临沂市2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析)

临沂市2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共42分）

1．下列各点中，在函数y=﹣ 图象上的是（）

A． （﹣2，﹣4） B． （2，3） C． （﹣1，6） D． （﹣ ，3）

2．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A． k＜1 B． k＞1 C． k=1 D． k≥0

3．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）

A． 1 B． C． D．

4．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．

5．已知二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）

A． 0或2 B． 0 C． 2 D． 无法确定

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为 ，AC=2，则DC的值是（）

A． 2 B． C． 2.5 D． 4

7．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（）

A． B． C． D．

8．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（）

A． B． C． D．

9．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为 的中点，点P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值是（）

A． 1 B． C． D．

10．如图，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG=4 ，则△CEF的面积是（）

A． B． 2 C． 3 D． 4

11．已知反比例函数y= （a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数y=﹣ax+a的图象不经过（）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

12．如图，直线l和双曲线 （k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）

A． S1＜S2＜S3 B． S1＞S2＞S3 C． S1=S2＞S3 D． S1=S2＜S3

13．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A． B． C． D．

14．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，则下列等式成立的是（）

A． b2=ac B． b2=ce C． be=ac D． bd=ae

二、填空题（每小题3分，共15分）

15．在反比例函数y= 的图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是．

16．如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：

①∠AFC=∠C；

②DE=CF；

③△ADE∽△FDB；

④∠BFD=∠CAF

其中正确的结论是．

17．如图，L1是反比例函数y= 在第一象限内的图象，且过点A（2，1），L2与L1关于x轴对称，那么图象L2的函数解析式为（x＞0）．

18．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=，公共部分面积y最大，y最大值=．

19．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．

三、解答题（共63分）

20．将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．

（1）随机地抽取一张，求P（偶数）；

（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数恰好为“68”的概率是多少？

21．已知图中的曲线函数 （m为常数）图象的一支．

（1）求常数m的取值范围；

（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x图象在第一象限的交点为A（2，n），求点A的坐标及反比例函数的解析式．

22．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且当x=﹣1时，y=﹣1，当x=2时，y=5，求y关于x的函数关系式．

23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．

（1）求证：△CBE∽△AFB；

（2）当 时，求 的值．

24．（10分）如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，OA=4，且OA，OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM．

（1）求⊙M的半径；

（2）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线；

（3）求线段ON的长．

25．（10分）正方形ABCD边长为2 ，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．

（1）证明：AC⊥AF；

（2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；

（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？

26．（13分）已知A（1，2），B（m， ）是双曲线上的点．

求：（1）过点A，B的双曲线解析式；

（2）过点A，B的直线方程；

（3）过点A，B两点且与x轴有且只有一个交点的抛物线解析式；

（4）（i）已知n＞0，代数式n+ 由配方法可得n+ =（ ﹣ ）2+4，则代数式n+ 的最小值是．

（ii）若P为双曲线AB段上的任意一点，求△PAB的面积的最大值．

临沂市2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共42分）

1．下列各点中，在函数y=﹣ 图象上的是（）

A． （﹣2，﹣4） B． （2，3） C． （﹣1，6） D． （﹣ ，3）

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．

分析： 根据反比例函数中k=xy的特点对各选项进行分析即可．

解答： 解：A、∵（﹣2）×（﹣4）=8≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

B、∵2×3=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C、∵（﹣1）×6=﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；

D、∵（﹣ ）×3=﹣ ≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．

故选C．

点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标符合k=xy是解答此题的关键．

2．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A． k＜1 B． k＞1 C． k=1 D． k≥0

考点： 根的判别式．

分析： 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=1，b=2，c=k，

∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×k＞0，

∴k＜1，

故选：A．

点评： 此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．

3．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）

A． 1 B． C． D．

考点： 圆锥的计算．

专题： 计算题．

分析： 根据展开的半圆就是底面周长列出方程．

解答： 解：根据题意得： ，

解得r= ，

故选C．

点评： 本题的关键是明白展开的半圆就是底面周长．

4．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．

考点： 解直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质．

专题： 计算题．

分析： 根据旋转的性质可得AC′=AC，∠BAC′=30°，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．

