浙江省2023初三年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)

浙江省2023初三年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)

一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．

1．二次函数y=3x2的图象向左平移一个单位后函数解析式为（）

A． y=3x2+1 B． y=3x2﹣1 C． y=3（x﹣1）2 D． y=3（x+1）2

2．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）

A． （ +1）a B． （ ﹣1）a C． （3﹣ ）a D． （ ﹣2）a

3．一个几何体的主视图、左视图、俯视图完全相同，它一定是（）

A． 圆柱 B． 圆锥 C． 球体 D． 长方体

4．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）

A． B． C． D．

5．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

A． B． C． D．

6．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC=30m．如果DE=20m，则河宽AD为（）

A． 20m B． m C． 10m D． 30m

7．已知k，n均为非负实数，且2k+n=2，则代数式2k2﹣4n的最小值为（）

A． ﹣40 B． ﹣16 C． ﹣8 D． 0

8．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD中点，若∠APB=40°，则∠AEP的度数是（）

A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°

9．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）

A． B．

C． D．

10．二次函数y=（x﹣ ）（mx﹣4m）（其中m＞0），下列说法正确的（）

A． 当x＞2时，都有y随着x的增大而增大

B． 当x＜3时，都有y随着x的增大而减小

C． 若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+

D． 若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥

二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．

11．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是．

12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CD=5，AC=8，sin∠ACD= ，则BC=．

13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 ，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．

14．如图，在△ABC中，AC=4，AB=6，BC=8，点D在BC边上，且CD=2，则AD的长为．

15．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3 ），直线y=kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）当t=秒时，点P、C、Q所构成的三角形与Rt△ABC相似．

（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．

三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．

17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．

（1）sinα+cosα≤1；

（2）sin2α=2sinα．

18．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP与⊙O相切；

（2）如果PD= ，求AP的长．

19．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．

（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？

（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．

20．如图是一个底面三边长都是3cm三棱柱，它的侧面是正方形．现要从中挖取一个底面最大的圆柱．

（1）用尺规画出挖取圆柱后的俯视图；（按如图位置摆放，保留作图痕迹）

（2）求圆柱的底面半径；

（3）求挖取圆柱后剩下部分几何体的表面积．

21．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．

（1）求证：△AOD∽△BOC；

（2）若cos∠ABO= ，S△BOC=18，求S△AOD的值．

22．已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点．

（1）请写出b、c的关系式；

（2）设直线y=7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；

（3）若P（a，﹣a）不在曲线y=x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣2，1），连结OE，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，0），C（5，0）．

（1）请求出OE的长度；

（2）在△ABC的边上找一点F，使得∠EOF=90°，求出F点的坐标；

（3）已知P是直线EO上的一个动点，以P为圆心，OE长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC三边所在直线相切，求P点的坐标．

浙江省2023初三年级数学上学期期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．

1．二次函数y=3x2的图象向左平移一个单位后函数解析式为（）

A． y=3x2+1 B． y=3x2﹣1 C． y=3（x﹣1）2 D． y=3（x+1）2

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 直接利用二次函数平移规律，左加右减进而得出答案．

解答： 解：∵二次函数y=3x2的图象向左平移一个单位，

∴平移后函数解析式为：y=3（x+1）2．

故选：D．

点评： 此题主要考查了二次函数平移变换，正确把握平移规律是解题关键．

2．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）

A． （ +1）a B． （ ﹣1）a C． （3﹣ ）a D． （ ﹣2）a

考点： 黄金分割．

专题： 计算题．

分析： 直接根据黄金分割的定义求解．

解答： 解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，

∴BE= AB= ?2a=（ ﹣1）a．

故选B．

点评： 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

3．一个几何体的主视图、左视图、俯视图完全相同，它一定是（）

A． 圆柱 B． 圆锥 C． 球体 D． 长方体

考点： 简单几何体的三视图．

专题： 应用题．

分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

解答： 解：A、圆柱的主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆形；故本选项错误；

B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误；

C、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确；

D、长方体的主视图为长方形、左视图为长方形或正方形、俯视图为长方形或正方形；故本选项错误；

故选C．

点评： 本题考查了简单几何体的三视图，锻炼了学生的空间想象能力．

4．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）

A． B． C． D．

考点： 垂径定理；勾股定理．

分析： 在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．

解答： 解：在Rt△ABC中，

∵AC=3，BC=4，

∴AB= =5．

过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，

由垂径定理可得M为AE的中点，

∵S△ABC= AC?BC= AB?CM，且AC=3，BC=4，AB=5，

∴CM= ，

在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（ ）2，

解得：AM= ，

∴AE=2AM= ．

故选C．

点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅 助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

