河南省2023九年级数学上学期期中考试卷(含答案解析)

河南省2023九年级数学上学期期中考试卷(含答案解析)

一、选择题：每小题3分，共24分．

1．下列计算错误的是（）

A． ? = B． + =3 C． + =2 D． = ×

2．下列说法中，正确的是（）

A． 如果 ，那么

B．

C． 方程x2+x﹣2=0的根是x1=﹣1，x2=2

D．

3．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）

A． B． C． D．

4．为了美观，在加工太阳镜时降下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）

A． y= （x+3）2 B． y=﹣ （x﹣3）2 C． y=﹣ （x+3）2 D． y= （x﹣3）2

5．如图，在平行四边 形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG= ，则△EFC的周长为（）

A． 11 B． 10 C． 9 D． 8

6．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（）

A． 当k=0时，方程无解

B． 当k=1时，方程有一个实数解

C． 当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解

D． 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：

①abc＜0；

②2a﹣b=0；

③4a+2b+c＜0；

④若（﹣5，y1），（ ，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．

其中说法正确的是（）

A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④

8．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，0），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）

A． （6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2）

二、填空题：每小题3分，共21分．

9．△ABC中， 若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2=0，则∠C=度．

10．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是．

11．如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏．距报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手 势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，那么两人打平的概率P=．

12．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．

13．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥ AD，迎水坡AB长26米，且斜坡AB的坡度为 ，则河堤的高BE为米．

14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的部分对应值如表：则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1，x2的取值范围是．

x ﹣1 ﹣ 0 1 2 3

y ﹣2 ﹣ 1 4 2 1 ﹣ ﹣2

15．如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△AB C绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．△ABC与△DEF重叠部分的面积为cm2．

三、解答题：每小题12分，共12分．

16．（1）计算： ﹣| ﹣2|﹣ + +（ ）0

解方程：（5x﹣1）（x+1）=2x+3．

17．有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0 ，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．

（1）用（m，n）表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图（或列表），写出（m，n）的所有取值；

求关于x的一元二次方程 没有实数根的概率．

18．如图，在9×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．

（1）求证：△ACB∽△DCE；

求△DFB和△DCE的面积比．

19．如图是已建设封顶的16层楼房和它的塔吊示意图， 吊臂AG与地面EH平行，测得点A到楼顶D点的距离为5米，每层楼高3.5米，在吊臂上有一点B，AB=16米，在C点测得A点的俯角（∠MCA）为20°，B点的俯角（∠MCB）为40°，AE、CH都垂直于地面，求塔吊的高CH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

20．已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x， DE=y．

（1）写出y与x之间的关系式；

若点E与点A重合，求x的值．

21．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：

（1）求y与x的关系式；

当x取何值时，y的值最大？

（3）如果公司想要在这段时间内获得2023元的销售利润，销售单价应定为多少元？

22．【阅读理解】

如图1，在△ABC中，AD平分，求证： = ．

小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，构造△EBD∽△ACD，达到证明 = 的目的．

（1）请完成小明的证明过程．

【应用结论】

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα= ，AB=12．

①求线段BD的长度．

②求线段CD的长度和sin2α的值．

小明分析：由（1）知 = ，设CD=t，则AC= t，解Rt△ABC可得结论．请你写出解答．

23．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．

河南省2023九年级数学上学期期中考试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共24分．

1．下列计算错误的是（）

A． ? = B． + =3 C． + =2 D． = ×

考 点： 二次根式的混合运算．

分析： 根据二次根式的乘法对A进行判断；根据二次根式的加法对B、C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．

解答： 解：A、 ? = ，所以A选项的计算正确；

B． + =2 + =3 ，所以B选项的计算正确；

C. + =2 + =3 ，所以C选项的计算错误；

D. = =6，所 以D选项的计算错误．

故选：C、D．

点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．

2．下列说法中，正确的是（）

A． 如果 ，那么

B．

C． 方程x2+x﹣2=0的根是x1=﹣1，x2=2

D．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；比例的性质．

专题： 计算题．

分析： A、等式两边利用同分母分数加法逆运算法则变形得到结果，即可做出判断；

B、当a与b都小于0时，原式不成立；

C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判断 ；

D、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断．

解答： 解：A、 = 变形得： +1= +1，即 = ，本选项正确；

B、当a≥0，b≥0时， = ? ，本选项错误；

C、方程因式分解得：（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=1，x2=﹣2，本选项错误；

D、 =|x﹣1|，本选项错误，

故选A

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，以及比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）

