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我们学过的常用运算有：+、-、、等. 如：2+3=5 23=6 都是2和3，为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的+，-，，运算不相同. 我们先通过具体的运算来了解和熟悉定义新运算. 例1 设a、b都表示数，规定a△b=3a2b， ①求 3△2， 2△3; ②这个运算△有交换律吗? ③求(17△6)△2，17△(6△2); ④这个运算△有结合律吗? ⑤如果已知4△b=2，求b. 分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2= 33-22=9-4= 5 2△3=32-23=6-6=0. ②由①的例子可知△没有交换律. ③要计算(17△6)△2，先计算括号内的数，有：17△6=317-2再计算第二步 39△2=3 39-22=113， 所以(17△6)△2=113. 对于17△(6△2)，同样先计算括号内的数，6△2=36-22=14，其次 17△14=317-214=23， 所以17△(6△2)=23. ④由③的例子可知△也没有结合律.⑤因为4△b=34-2b=12-2b，那么12-2b=2，解出b=5. 例2 定义运算※为a※b=ab-(a+b)，①求5※7，7※5; ②求12※(3※4)，(12※3)※4; ③这个运算※有交换律、结合律吗?④如果3※(5※x)=3，求x. 解：① 5※7=57-(5+7)=35-12=23，7※ 5= 75-(7+5)=35-12=23. ②要计算12※(3※4)，先计算括号内的数，有：3※4=34-(3+4)=5，再计算第二步12※5=125-(12+5)=43， 所以 12※(3※4)=43. 对于(12※3)※4，同样先计算括号内的数，12※3=123-(12+3)=21，其次 21※4=214-(21+4)=59，所以(12※ 3)※4=59.③由于a※b=ab-(a+b); b※a=ba-(b+a) =ab-(a+b)(普通加法、乘法交换律) 所以有a※b=b※a，因此※有交换律. 由②的例子可知，运算※没有结合律. ④5※x=5x-(5+x)=4x-5; 3※(5※x)=3※(4x-5) =3(4x-5)-(3+4x-5) =12x-15-(4x-2) = 8x- 13 那么 8x-13=3 解出x=2. ③这个运算有交换律和结合律吗? 副标题#e# 的观察，找到规律： 例5 x、y表示两个数，规定新运算*及△如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，(2*3)△4=64，求(1△2)*3的值. 分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2)*3的值，首先我们要计算1△2，根据△的定义：1△2=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a. (1△2)*3=a*3，按*的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过(2*3)△4=64求出 k的值. 解：因为1*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n =5.又因为m、n均为自然数，所以解出： ①当m=1，n=2时： (2*3)△4=(12+23)△4 =8△4=k84=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时： (2*3)△4=(32+13)△4 =9△4=k94=36k 所以m=l，n=2，k=2. (1△2)*3=(212)*3 =4*3 =14+23 =10. 在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否有这些规则之前，不能应用这些运算律来解题。 | 