5．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

A． B． C． D．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．

专题： 网格型．

分析： 利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．

解答： 解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，

根据网格的特点，CD⊥AB，

在Rt△AOC中，

CO= = ；

AC= = ；

则sinA= = = ．

故选：B．

点评： 本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．

6．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC=30m．如果DE=20m，则河宽AD为（）

A． 20m B． m C． 10m D． 30m

考点： 相似三角形的应用．菁优网版权 所有

分析： 求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答： 解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

即 = ，

解得AD=20．

故选A．

点评： 本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．

7．已知k，n均为 非负实数，且2k+n=2，则代数式2k2﹣4n的最小值为（）

A． ﹣40 B． ﹣16 C． ﹣8 D． 0

考点： 二次函数的最值．

分析： 先根据题意得出n=2﹣2k，由k，n均为非负实数求出k的取值范围，再代入代数式2k2﹣4n求出其最小值即可．

解答： 解：∵k，n均为非负实数，2k+n=2，

∴n=2﹣2k，

∴2﹣2k≥0，

∴0≤k≤1．

∴2k2﹣4n=2k2﹣4（2﹣2k）=2（k+2）2﹣16

∴当k=0时，代数式有最小值，

∴代数 式2k2﹣4n的最小值为﹣8．

故选C．

点评： 本题考查的是二次函数的最值，根据题意把原式化为二次函数的形式是解答此题的关键．

8．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD中点，若∠APB=40°，则∠AEP的度数是（）

A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°

考点： 切线的性质．

分析： 连接OP，OA，OE，先根据垂径定理求得∠PEO=90°，然后根据切线的性质求得，∠APO=∠BPQ= ∠APB=20°∠PAO=90°，即可进一步证得A、O、E、P四点共圆，根据圆周角的性质即可求得．

