门头沟区2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

门头沟区2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．已知 = ，则x的值是（）

A． B． C． D．

2．已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）

A． 点P在圆内 B． 点P在圆上 C． 点P在圆外 D． 不能确定

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是（）

A． B． C． D．

4．如果反比例函数y= 在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）

A． m＜0 B． m＞0 C． m＜﹣1 D． m＞﹣1

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）

A． 40° B． 50° C． 60° D． 80°

6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是（）

A． B． C． D．

7．将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）

A． y=5（x+2）2+3 B． y=5（x﹣2）2+3 C． y=5（x﹣2）2﹣3 D． y=5（x+2）2﹣3

8．如图，等边△ABC边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，y=PC，则y关于x函数的图象大致为（）

A． B． C． D．

二、填空题：（本题共16分，每小题4分）

9．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为．

10．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x= ，在下列结论中，唯一正确的是．（请将正确的序号填在横线上）

①a＜0；②c＜﹣1； ③2a+3b=0；④b2﹣4ac＜0；⑤当x= 时，y的最小值为 ．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，﹣1）． 我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．

（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐标是．

（2）如果正方形ABCD经过2023次这样的变换得到正方形A2023B2023C2023D2023，那么B2023的坐标是．

三、解答题：（本题共30分，每题5分）

13．计算：tan30°﹣cos60°×tan45°+sin30°．

14．已知抛物线y=x2﹣4x+3．

（1）用配方法将y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0．

15．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．

（1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．

16．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）

17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO=∠D；

（2）若CD= ，AE=2，求⊙O的半径．

18．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数 的图象的一个交点为A（2，3）．

（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．

四、解答题：（本题共20分，每题5分）

19．如图，在锐角△ABC中，AB=AC，BC=10，sinA= ，

（1）求tanB的值；

（2）求AB的长．

20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣3，0）和（1，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在给定的坐标系中，画出此抛物线；

（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为A，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点B是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B纵坐标t的取值范围．

21．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．

（1）求证：∠CBF= ∠CAB．

（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．

小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．

请回答：图1中∠APB的度数等于，图2中∠PP′C的度数等于．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣ ，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y=mx2+（3m+1）x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

25．我们规定：函数y= （a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特函数y= 就是反比例函数y= （k是常数，k≠0）．

（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y= 的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；

（3）把反比例函数y= 的图象向右平移4个单位，再向上平移个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；

（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．

门头沟区2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．已知 = ，则x的值是（）

A． B． C． D．

考点： 比例的性质．

专题： 计算题．

分析： 根据内项之积等于外项之积得到2x=15，然后解一次方程即可．

解答： 解：∵ = ，

∴2x=15，

∴x= ．

故选B．

点评： 本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．

2．已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）

A． 点P在圆内 B． 点P在圆上 C． 点P在圆外 D． 不能确定

考点： 点与圆的位置关系．

分析： 点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．

解答： 解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．

故选A．

点评： 本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是（）

A． B． C． D．

考点： 锐角三角函数的定义．

分析： 首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．

解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，

∴AC= = =3，

∴sinB= = ．

故选D．

点评： 本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．

4．如果反比例函数y= 在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）

A． m＜0 B． m＞0 C． m＜﹣1 D． m＞﹣1

考点： 反比例函数的性质．

分析： 如果反比例函数y= 在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）

解答： 解：∵反比例函数y= 的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，

∴m+1＞0，解得m＞﹣1．

故选D．

点评： 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）

A． 40° B． 50° C． 60° D． 80°

考点： 圆周角定理．

分析： 已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，根据圆周角定理可求得∠ACB的度数．

解答： 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，

∴∠ACB= ∠AOB= ×100°=50°．

故选B．

点评： 本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．

6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是（）

A． B． C． D．

考点： 概率公式．

分析： 先统计出奇数点的个数，再根据概率公式解答．

解答： 解：∵正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，奇数为1，3，5，

∴点数为奇数的概率为： = ．

故选：C．

点评： 此题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7．将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）