解答： 解：根据题意，AC′=AC=1，

∵∠B′AB=15°，

∴∠BAC′=45°﹣15°=30°，

∴C′D=AC′tan30°= ，

∴S阴影= AC′?C′D= ×1× = ．

故选B．

点评： 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于45°的性质，是基础题，难度不大．

5．已知二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（）

A． 0或2 B． 0 C． 2 D． 无法确定

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

分析： 本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．

解答： 解：根据题意得：m（m﹣2）=0，

∴m=0或m=2，

∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2．

故选C．

点评： 此题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，理解题意．

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为 ，AC=2，则DC的值是（）

A． 2 B． C． 2.5 D． 4

考点： 圆周角定理；勾股定理．

分析： 根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD的度数，根据勾股定理计算得到答案．

解答： 解：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∵⊙O的半径为 ，

∴AD=3，

∴DC= = ．

故选：B．

点评： 本题考查的是圆周角定理和勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

7．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（）

A． B． C． D．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 先判定四边形C′DCE是菱形，再根据菱形的性质计算．

解答： 解：设CD=x，

根据C′D∥BC，且有C′D=EC，

可得四边形C′DCE是菱形；

即Rt△ABC中，

AC= =10，

，

EB= x；

故可得BC=x+ x=8；

解得x= ．

故选A．

点评： 本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

8．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（）

A． B． C． D．

考点： 列表法与树状图法；根的判别式．

专题： 压轴题．

分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：画树状图得：

∵x2+px+q=0有实数根，

∴△=b2﹣4ac=p2﹣4q≥0，

∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1）共3种情况，

∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是： = ．

故选A．

点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

9．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为 的中点，点P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值是（）

A． 1 B． C． D．

考点： 轴对称-最短路线问题；圆周角定理．

专题： 压轴题．

分析： 作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解．

解答： 解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．

又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为 的中点，即 = ，

∴∠BAD′= ∠CAB=15°．

∴∠CAD′=45°．

∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形．

∵OC=OD′= AB=1，

∴CD′= ．

故选B．

点评： 本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．

10．如图，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG=4 ，则△CEF的面积是（）

A． B． 2 C． 3 D． 4

考点： 平行四边形的性质．

分析： 首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．

解答： 解：∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE；

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，

∴AB=BE=6，

∵BG⊥AE，垂足为G，

∴AE=2AG．

在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=4 ，

∴AG═2，

∴AE=2AG=4；

∴S△ABE= AE?BG= ×4×4 =8 ．

∵BE=6，BC=AD=9，

∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，

∴BE：CE=6：3=2：1．

∵AB∥FC，

∴△ABE∽△FCE，

∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，

则S△CEF= S△ABE=2 ．

故选B．

点评： 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．

11．已知反比例函数y= （a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数y=﹣ax+a的图象不经过（）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 一次函数的性质；反比例函数的性质．

分析： 通过反比例函数的性质可以确定a＞0，然后由一次函数的性质即可确定一次函数图象经过的象限．

解答： 解：∵反比例函数y= （a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，

∴a＞0，

∴﹣a＜0，

∴一次函数y=﹣ax+a的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．

故选C．

点评： 本题主要考查了反比例函数图象的性质和一次函数图象的性质．

12．如图，直线l和双曲线 （k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（）

A． S1＜S2＜S3 B． S1＞S2＞S3 C． S1=S2＞S3 D． S1=S2＜S3

考点： 反比例函数系数k的几何意义．

分析： 由于点A在y= 上，可知S△AOC= k，又由于点P在双曲线的上方，可知S△POE＞ k，而点B在y= 上，可知S△BOD= k，进而可比较三个三角形面积的大小

解答： 解：如右图，

∵点A在y= 上，

∴S△AOC= k，

∵点P在双曲线的上方，

∴S△POE＞ k，

∵点B在y= 上，

∴S△BOD= k，

∴S1=S2＜S3．

故选；D．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是观察当x不变时，双曲线上y的值与直线AB上y的值大小．