解答： 解：连接OP，OA，OE，

∵点E是CD中点，

∴OE⊥DC，

∴∠PEO=90°，

∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，

∴OA⊥PA，∠APO=∠BPQ= ∠APB=20°

∴∠PAO=90°，

∴∠POA=70°，

∴A、O、E、P四点在以OP为直径的圆上，

∴∠AEP=∠AOP=70°，

故选D．

点评： 本题考查了切线的性质，垂径定理，四点共圆的判定以及圆周角定理，作出辅助线构建直角三角形以及证得A、O、E、P四点共圆本题是关键．

9．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象．

专题： 压轴题；数形结合．

分析： 本题需先根据题意，求出BC，AC的长，再分别计算出当x=0和x=2时，y的值，即可求得y与x的函数图象．

解答： 解：解法一、∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，

∴BC=1，AC= ，

∴当x=0时，y的值是 ，

当x=1时，y的值是 ，

∵当x=2时CD的垂线与CA平行，虽然x不能取到2，但y应该是无穷大，

∴y与x的函数关系图象大致是B，

过点D作点DG⊥AC于点G，过点D作点DF⊥BC于点F，

∴CF=DG= ，DF=CG= （2﹣x），

∴EG=y﹣CG，

分别在直角三角形CDF、直角三角形DGE、直角三角形CDE中利用勾股定理，

DF2+CF2+DG2+GE2=CE2，

y= ．

解法二、∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，

∴BC=1，AC= ．

∴当x=0时，y= ；

当x=1时，y=

∵当x=2时，CD的垂线与CA平行，虽然x不能取到2，但y应该是无穷大，

∴y与x的函数关系图象大致是B选项．

故选：B．

点评： 本题主要考查了动点问题的函数图象．在解题时要能根据题意得出函数关系是解答本题的关键．

10．二次函数y=（x﹣ ）（mx﹣4m）（其中m＞0），下列说法正确的（）

A． 当x＞2时，都有y随着x的增大而增大

B． 当x＜3时，都有y随着x的增大而减小

C． 若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+

D． 若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥

考点： 二次函数的性质．

分析： 先求出二次函数的对称轴，再利用此函数图象开口向上，即可判定函数增减性质．

解答： 解：y=（x﹣ ）（mx﹣4m）=mx2﹣4mx﹣x+4=m（x﹣ ）2+4﹣ （其中m＞0），

∴二次函数的对称轴为x=2+ ，

∵m＞0，

∴此函数图象开口向上，

∴当n≤2+ 时，y随着x的增大而减小，

故选：C．

点评： 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数的对称轴．

二．认真填一填（本题有6个小题，每 小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．

11．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是 ．

考点： 列表法与树状图法．

分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其乘积大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其乘积大于4的有6种情况，

∴从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是： = ．

故答案为： ．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CD=5，AC=8，sin∠ACD= ，则BC=6．

考点： 解直角三角形．

专题： 计算题．

分析： 作DH⊥AC于H，如图在Rt△CDH中根据正弦的定义可计算出DH=3，再根据勾股定理计算出CH=4，则AH=AC﹣CH=4，于是可判断DH为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质即可得到BC的长．

解答： 解：作DH⊥AC于H，如图，

在Rt△CDH中，∵sin∠HCD= = ，

∴DH= ×5=3，

∴CH= =4，

∴AH=AC﹣CH=8﹣4=4，

∴CH=AH，

∴DH为△ABC的中位线，

∴BC=2DH=6．

故答案为6．

点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 ，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为8 π（结果保留π）．

考点： 圆锥的计算；点、线、面、体．

分析： 首先求得高CD的长，然后根据圆锥的侧面积的计算方法，即可求解．

解答： 解：过点C作CD⊥AB于点D，

Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴AB= AC=4，

∴CD=2，

以CD为半径的圆的周长是：4π．

故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2× ×4π×2 =8 π．

故答案为：8 π．

点评： 此题主要考查了圆锥的有关计算，正确确定旋转后的图形得出以CD为半 径的圆的弧长是解题的关键．

14．如图，在△ABC中，AC=4，AB=6，BC=8，点D在BC边上，且CD=2，则AD的长为3．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 首先在△ABC和△DAC中根据题干条件得到 ，结合∠ACB=∠DCA，证明出△ABC∽△DAC，进而得到AD的长．

解答： 解：在△ABC和△DAC，

∵AC=4，BC=8，CD=2，

∴ ，

∵∠ACB=∠DCA，

∴△ABC∽△DAC，

∴ ，

∵AB=6，

∴AD=3，

故答案为3．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是根据题干条件证明出△ABC∽△DA C，此题难度不大．

15．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3 ），直线y=kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为4 ．

考点： 垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．

分析： 连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（0，3 ），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

解答： 解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，

∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），

∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∵点D的坐标是（3，4），

∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A（0，3 ），

∴圆的半径为3 ，

∴OB=3 ，

∴BD= =2 ，

∴BC的长的最小值为4 ；

故答案为：4 ．

点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）当t=6秒时，点P、C、Q所构成的三角形与Rt△ABC相似．

（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为5 ．

考点： 相似三角形的判定与性质．

专题： 动点型．

分析： （1）由∠C=∠C，分两种情况讨论：①PC：BC=QC：AC，求出t=6；②PC：AC=QC：BC，求出t= ＞10，不合题意舍去；因此t=6；

（2）线段PQ的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长．

解答： 解：（1）分两种情况讨论：

①∵∠C=∠C，当 时，△QPC∽△ABC，

∵BP=2t，QC=t，

∴PC=30﹣2t，

∴ ，

解得t=6；

②∵∠C=∠C，当 时，△PQC∽△ABC，

，解得t= ＞10，不合题意；

综上所述：当t=6时，点P、C、Q构成的三角形与Rt△ABC相似；

（2）线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长，如图所示：

当P在B处，Q在C处时，PQ的中点为BC的中点，当点Q运动10秒时，P、Q停止运动，

PQ的中点为N，P到达D，Q到达A，

过点A作AE∥MN交BC于点E，

此时CD=30﹣2×10=10，

∴MD=15﹣10=5，

∵N是AD的中点，

∴M时DE的中点，

∴EM=DM=5，MN= AE，

∴CE=10+5+5=20，

∴AE= ，

∴MN=5 ；

即线段PQ的中点所经过的路程长为5 ．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理以及三角形中位线的综合运用；要注意的是（1）中，根据P、Q的不同位置分类讨论．