A． y=5（x+2）2+3 B． y=5（x﹣2）2+3 C． y=5（x﹣2）2﹣3 D． y=5（x+2）2﹣3

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 几何变换．

分析： 先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

解答： 解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新抛物线的表达式是y=5（x+2）2+3．

故选A．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

8．如图，等边△ABC边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，y=PC，则y关于x函数的图象大致为（）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象．

分析： 分段讨论，当0≤x≤2时，作PQ⊥AC，根据锐角三角函数和勾股定理求出AQ、PQ、CQ、PC2；当2＜x＜4时，PC在BC上，是一次函数；当4＜x≤6时，PC在AC上，是一次函数，根据函数关系式分析即可得出结论．

解答： 解：当0≤x≤2时，作PQ⊥AC，

∵AP=x，∠A=60°

∴AQ= ，PQ= ，

∴CQ=2﹣ ，

∴PC= = ，

∴PC2=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3；

当2＜x＜4时，PC=4﹣x，

当4＜x≤6时，PC=2﹣（6﹣x）=x﹣4，

故选：C．

点评： 本题主要考查了动点问题的函数图形，分段讨论，列出每段函数的解析式是解决问题的关键．

二、填空题：（本题共16分，每小题4分）

9．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为6π．

考点： 弧长的计算．

分析： 直接利用弧长的计算公式计算即可．

解答： 解：弧长是： =6π．

故答案是：6π．

点评： 本题考查了弧长的计算公式，正确记忆公式是关键．

10．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是2：5．

考点： 相似三角形的应用．

分析： 由题意知三角尺与其影子相似，它们周长的比就等于相似比．

解答： 解：∵ ，

∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．

点评： 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x= ，在下列结论中，唯一正确的是③⑤．（请将正确的序号填在横线上）

①a＜0；②c＜﹣1； ③2a+3b=0；④b2﹣4ac＜0；⑤当x= 时，y的最小值为 ．

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 根据二次函数的图象开口方向即可判断A；由二次函数的图象与y轴的交点位置即可判断B；把x=﹣1代入二次函数的解析式即可判断C；根据二次函数的对称轴即可求出D．

解答： 解：①∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0，故本选项错误；

②∵二次函数的图象与y轴的交点在点（0，﹣1）的上方，

∴c＞﹣1，故本选项错误；

③、∵二次函数的图象的对称轴是直线x= ，

∴﹣ = ，

﹣3b=2a，

2a+3b=0，故本选项正确；

④∵二次函数的图象与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；

⑤∵二次函数的图象的对称轴是直线x= ，

∴﹣ = ，

∴﹣3b=2a，b=﹣ a，

∴y最小值= a+ b+c= a+ ×（﹣ a）+c= ；

即y的最小值为 ，故本选项正确；

故答案为：③⑤．

点评： 本题考查了二次函数的图象和系数的关系，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意用了数形结合思想，二次函数的图象开口方向决定a的符号，二次函数的图形与y轴的交点位置决定c的符号，根据二次函数的图象的对称轴是直线x= 得出﹣ = ，把x= 代入y=ax2+bx+c（a≠0）得出y= a+ b+c等等．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，﹣1）． 我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．

（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐标是（﹣1，1）．

（2）如果正方形ABCD经过2023次这样的变换得到正方形A2023B2023C2023D2023，那么B2023的坐标是（2023，﹣1）．

考点： 规律型：点的坐标．

分析： （1）把正方形ABCD先沿x轴翻折，则点B关于x轴对称，得到B点的坐标为：（﹣3，1），再向右平移2个单位”后点B的坐标为：（﹣3+2，1），即B1（﹣1，1）．

（2）首先由正方形ABCD，点A、B的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣3，﹣1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点B的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为（2n﹣3，1），当n为偶数时为（2n﹣3，﹣1），继而求得把正方形ABCD经过连续2023次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点B的对应点B′的坐标．

解答： 解：（1）∵正方形ABCD，点A、B的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣3，﹣1），