13．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A． B． C． D．

考点： 相似三角形的判定．

专题： 网格型．

分析： 根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．

解答： 解：根据题意得：AB= = ，AC= ，BC=2，

∴AC：BC：AB= ：2： =1： ： ，

A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；

B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；

C、三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；

D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．

故选C．

点评： 此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．

14．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，则下列等式成立的是（）

A． b2=ac B． b2=ce C． be=ac D． bd=ae

考点： 相似三角形的判定与性质；直角梯形．

分析： 根据∠CDB=∠DBA，∠C=∠BDA=90°，可判定△CDB∽△DBA，利用对应边成比例，即可判断各选项．

解答： 解：∵CD∥AB，

∴∠CDB=∠DBA，

又∵∠C=∠BDA=90°，

∴△CDB∽△DBA，

∴ = = ，即 = = ，

A、b2=ac，成立，故本选项正确；

B、b2=ac，不是b2=ce，故本选项错误；

C、be=ad，不是be=ac，故本选项错误；

D、bd=ec，不是bd=ae，故本选项错误．

故选A．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△CDB∽△DBA，注意掌握相似三角形的对应边成比例．

二、填空题（每小题3分，共15分）

15．在反比例函数y= 的图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜2023．

考点： 反比例函数的性质．

分析： 对于函数y= 来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．

解答： 解：反比例函数y= 的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，

∴k﹣2023＜0，

∴k＜2023．

故答案为：k＜2023．

点评： 本题考查反比例函数y= 的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中k的意义不理解，直接认为k＜0．

16．如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：

①∠AFC=∠C；

②DE=CF；

③△ADE∽△FDB；

④∠BFD=∠CAF

其中正确的结论是①③④．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 压轴题．

分析： 先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．

解答： 解：在△ABC与△AEF中

∵AB=AE，BC=EF，∠B=∠E

∴△AEF≌△ABC，

∴AF=AC，

∴∠AFC=∠C；

由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，

可知：△ADE∽△FDB；

∵∠EAF=∠BAC，

∴∠EAD=∠CAF，

由△ADE∽△FD，B可得∠EAD=∠BFD，

∴∠BFD=∠CAF．

综上可知：①③④正确．

点评： 本题是一道基础题，但考查的知识点较多，需要根据条件仔细观察图形，认真解答．

17．如图，L1是反比例函数y= 在第一象限内的图象，且过点A（2，1），L2与L1关于x轴对称，那么图象L2的函数解析式为y= （x＞0）．

考点： 待定系数法求反比例函数解析式．

专题： 待定系数法．

分析： 把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．

解答： 解：y= 过点A（2，1），得它的解析式为y= ，

由反比例函数及轴对称的知识，l2的解析式应为y=﹣ ．

故答案为：y=﹣ ．

点评： 本题考查反比例函数及对称的知识，难度不大．还考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y= ，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．

18．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=3，公共部分面积y最大，y最大值=6．

考点： 二次函数的应用．

专题： 压轴题；动点型．

分析： 公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．为正方形时可求出面积的值，为矩形时需求面积表达式再求最大值．

解答： 解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．

（1）求公共部分是正方形时的面积，

作AD⊥BC于D点，交MN于E点，

∵BC=6，S△ABC=12，

∴AD=4，

∵MN∥BC，

∴ 即 ，

解得x=2.4，

此时面积y=2.42=5.76．

（2）当公共部分是矩形时如图所示：

设DE=a，根据 得 = ，

所以a=4﹣ x，公共部分的面积y=x（4﹣ x）=﹣ x2+4x，

∵﹣ ＜0，

∴y有最大值，

当x=﹣ =3时，y最大值= =6．

综上所述，当x=3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．

点评： 此题需分类讨论，综合比较后得结论．

19．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是144．

考点： 相似三角形的判定与性质．

专题： 几何综合题；压轴题．

分析： 根据平行可得出三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，设其中一边为一求知数，然后计算出最大的三角形与最小的三角形的相似比，从而求面积比．