三．全面答一答（本题有7个小题，共66 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．

17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．

（1）sinα+cosα≤1；

（2）sin2α=2sinα．

考点： 同角三角函数的关系．

分析： （1）利用三角函数的定义和三角 形的三边关系得到该结论不成立；

（2）举出反例进行论证．

解答： 解：（1）该不等式不成立，理由如下：

如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=α．

则sinα+cosα= + = ＞1，故sinα+cosα≤1不成立；

（2）该等式不成立，理由如下：

假设α=30°，则sin2α=sin60°= ，2sinα=2sin30°=2× =1，

∵ ≠1，

∴sin2α≠2sinα，即sin2α=2sinα不成立．

点评： 本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．

18．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP与⊙O相切；

（2）如果PD= ，求AP的长．

考点： 切线的判定．

分析： （1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；

（2）首先根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，从而求得OA、OP，进而利用勾股定理得出AP的长．

解答： （1）证明：连接AO，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=120°，

∵AO=CO，AP=AC，

∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，

∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，

∴∠PAC=120°，

∴∠PAO=90°，

∴AP是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=OD=R，OP= +R，

∵∠PAO=90°，∠P=30°，

∴OP=2OA，即 +R=2R，

解得R= ，

∴OA= ，OP=2 ，

∴OA=

根据勾股定理得，AP= = =3．

点评： 此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理定理和切线的判定、等腰三角形的性质等知识，根据已知得出圆的半径是解题关键．

19．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．

（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？

（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．

考点： 列表法与树状图法；三角形三边关系．

分析： （1）因为此题需要三步完成，所以采用树状图法最简单，所以先画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与取出的3个小球的标号全是奇数的情况，然后利用概率公式即可求得答案；

（2）根据（1）中的树状图求得这些线段能构成三角形的情况，再根据概率公式求解即可．

解答： 解：（1）画树状图得：

∴一共有12种等可能的结果，

取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况，

∴取出的3个小球的标号全是奇数的概率是： = ．

（2）∵这些线段能构成三角形的有2、4、3，7、4、8，7、4、9，7、5、3，7、5、8，7、5、9共6种情况，

∴这些线段能构成三角形的概率为 = ．

点评： 此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合于两步及两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．如图是一个底面三边长都是3cm三棱柱，它的侧面是正方形．现要从中挖取一个底面最大的圆柱．

（1）用尺规画出挖取圆柱后的俯视图；（按如图位置摆放，保留作图痕迹）

（2）求圆柱的底面半径；

（3）求挖取圆柱后剩下部分几何体的表面积．

考点： 作图-三视图．

分析： （1）挖取圆柱后的俯视图为正三角形中间一个圆，依此画出图形即可求解；

（2）圆柱的底面半径为正三角形高的 ；

（3）挖取圆柱后剩下部分几何体的表面积=三棱柱的表面积﹣圆柱的两个底面积+圆柱的侧面积，依此列式计算即可求解．

解答： 解：（1）如图所示：

（2）∵底面是正三角形，

∴从中挖取一个底面最大的圆柱的半径是正三角形的内接圆的半径，

∴圆柱的底面半径：3× × = （cm）．

答：圆柱的底面半径为 cm；

（3）3× = （cm）

3× ×3+3× ÷2×2﹣π×（ ）2×2+2π× ×

= + ﹣ π+ π

= +3π（cm2）．

答：挖取圆柱后剩下部分几何体的表面积是（ +3π）cm2．

点评： 考查了作图﹣三视图，画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．同时考查了正三角形的性质，几何体的面积计算．