∴根据题意得：第1次变换后的点B的对应点的坐标为（﹣3+2，1），即B1（﹣1，1），

（2）第2次变换后的点B的对应点的坐标为：（﹣1+2，﹣1），即（1，﹣1），

第3次变换后的点B的对应点的坐标为（1+2，1），即（3，1），

第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为（2n﹣3，1），当n为偶数时为（2n﹣3，﹣1），

∴把正方形ABCD经过连续2023次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点B的对应点B′的坐标是：（2023，﹣1）．

故答案为：（﹣1，1）；（2023，﹣1）．

点评： 此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点B的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2n﹣3，1），当n为偶数时为（2n﹣3，﹣1）是解此题的关键．

三、解答题：（本题共30分，每题5分）

13．计算：tan30°﹣cos60°×tan45°+sin30°．

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 将tan30°= ，cos60°= ，tan45°=1，sin30°= 分别代入运算，然后合并即可得出答案．

解答： 解：原式= = ．

点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．

14．已知抛物线y=x2﹣4x+3．

（1）用配方法将y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0．

考点： 二次函数的三种形式；二次函数的性质．

分析： （1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；

（2）根据二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h求解即可；

（3）先求出方程x2﹣4x+3=0的两根，再根据二次函数的性质即可求解．

解答： 解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1；

（2）∵y=（x﹣2）2﹣1，

∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）；

（3）解方程x2﹣4x+3=0，得x=1或3．

∵y=x2﹣4x+3，a=1＞0，

∴抛物线开口向上，

∴当1＜x＜3时，函数y＜0．

点评： 本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质，难度适中．利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．

15．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．

（1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB；

（2）根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB?AD，将数值代入计算即可求出AC的长．

解答： （1）证明：在△ADC与△ACB中，

∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC；

（2）解：∵△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴AC2=AB?AD，

∵AD=2，AB=7，

∴AC2=7×2=14，

∴AC= ．

点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：

①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；

②相似三角形的对应边成比例．

16．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析： 在Rt△ABD中，求出BD，在Rt△ACD中，求出CD，二者相加即为楼高BC．

解答： 解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，

∴BD=AD=20．

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，

∴CD= AD=20 ．

∴BC=BD+CD=20+20 （m）．

答：这栋楼高为（20+20 ）m．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，将原三角形转化为两个直角三角形是解题的关键．

17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO=∠D；

（2）若CD= ，AE=2，求⊙O的半径．

考点： 圆周角定理；勾股定理；垂径定理．

专题： 计算题．

分析： （1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；

（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．

解答： （1）证明：如图．

∵OC=OB，

∴∠BCO=∠B．

∵∠B=∠D，

∴∠BCO=∠D；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，

∴CE= CD= ×4 =2 ，

在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，

设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，

∴r2=（2 ）2+（r﹣2）2，

解得：r=3，

∴⊙O的半径为3．

点评： 此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

18．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数 的图象的一个交点为A（2，3）．

（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积．

专题： 计算题．

分析： （1）先将点A（2，3）代入反比例函数 和一次函数y=kx+2，求得m、k的值，

（2）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S△PBC=18，即可求得x，y的值．

解答： 解：（1）把A（2，3）代入 ，∴m=6．

∴ ．（1分）

把A（2，3）代入y=kx+2，

∴2k+2=3．∴ ．

∴ ．（2分）

（2）令 ，解得x=﹣4，即B（﹣4，0）．

∵AC⊥x轴，∴C（2，0）．

∴BC=6．（3分）

设P（x，y），

∵S△PBC= =18，

∴y1=6或y2=﹣6．

分别代入 中，

得x1=1或x2=﹣1．

∴P1（1，6）或P2（﹣1，﹣6）．（5分）

点评： 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．

四、解答题：（本题共20分，每题5分）

19．如图，在锐角△ABC中，AB=AC，BC=10，sinA= ，

（1）求tanB的值；

（2）求AB的长．

考点： 解直角三角形．

专题： 计算题．

分析： （1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=3k，则AB=AC=5k，继而可求出BD=k，从而求出tanB的值；