A． B． C． D．

考点： 列表法与树状图法．

分析： 列举出所有情况，看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可．

解答： 解：

男1 男2 男3 女1 女2

男1 一 一 √ √

男2 一 一 √ √

男3 一 一 √ √

女1 √ √ √ 一

女2 √ √ √ 一

∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）= ．

故选B．

点评： 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

4．为了美观，在加工太阳镜时降下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图），对应的两 条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）

A． y= （x+3）2 B． y=﹣ （x﹣3）2 C． y=﹣ （x+3）2 D． y= （x﹣3）2

考点： 二次函数的应用．

分析： 利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称 ，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．

解答： 解：∵高CH=1cm，BD=2cm，

而B、D关于y轴对称，

∴D点坐标为（1，1），

∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，

∴AB关于直线CH对称，

∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0 ），

∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），

设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，

把D（1，1）代入得1=a×（1﹣ 3）2，解得a= ，

故右边抛物线的解析式为y= （x﹣3）2．

故选D．

点评： 本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．

5．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG= ，则△EFC的周长为（）

A． 11 B． 10 C． 9 D． 8

考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．

分析： 判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等 腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．

解答： 解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠BAF=∠DAF，

∵AB∥DF，AD∥BC，

∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE=6，AD=DF=9，

∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，

∵AD∥BC，

∴△EFC是等腰三角形，且CF=CE，

∴EC=FC=DF﹣DC=9﹣6=3， = ，

在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4 ，

∴AG= =2，

∴AE=2AG=4，

∴△ABE的周长等于16，

又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，

∴△CEF的周长为8．

故选D．

点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．

6．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（）

A． 当k=0时，方程无解

B． 当k=1时，方程有一个实数解

C． 当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解

D． 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

考点： 根的判别式；一元一次方程的解．

分析： 利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可．

解答： 解：关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，

A、当k=0时，x﹣1=0，则x=1，故此选项错误；

B、当k=1时，x2﹣1=0方程有两个实数解，故此选项错误；

C、当k=﹣1时，﹣x2+2 x﹣1=0，则（x﹣1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；

D、由C得此选项错误．

故选：C．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判断方程根的情况是解题关键．

7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：

①abc＜0；

②2a﹣b=0；

③4a+2b+c＜0；

④若（﹣5，y1），（ ，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．

其中说法正确的是（）

A． ①② B． ②③ C． ①②④ D ． ②③④

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题．

分析： 根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．

解答： 解：∵二次函数的图象的开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0，

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，

∴﹣ =﹣1，

∴b=2a＞0，

∴abc＜0，∴①正确；

2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．

∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），

∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，

∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），

根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，

∵ ＜3，

∴y2＜y1，∴④正确；

故选：C．

点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

8．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，0），以C，D，E为顶点的三角形与△AB C相似，则点E的坐标不可能是（）

A． （6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2）

考点： 相似三角形的判定；坐标与图形性质．

分析： 根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．

解答： 解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．

A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；

B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；

C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；

D、当点E 的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；

故选：B．

点评： 本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．

二、填空题：每小题3分，共21分．

9．△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2=0，则∠C=105度．

考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．

分析： 根据非负数的性质可求出sinA和cosB的值，根据特殊角的三角函数值，求出∠A和∠B的值，再根据三角形的内角和是180度，求出∠C的值．

解答： 解：由题意知sinA﹣ =0， ﹣cosB=0，

∴sinA= ，cosB= ，

∴∠A=45°，∠B=30°．

∴∠C=105°．

点评： 本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值 、三角形内角和定理．

初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每个部分都等于0．

10．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 ．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得： ，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．