21．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC ，CD⊥BD．

（1）求证：△AOD∽△BOC；

（2）若cos∠ABO= ，S△BOC=18，求S△AOD的值．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： （1）由AB⊥AC，CD⊥BD，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得△AOB∽△DOC，即可得到比例线段，再由∠AOD=∠BOC，即可证得△AOD∽△BOC；

（2）由cos∠ABO= ，可得 =，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得S△BOC的值．

解答： （1）证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，

∴∠BAC=∠BDC=90°，

又∵∠AOB=∠DOC，

∴△AOB∽△DOC，

∴ =

∴ =

又∵∠AOD=∠BOC，

∴△AOD∽△BOC；

（2）∵∠BAC=90°，cos∠ABO= ，

∴ = ， = ，

∵△AOD∽△BOC，

∴ = ，

∵S△BOC=18，

∴S△AOD=8．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三 角形相似的性质的应用．

22．已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点．

（1）请写出b、c的关系式；

（2）设直线y=7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；

（3）若P（a，﹣a）不在曲线y=x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围．

考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．

分析： （1）根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0，由此可得到b、c应满足关系；

（2）根据根与系数的关系x1+x2=2b，x1x2=c﹣7，结合b2=c，即可求得AB的长．

（3）由题意可知方程﹣x=x2﹣2bx+c没有实数根，根据根的判别式即可求得．

解答： 解：（1）∵二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点，

令y=0得：x2﹣2bx+c=0，

∵△=（﹣2b）2﹣4c=0，

∴b2=c．

（2）设A（x1，0），B（x2，0），

∵直线y=7与抛物线的交点A、B的横坐标就是方程x2﹣2bx+c﹣7=0的两个根x1、x2．

∴AB=|x1﹣x2|，

∵x1+x2=2b，x1x2=c﹣7，b2=c．

∴AB=|x1﹣x2|= = = = =2 ．

（3）P（a，﹣a）不在曲线y=x2﹣2bx+c上，

∴直线y=﹣x与曲线y=x2﹣2bx+c没有交点，

即方程﹣x=x2﹣2bx+c没有实数根，

∴x2+（1﹣2b）x+c=0的△＜0，

即（1﹣2b）2﹣4c＜0，

整理得，1﹣4b+4b2﹣4c＜0，

∵b2=c．

∴1﹣4b＜0，

∴b ．

点评： 本题是二次函数的综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与直线的交点问题，二次函数与不等式的关系，题目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣2，1），连结OE，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，0），C（5，0）．

（1）请求出OE的长度；

（2）在△ABC的边上找一点F，使得∠EOF=90°，求出F点的坐标；

（3）已知P是直线EO上的一个动点，以P为圆心，OE长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC三边所在直线相切，求P点的坐标．（改编）

考点： 圆的综合题．

分析： （1）根据点E的坐标为（﹣2，1），运用勾股定理直接求出OE的长度；

（2）求出直线OE的解析式，根据∠EOF=90°，求出直线OF的解析式，再求出直线OF与AB，AC的交点坐标；

（3）分别从⊙P与直线AB、BC、AC相切，求出P点的坐标．

解答： 解：（1）∵点E的坐标为（﹣2，1），

根据勾股定理得，OE= ；

（2））∵点E的坐标为（﹣2，1），

∴直线OE的解析式为y=﹣ x，

∵OE⊥OF，

∴直线OF的解析式为：y=2x，

∵A（1，4），C（5，0），

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+5，

则y=2x与直线AB的交点坐标为（1，2），与直线AC的交点坐标为（ ， ）；

（3）设点P的坐标为（﹣2b，b）

①当⊙P与直线AB相切时，|﹣2b﹣1|= ，

b1= ，b2= ，

②当⊙P与直线BC相切时，

|b|= ，

b3= ，b4=﹣ ，

③当⊙P与直线AC相切时，

根据点到直线的距离公式， = ，

b5=﹣5+ ，b6=﹣5﹣ ，

则p1（1﹣ ， ），p2（ +1， ），p3（﹣2 ， ），p4（2 ，﹣ ），p5（10﹣2 ，﹣5+ ），p6（10+2 ，﹣5﹣ ）．

点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，把圆与一次函数结合起来是解题的关键，解答时，要灵活运用数形结合思想、分类讨论思想．