（2）在Rt△BCD中，先求出BC= k=10，求出k的值，继而得出AB的值．

解答： 解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，（1分）

在Rt△ACD中， ，（1分）

设CD=3k，则AB=AC=5k，（1分）

∴ ．（1分）

在△BCD中，∵BD=AB﹣AD=5k﹣4k=k．（1分）

∴ ．（1分）

（2）在Rt△BCD中， ，（1分）

∵BC=10，∴ ．（1分）

∴ ．（1分）

∴AB= ．（1分）

点评： 本题考查了解直角三角形的知识，过点C作CD⊥AB，构造直角三角形是关键．

20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣3，0）和（1，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在给定的坐标系中，画出此抛物线；

（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为A，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点B是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B纵坐标t的取值范围．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．

分析： （1）根据待定系数法即可求得；

（2）正确画出图形；

（3）通过图象可以看出点B纵坐标t的取值范围．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣3，0）和（1，0）．

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣2x+3．

（2）此抛物线如图所示．

（3）2＜t≤4．

如图，

由图象可知点B纵坐标t的取值范围为2＜t≤4．

点评： 本题考查了待定系数法求解析式，以及画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．

21．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．

（1）求证：∠CBF= ∠CAB．

（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．

考点： 切线的性质．

分析： （1）连接AE，由圆周角定理和等腰三角形的性质，结合切线的性质可证得∠CBF=∠BAE，可证得结论；

（2）由（1）结论结合正弦值，在Rt△ABE中可求得BE，可求出BC，过C作CM⊥BF，在Rt△BCM中可求得BM，CM，再利用平行线分线段成比例可求得BF．

解答： （1）证明：如图1，连结AE．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠BAE= ∠BAC．

∵BF是⊙O的切线，

∴∠CBF=∠BAE，

∴∠CBF= ∠CAB．

（2）解：由（1）可知∠CBF=∠BAE，

∴sin∠BAE=sin∠CBF= ，

在Rt△ABE中，sin∠BAE= ，

∴ = ，

∴BE= ，

∴BC=2 ，

如图2，过C作CM⊥BF于点M，

则sin∠CBF= = ，

即 = ，解得CM=2，由勾股定理可求得BM=4，

又∵AB∥CM，

∴ = ，

即 = ，解得BF= ．

点评： 本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质、三角函数的定义等知识点，掌握弦切角定理及三角函数的定义是解题的关键，注意平行线分线段定理的应用．

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．

小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．

请回答：图1中∠APB的度数等于150°，图2中∠PP′C的度数等于90°．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣ ，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

考点： 几何变换综合题．

分析： 阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即为∠APB的度数；再利用全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质得出DF= CF，进而得出函数解析式即可．

解答： 解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，

由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，

∴△APP′是等边三角形，

∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，

∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，

∴PP′2+P′C2=PC2，

∴∠PP′C=90°，

∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；

故∠APB=∠AP′C=150°；

故答案为：150°；90°；

如图3，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD，

∵点A的坐标为（﹣ ，1），

∴tan∠AOE= ，

∴AO=OD=2，∠AOE=30°，

∴∠AOD=60°．

∴△AOD是等边三角形，

又∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，

∴∠CAD=∠OAB，

∴△ADC≌△AOB．

∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°，

∴∠CDF=30°．

∴DF= CF．

∵C（x，y）且点C在第一象限内，

∴y﹣2= x，

∴y= x+2（x＞0）．

点评： 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y=mx2+（3m+1）x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）利用方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）的△判定即可；

（2）由求根公式，得x1=﹣3，x2=﹣ ，再由方程的两个根都是整数，且m为正整数，可得m的值；

（3）正确画出图形，分两种情况求解即可．

解答： （1）证明：∵m≠0，

∴mx2+（3m+1）x+3=0是关于x的一元二次方程．

∴△=（3m+1）2﹣12m

=（3m﹣1）2．

∵（3m﹣1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：由求根公式，得x1=﹣3，x2=﹣ ．

∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，

∴m=1．

（3）解：∵m=1时，

∴y=x2+4x+3．

∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（﹣1，0）．

依题意翻折后的图象如图所示，

当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．

当直线y=x+b经过B点时，可得b=1．

∴1＜b＜3．

当直线y=x+b与y=﹣x2﹣4x﹣3

的图象有唯一公共点时，

可得x+b=﹣x2﹣4x﹣3，

∴x2+5x+3+b=0，

∴△=52﹣4（3+b）=0，

∴b= ．

∴b＞ ．

综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞ ．

点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是观察、分析、正确的画出二次函数图象，然后数形结合解决问题．