解答： 解：∵∠BAC=∠ACD= 90°，

∴AB∥C D，

∴△ABE∽△DCE，

∴ ，

∵在Rt△ACB中∠B=45°，

∴AB=AC，

∵在Rt△ACD中，∠D=30°，

∴CD= = AC，

∴ = = ．

故答案为： ．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

11．如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏．距报道，“国际剪刀石头布协 会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．“剪刀石头布”比赛时双方每次 任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两 人只比赛一局，那么两人打平的概率P= ．

考点： 游戏公平性．

分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人打平的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两人打平的有3种情况，

∴两人打平的概率P= ．

故答案为： ．

点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是y=﹣ ．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标求得a．

解答： 解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），

由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，

故﹣2=4a，

a=﹣ ，

故y=﹣ ．

点评： 本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．

13．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长26米，且斜坡AB的坡度为 ，则河堤的高BE为24米．

考点： 解直角三角形的应用- 坡度坡角问题．

分析： 由已知斜坡AB的坡度 ，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．

解答： 解：由已知斜坡AB的坡度 ，得：

BE：AE=12：5，

设AE=5x，则BE=12x，

在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：

262=5x2+（12x）2，

即169x2=676，

解得：x=2或x=﹣2（ 舍去），

5x=10，12x=24

即河堤高BE等于24米．

故答案为：24．

点评： 本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，解题的关键是从图中抽象出直角三角形，难度不大．

14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的部分对应值如表：则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1，x2的取值范围是﹣ ＜x1＜0，2＜x2＜ ．

x ﹣1 ﹣ 0 1 2 3

y ﹣2 ﹣ 1 4 2 1 ﹣ ﹣2

考点： 图象法求一元二次方程的近似根．

分析： 根据表格中的自变量与函数值，可得答案．

解答： 解：当x=﹣ 时y=﹣ ，x=0时y=1，得﹣ ＜x＜0；

当x=2时，y=1，x= 时y=﹣ ，得2＜x＜ ，

故答案为：﹣ ＜x1＜0，2＜x2＜ ．

点评： 本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．

15．如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．△ABC与△DEF重叠部分的面积为9cm2．

考点： 旋转的性质．

专题： 计算题．

分析： 如图，由点P为斜边BC的中点得到PC= BC=6，再根据旋转的性质得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△PFH中计算出PH= PF=2 ；在Rt△CPM中计算出PM= PC=2 ，且∠PMC=60°，则∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF﹣PM=6﹣2 ，则在Rt△FMN中可计算出MN= FM=3﹣ ，FN= MN=3 ﹣3，然后根据三角形面积公式和利用△ABC与△DEF重叠部分的面积=S△FPH﹣S△FMN进行计算即可．

解答： 解：如图，

∵点P为斜边BC的中点，

∴PB=PC= BC=6，

∵△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，

∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，

在Rt△PFH中，∵∠F=30°，

∴PH= PF= ×6=2 ，

在Rt△CPM中，∵∠C=30°，

∴PM= PC= ×6=2 ，∠PMC=60°，

∴∠FMN=∠PMC=60°，

∴∠FNM=90°，

而FM=PF﹣PM=6﹣2 ，

在Rt△FMN中，∵∠F=30°，

∴MN= FM=3﹣ ，

∴FN= MN=3 ﹣3，

∴△ABC与△DEF重叠部分的面积=S△FPH﹣S△FMN

= ×6×2 ﹣ （3﹣ ）（3 ﹣3）

=9（cm2）．

故答案为9．

点评： 本题考查了旋转的性质 ：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

三、解答题：每小题12分， 共12分．

16． （1）计算： ﹣| ﹣2|﹣ + +（ ）0

解方程：（5x﹣1）（x+1）=2x+3．

考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；解一元二次方程-公式法；特殊角的三角函数值．

分析： （1）根据特殊角的三角函数值，绝对值，分母有理化，立方根，零指数幂分别求出每一部分的值，再代入合并即可；

整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．

解答： 解：（1）原式= ﹣﹣+2+1

=1﹣2+ ﹣2﹣ +3

（5x﹣1）（x+1）=2x+3，

方程整理得：5x2+4x﹣1=2x+3，

即5x2+2x﹣4=0，

这里a=5，b=2，c=﹣4，

∵△=4+80=84＞0，

∴x= ，

x1= ，x2= ．

点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，分母有理化，立方根，零指数幂，解一元二次方程的应用，主要考查学生运用所学的知识点进行计算的能力，难度适中．