解答： 解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，

∵△1、△2的面积比为4：9，△1、△3的面积比为4：49，

∴它们边长比为2：3：7，

又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，

∴DM=BG，EM=CH，

设DM为2x，

∴BC=（BG+GH+CH）=12x，

∴BC：DM=6：1，

S△ABC：S△FDM=36：1，

∴S△ABC=4×36=144．

故答案为：144．

点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．

三、解答题（共63分）

20．将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．

（1）随机地抽取一张，求P（偶数）；

（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数恰好为“68”的概率是多少？

考点： 概率公式．

专题： 压轴题．

分析： 根据概率的求法，找准两点：

1，全部情况的总数；

2，符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

解答： 解：（1）根据题意分析可得：三张卡片，有2张是偶数，故有：P（偶数）= ；（2分）

（2）能组成的两位数为：86，76，87，67，68，78，（4分）

恰好为“68”的概率为 ．（6分）

点评： 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．已知图中的曲线函数 （m为常数）图象的一支．

（1）求常数m的取值范围；

（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x图象在第一象限的交点为A（2，n），求点A的坐标及反比例函数的解析式．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

专题： 计算题；压轴题；待定系数法．

分析： （1）曲线函数 （m为常数）图象的一支．在第一象限，则比例系数m﹣5一定大于0，即可求得m的范围；

（2）把A的坐标代入正比例函数解析式，即可求得A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式．

解答： 解：（1）根据题意得：m﹣5＞0，解得：m＞5；

（2）根据题意得：n=4，把（2，4）代入函数 ，得到：4= ；

解得：m﹣5=8．

则反比例函数的解析式是y= ．

点评： 本题考查了反比例函数的性质及与一次函数的交点问题，综合性较强，同学们要熟练掌握．

22．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且当x=﹣1时，y=﹣1，当x=2时，y=5，求y关于x的函数关系式．

考点： 待定系数法求反比例函数解析式．

专题： 待定系数法．

分析： 首先根据题意，分别表示出应表示出y1与x，y2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；

然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．

解答： 解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例，

∴y1=kx，y2= ．

∵y=y1+y2，

∴y=kx+ ，

∵当x=﹣1时，y=﹣1；当x=2时，y=5，

∴﹣1=﹣k﹣m，5=2k+ ，

解得k=3，m=﹣2．

∴y=3x﹣ ．

点评： 解决本题的关键是得到y与x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的．

23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．

（1）求证：△CBE∽△AFB；

（2）当 时，求 的值．

考点： 圆周角定理；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．

专题： 几何综合题．

分析： （1）首先根据三角形的中位线定理证明CD∥BF，从而得到∠ADC=∠F．根据圆周角定理的推论得到∠CBE=∠ADE；可得到∠CBE=∠F．再根据圆周角定理的推论得到∠C=∠A；根据两个角对应相等，证明两个三角形相似；

（2）根据（1）中的相似三角形的对应边成比例以及AF=2AD，可求得 的值．

解答： （1）证明：∵AE=EB，AD=DF，

∴ED是△ABF的中位线，

∴ED∥BF，

∴∠CEB=∠ABF，

又∵∠C=∠A，

∴△CBE∽△AFB．

（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，

∴ ，

又AF=2AD，

∴ ．

点评： 本题主要考查三角形中位线定理、平行线的性质、圆周角定理的推论以及相似三角形的性质和判定等知识．

24．（10分）如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，OA=4，且OA，OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM．

（1）求⊙M的半径；

（2）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线；

（3）求线段ON的长．

考点： 圆的综合题．

分析： （1）由OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，得OA?OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB为⊙M的直径，即可得到⊙M的半径．

（2）连MD，OC，由OB为⊙M的直径，得∠OCB=90°，则∠OCD=90°，由于D为OA的中点，所以CD= OA=OD，因此可证明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切线；

（3）利用∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°证得△NOM∽△NCD，然后根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．

