4sin.又|φ|.

∴函数表达式y=4sin

=-4sin.

[点评]三角函数图像中，图像上与x轴相邻两个交点之间的距离为半个周期，相邻两对称轴之间的距离为半个周期.

[例3]已知函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin(0π)，其图像过点.

(1)求φ的值;

(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值.

三角函数性质的综合应用[分析]本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力.可直接利用公式化简求值.

[解析](1)因为已知函数图像过点，所以有=sinsinφ+cos2cosφ-sin(0π)，即有1=sinφ+cosφ-cosφ(0π)，

所以sin=1，所以φ+=，解得φ=.

(2)由(1)知φ=，所以f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin(0π)

=sin2x+cos2x-=sin2x+×-

=sin，

所以g(x)=sin，因为x，

所以4x+，

所以当4x+=时，g(x)取最大值;

当4x+=时，g(x)取最小值-.

[点评]高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中，需要利用这些公式，先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.

已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsin(ωx+)+2cos2ωx，xR(ω0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

(1)求f(x)的对称轴方程;

(2)求f(x)的单调递增区间.

[解析](1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+

=sin(2ωx+)+.

令2ωx+=，将x=代入可得：ω=1，

f(x)=sin(2x+)+，

对称轴方程为2x+=kπ+(kZ)，

即x=kπ+(kZ).

(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+(kZ)可得：

单调增区间为[kπ-，kπ+](kZ).