17．有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．

（1）用（m，n）表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图（或列表），写出（m，n）的所有取值；

求关于x的一元二次方程 没有实数根的概率．

考点： 列表法与树状图法；根的判别 式．

分析： （1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，

利用m，n的值确定△＜0时的个数，根据概率公式求出该事件的概率．

解答： 解：（1）列表为

A

B 0 1 2 3

0 （0，0） （1，0） （3，0）

1 （0，1） （1，1） （3，1）

2 （0，2 ） （1，2 ） （3，2）

由列表知，（m，n）有12种可能；

由方程得△=m2﹣2n，

当（m，n）的对应值是（0，1），（0，2），（1，1），（1，2）时，

△＜0，原方程没有实数根，故 ，

答：关于x的一元二次方程 没有实数根的概率为 ．

点评： 此题主要考查了列表法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

18．如图，在9×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．

（1）求证：△ACB∽△DCE；

求△DFB和△DCE的面积比．

考点： 相似三角形的判定与性质．

专题： 网格型．

分析： （1）从图中得到AC=3，CD=2 ，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，故有 ，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到△ACB∽△DCE；

先由相似三角形的对应角相等得出∠ABC=∠DEC，又∠BDF=∠EDC，得出△DFB∽△DCE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．

解答： （1）证明：∵AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，

∴ ， ，

∴ ，

又∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴△ACB∽△DCE；

解：在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2=22+42=20．

∵△ACB∽△DCE，

∴∠ABC=∠DEC，

又∵∠BDF=∠EDC，

∴△DFB∽△DCE．

∴S△DFB：S△DCE=DB2：DE2=16：20=4：5．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，难度适中．用到的知识点：

两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；

相似三角形的对应角相等；

相似三角形的面积比等于相似比的平方．

19．如图是已建设封顶的16层楼房和它的塔吊示意图，吊臂AG与地面EH平行，测得点A到楼顶D点的距离为5米，每层楼高3.5米，在吊臂上有一点B，AB=16米，在C点测得A点的俯角（∠MCA）为20°，B点的俯角（∠MCB）为40°，AE、CH都垂直于地面，求塔吊的高CH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析： 由题意，判断出AB=BC，求出CG的长，根据楼高求出GH的长，CG+HG即为CH的长．

解答： 解：根据题意 得，DE=3.5×16=56米，AB=EF=16米，

∵∠ACB=∠CBG﹣∠CAB=20°，

∴∠ACB=∠CAB，

∴CB=AB=16米，

在Rt△GBC中，CG=BC?sin40°=16×0.64=10.24米，

∴CH=CG+HG=CG+DE+AD=10.24+56+5=71.24≈71.2米，

∴塔吊的高CH的长是71.2米．

点评： 本题考查了仰角和俯角问题，将CG的长转化为解直角三角形的问题是解题的关键．

20．已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y．

（1）写出y与x之间的关系式；

若点E与点A重合，求x的值．

考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

分析： （1）证明△CMP∽△DEP，得出y与x的关系式；根据y的值，解方程求出x在值．

解答： 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，AB=DC=4，

∴∠CMP+∠CPM=90°，

∵PE⊥PM，

∴∠DPE+∠CPM=90°，

∴∠CMP=∠DPE，

∴△CMP∽△DEP，

∴ ，

又CP=x，DE=y，

∴DP=4﹣x，

又M为BC的中点，BC=2，

∴CM=1，

∴ ，

∴y=﹣x2+4x；

当E与A重合时，DE=AD=BC=2，

∴y=2，即x2﹣4x+2= 0，

解得：x=2 ，

经检验适合题意，

∴x的值为 或 ．

点评： 本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质以及二次函数的运用，证明三角形相似是解决问题的关键．