解答： 解：（1）OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，OA=4，则OA×OB=12，

得OB=3，

故⊙M的半径为1.5；

（2）∵BM=CM=1.5，

∴∠OBA=∠BCM．

连结OC，OB是⊙M的直径，则∠ACO=90°，D为OA的中点

∴OD=AD=CD=2，

∴∠OAC=∠ACD，

又∠OAC+∠OBA=90°，

∴∠BCM+∠ACD=90°，

∴∠NCD=90°，

∴CD是⊙M的切线．

（3）由题得∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，

∴△NOM∽△NCD，

∴ = ，即 = ，

∴NO= ．

点评： 本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了直径所对的圆周角为90度，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形全等的判定和性质．

25．（10分）正方形ABCD边长为2 ，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．

（1）证明：AC⊥AF；

（2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；

（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？

考点： 几何变换综合题．

分析： （1）由已知条件及正方形的性质易证△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，进而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；

（2）若AD2=AE×AC，再由条件∠CAD=∠EAD=45°，易证△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，继而证明四边形AEDF为正方形；

（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则DE最小四边形的周长最小，问题得解．

解答： 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，

∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，

∴∠EDF=90°，

∴∠CDE=∠ADF，

在△CDE和△ADF中，

，

∴△CDE≌△ADF，

∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，

∴∠CAF=90°，

即AC⊥AF；

（2）∵AD2=AE×AC，

∴

∵∠CAD=∠EAD=45°，

∴△EAD∽△DAC，

∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，

∴四边形AEDF为正方形

（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，

理由如下：

由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，

又DE=DF，则当DE最小时，四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，

当DE⊥AC时，E点运动到AC中点位置时，此时DE=2四边形AEDF的周长最小值为8．

点评： 本题属于几何变换综合题的考查，用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题压轴题．

26．（13分）已知A（1，2），B（m， ）是双曲线上的点．

求：（1）过点A，B的双曲线解析式；

（2）过点A，B的直线方程；

（3）过点A，B两点且与x轴有且只有一个交点的抛物线解析式；

（4）（i）已知n＞0，代数式n+ 由配方法可得n+ =（ ﹣ ）2+4，则代数式n+ 的最小值是4．

（ii）若P为双曲线AB段上的任意一点，求△PAB的面积的最大值．

考点： 反比例函数综合题．

专题： 综合题．

分析： （1）设反比例解析式为y= ，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式即可；

（2）把B坐标代入反比例解析式求出m的值确定出B坐标，设直线AB解析式为y=mx+n，把A与B坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线AB解析式；

（3）若顶点在x轴上，则该抛物线与x轴有且只有一个交点，设抛物线为y=a（x﹣h）2，把A与B坐标代入求出a与h的值，即可确定出满足题意的抛物线解析式；

（4）（i）根据配方的结果，利用非负数的性质求出所求式子的最小值即可；

（ii）如图，设P（m， ）为双曲线上AB段的任意一点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，表示出Q坐标，进而表示出PQ的长，表示出S与m的二次函数解析式，利用二次函数性质求出S的最大值即可．

解答： 解：（1）设反比例解析式为y= ，

把点A（1，2）代入双曲线y= ，得：2= ，即k=2，

则过点A、B的双曲线为y= ；

（2）∵点B（m， ）在双曲线为y= 上，

∴m=4，即B（4， ），

设直线AB解析式为y=mx+n，

把A与B坐标代入得： ，

解得：m=﹣ ，n= ，

则过点A、B的直线方程y=﹣ x+ ；

（3）设抛物线为y=a（x﹣h）2，

把点A、B代入得 ，

解得：a= ，h=7或a= ，h=3，

则过点A，B两点且与x轴有且只有一个交点的抛物线解析式为y= （x﹣7）2或y= （x﹣3）2；

（4）（i）∵n＞0，

∴n+ =（ ﹣ ）2+4≥4，

则代数式n+ 的最小值是4；

故答案为：4；

（ii）如图，设P（m， ）为双曲线上AB段的任意一点，

过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，则Q（m，﹣ m+ ），

∴PQ=﹣ m+ ﹣ ，

∴S= ﹣ ﹣ = ﹣3（ + ）≤ ﹣3= ，

则△PAB的面积的最大值是 ．

点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，非负数的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．