24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

考点： 相似形综合题．

分析： （1）①先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；

②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP= AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，

再求出EF= PB，由（1）中的结论求出PB= =4 ，最后代入EF= PB即可得出线段EF的长度不变．

解答： 解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴ = = = ，

∴CP= AD=4，

设OP=x，则CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴边AB的长为10；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= =4 ，

∴EF= PB=2 ，

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2 ．

点评： 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．

25．我们规定：函数y= （a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特函数y= 就是反比例函数y= （k是常数，k≠0）．

（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y= 的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；

（3）把反比例函数y= 的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；

（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．

考点： 反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质；中心对称图形．

专题： 压轴题；新定义．

分析： （1）只需运用矩形的面积公式就可求出函数关系式，从而解决问题；

（2）可先求出直线OB和直线CD的解析式，求出它们的交点E的坐标，然后只需运用待定系数法就可解决问题；

（3）只需将（2）中所求的奇特函数y= 转化为y=2+ ，就可解决问题；

（4）将坐标原点平移到点M的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点P在点B的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点P在新坐标系下的坐标，就可求出点P在原坐标系下的坐标．

解答： 解：（1）由题意得：（2+x）（3+y）=8．

即3+y= ，

∴y= ﹣3= ．

根据定义，y= 是奇特函数．

（2）如图1，

由题意得：B（6，3）、D（3，0），

设直线OB的解析式为y=mx，

则有6m=3，

解得：m= ，

∴直线OB的解析式为y= x．

设直线CD的解析式为y=kx+b，

，

解得： ，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+3．

解方程组 ，得

，

∴点E（2，1）．

将点B（6，3）和E（2，1）代入y= 得

，

解得： ，

∴奇特函数的表达式为y= ．

（3）∵y= = =2+ ．

∴把反比例函数y= 的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位，

就可得到奇特函数y= 的图象；

故答案为：2．

（4）满足条件的点P的坐标为（2 ， +4）或（2 +8， ）．

提示：①若点P在点B的左边，如图2①，

以点M为原点，构建如图2①所示的新坐标系，

在该坐标系下该奇特函数的解析式为y′= ，点B的新坐标为（2，1）．

∵直线PQ与双曲线y′= 都是以点M为对称中心的中心对称图形，

∴MP=MQ．

∵MB=ME，

∴四边形BPEQ是平行四边形，

∴S?BPEQ=4S△BMP=16，

∴S△BMP=4．

过点P作PG⊥x′轴于G，过点B作BH⊥x′轴于H，

根据反比例函数比例系数的几何意义可得：

S△PGM=S△BHM= ×2=1，

∴S△BMP=S△PGM+S梯形BHGP﹣S△BHM=S梯形BHGP=4，

设点P在新坐标系中的坐标为（x′， ），

则有S梯形BHGP= （1+ ）?（2﹣x′）=4，

解得x1′=﹣4﹣2 （舍去），x2′=﹣4+2 ，

当x=﹣4+2 时， = = +2，

即点P在新坐标系中的坐标为（﹣4+2 ， +2），

∴点P在原坐标系中的坐标为（﹣4+2 +4， +2+2）即（2 ， ）；

②若点P在点B的右边，如图2②，

同理可得：

点P在原坐标系中的坐标为（4+2 +4， ﹣2+2）即（2 +8， ）．

点评： 本题属于新定义型，考查了运用待定系数法求函数的解析式，求两函数图象的交点、平行四边形的判定与性质、反比例函数比例系数的几何意义等知识，运用平移坐标轴法是解决第（4）小题的关键．