21．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：

（1）求y与x的关系式；

当x取何值时，y的值最大？

（3）如果公司想要在这段时间内获得2023元的销售利润，销售单价应定为多少元？

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，整理即可解答；

利用配方法可求最值；

（3）把函数值代入，解一元二次方程解决问题．

解答： 解：（1）y=（x﹣50）?w=（x﹣50）?（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣20230，

因此y与x的关系式为：y=﹣2x2+340x﹣20230．

y=﹣2x2+340x﹣20230=﹣2（x﹣85）2+2023，

∴当x=85时，在50＜x≤90内，y的值最大为2023．

（3）当y=2023时，可得方程﹣2（x﹣85）2+2023=2023，

解这个方程，得x1=75，x2=95；

根据题意，x2=95不合题意应舍去．

答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2023元．

点评： 此题考查利用基本数量关系列出函数、二次函数的最值以及二次函数与一元二次方程的关系．

22．【阅读理解】

如图1，在△ABC中，AD平分，求证： = ．

小 明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，构造△EBD∽△ACD，达到证明 = 的目的．

（1）请完成小明的证明过程．

【应用结论】

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα= ，AB=12．

①求线段BD的长度．

②求线段CD的长度和sin2α的值．

小明分析：由（1）知 = ， 设CD=t，则AC= t，解Rt△ABC可得结论．请你写出解答．

考点： 相似形综合题．

分析： （1）如图，过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，根据平行线的性质得到∠DBE=∠C，∠DAC=∠E，由于∠BDE=∠CDA，推出△BDE∽△CDA，得到 ，由于AD平分∠BAC，于是得到∠BAD=∠DAC=∠E，等量代换得到结论；

①在Rt△ABD中，∠B=90°∠BAD=a，sinα= ，AB=12，于是求得sinα= = ，可设BD=x，ad= x，由勾股定理得，即可得到结果；②由（1）知 ，设CD=t （t＞0），则AC=2t，在Rt△abc中，AB2+BC2=AC2，根据勾股定理得到CD=10，AC=20于是求得sin2α= = ．

解答： （1）证明：如图，过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，

∴∠DBE=∠C，∠DAC=∠E，

又∠BDE=∠CDA，

∴△BDE∽△CDA，

∴ ，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC=∠E，

∴BE=AB，

∴ ；

解：①在Rt△ABD中，∠B=90°∠BAD=a，sinα= ，AB=12，

∴sinα= = ，可设BD=x，ad= x，

由勾股定理得，x2+122=（ x）2，

解得：x=6，

故所求线段BD的长度为6；

②由（1）知 ，

设CD=t （t＞0），则AC=2t，

在Rt△abc中，AB2+BC2=AC2，

∴（6+t）2+122=2，

解得：t1 =﹣6＜0，舍去；或t2=10，

∴CD=10，AC=20

∴sin2α= = ．

点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角函数，勾股定理 作辅助线构造相似三角形是解题的关键．

23．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点 M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）根据点A、B的坐标设抛物线交点式解析式y=a（x+1）（x﹣3），然后把点C的坐标代入求出a的值即可得解；再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；

设直线BD的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=﹣2x+6，然 后设点P的坐标为（p，﹣2p+6）再根据四边形PMAC的面积等于△AOC和梯形COMP的面积之和列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、 B（3，0），

∴可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），

∴3=a（0+1）（0﹣3），

解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），

即y=﹣x2+2x+3，

∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；

设直线BD的解析式为y=kx+b，

由B（3，0），D（1，4）得 ，

解得 ，

∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，

∵点P在直线PD上，

∴设P（p，﹣2p+6），

则OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，

四边形PMAC的面积= ×1×3+ ×（﹣2p+6+3）×p，

=﹣p2+ p+ ，

=﹣（p﹣ ）2+ ，

∵1＜ ＜3，

∴当p= 时，四边形PMAC的面积取得最大值为 ，

此时，﹣2p+6=﹣2× +6= ，

点P的坐标为（ ， ）．

点评： 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，不 规则四边形的面积的求解，二次函数的最值问题，（1）利用二次函数交点式形式求解更简便，把不规则四边形的面积分成三角形和梯形两个部分求解是解题的关键．