鞍山市2023初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)

鞍山市2023初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）

A． B． C． D．

2．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）

A． 100（1+x）2=81 B． 100（1﹣x）2=81 C． 100（1﹣x%）2=81 D． 100x2=81

3．小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）

A． 120πcm2 B． 240πcm2 C． 260πcm2 D． 480πcm2

4．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）

A． y=2（x﹣2）2﹣1 B． y=2（x﹣4）2+32 C． y=2（x﹣2）2﹣9 D． y=2（x﹣4）2﹣33

5．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（）

A． 36° B． 54° C． 60° D． 27°

6．如图，EF是⊙O的直径，CD交⊙O于M、N，H为MN的中点，EC⊥CD于点C，FD⊥CD于点D，则下列结论错误的是（）

A． CM=DN B． CH=HD C． OH⊥CD D． =

7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a﹣2b+c，2a+b，2a﹣b中，其值大于0的个数为（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

8．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（）

A． B． 3 C． 6 D． 9

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．如果反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个函数的解析式是．

10．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是．

11．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF=cm2．

12．如果将抛物线y=x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是．

13．如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于．

14．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标为．

15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是．

16．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为．

三、解答题（共2小题，满分16分）

17．解方程：x2﹣5x﹣6=0．

18．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，求α2+β2的值．

四、（每题10分，共20分）

19．（10分）（2023?衢州）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．

（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；

（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

20．（10分）（2023秋?鞍山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，

（1）求证：三角形ADC为等腰三角形；

（2）求AC的长．

21．（10分）（2023?南充）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）当x取何值时，y1＜y2．

22．（10分）（2023秋?鞍山期末）今年，9月8日为中秋节，在中秋节前期，三位同学到某超市调研一种进价每个为2元的月饼的销售情况，请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．

23．（10分）（2023秋?鞍山期末）如图，AB是⊙O直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，切线GD与AB延长线交于点E．

（1）求证：∠C+∠EDF=90°

（2）已知：AG=6，⊙O的半径为3，求OF的值．

24．（10分）（2023?北京一模）定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．

例如：y= +1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y= 的图象，则y= +1是y与x的“反比例平移函数”．

（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．

（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y= 的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．

（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

25．（12分）（2023秋?鞍山期末）在直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，以B为圆心，BA为半径作⊙B交BC于点D，旋转∠ABD交⊙B于点E、F．连接EF交AC、BC边于点G、H．

（1）若BE⊥AC，求证：CG?BH=AB?CH；

（2）若AG=4，求△BEF与△ABC重叠部分的面积；

（3）△BHE是等腰三角形时的旋转角的度数．

八、（本题14分）

26．（14分）（2023秋?鞍山期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= x2﹣ x﹣10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．

（1）求OACB的面积．

（2）当t为何值时，四边形ACQP为平行四边形？请写出计算过程；

（3）当0＜t＜ 时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

鞍山市2023初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）

A． B． C． D．

考点： 根的判别式．

专题： 判别式法．

分析： 先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．

解答： 解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，

解得m＜ ．

故选：B．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

2．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）

A． 100（1+x）2=81 B． 100（1﹣x）2=81 C． 100（1﹣x%）2=81 D． 100x2=81

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 增长率问题．

分析： 若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．

解答： 解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：

x满足方程为100（1﹣x）2=81．

故选：B．

点评： 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．

3．小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）

A． 120πcm2 B． 240πcm2 C． 260πcm2 D． 480πcm2

考点： 扇形面积的计算．

专题： 压轴题．

分析： 从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇形的弧长，根据此求出扇形的面积．

解答： 解：根据圆的周长公式得：

圆的底面周长=20π．

圆的底面周长即是扇形的弧长，

∴扇形面积= = =240πcm2．

故选：B．

点评： 本题主要考查了扇形的面积公式．即S= ．

4．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）

A． y=2（x﹣2）2﹣1 B． y=2（x﹣4）2+32 C． y=2（x﹣2）2﹣9 D． y=2（x﹣4）2﹣33

考点： 二次函数的三种形式．

分析： 利用配方法整理即可得解．

解答： 解：y=2x2﹣8x﹣1，

=2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，

=2（x﹣2）2﹣9，

即y=2（x﹣2）2﹣9．

故选C．

点评： 本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．

5．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（）

A． 36° B． 54° C． 60° D． 27°

考点： 切线的性质．

分析： 根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C= ∠BOA，即可求出答案．

解答： ∵AB与⊙O相切于点B，

∴∠ABO=90°，

∵∠A=36°，

∴∠BOA=54°，

∴由圆周角定理得：∠C= ∠BOA=27°，

故选D．

点评： 本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA度数．

6．如图，EF是⊙O的直径，CD交⊙O于M、N，H为MN的中点，EC⊥CD于点C，FD⊥CD于点D，则下列结论错误的是（）

A． CM=DN B． CH=HD C． OH⊥CD D． =

考点： 垂径定理；梯形中位线定理．

分析： 根据垂径定理的推论以及梯形的中位线定理，可判断A、B、C正确，再由排除法可知D错误．

解答： 解：∵H为MN的中点，

∴OH⊥CD，故C正确；

∵EC⊥CD于点C，FD⊥CD于点D，

∴EC∥OH∥FD，

又∵EF是⊙O的直径，OE=OF，

∴CH=HD，故B正确；

∵CH=HD，H为MN的中点，

∴CM=DN，故A正确；

由排除法可知D错误，

故选：D．

点评： 本题主要考查了垂径定理的推论以及梯形的中位线定理，熟练掌握定理及推论是解题的关键．

7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a﹣2b+c，2a+b，2a﹣b中，其值大于0的个数为（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题．

分析： 由开口向下知道a＜0，由与y轴交于负半轴得到c＜0，然后即可判断ac的符号；

由当x=1时，y＞0，即可判断a+b+c的符号；

由当x=﹣2时，y＜0，即可判断4a﹣2b+c的符号；

由开口向下知道a＜0，由﹣ ＜1可以推出2a+b＜0；

由开口向下知道a＜0，﹣ ＞0可以推出2a与b的符号，即可确定2a﹣b的符号．

解答： 解：①∵开口向下，

∴a＜0，

∵与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴ac＞0；

②当x=1时，y=a+b+c＞0，

∴a+b+c＞0；

③当x=﹣2时，y＜0，

∴4a﹣2b+c＜0；

④∵a＜0，﹣ ＜1，

∴b＜﹣2a

∴2a+b＜0；

⑤∵a＜0，﹣ ＞0，

∴b＞0，

∴2a﹣b＜0．

故选A．

点评： 解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．

8．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（）

A． B． 3 C． 6 D． 9

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 利用△ADE沿DE翻折的特性求出AM=A′M，再由DE∥BC，得到 = ，求得AE，再求出AM，利用△ADE的面积= DE?AM求解．

解答： 解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处

∴AM=A′M，

又∵A′为MN的中点，

∴AM=A′M=A′N，

∵DE∥AC，

∴ = ，

∵△ABC是等边三角形，BC=6，

∴BC=AC，

∴ =

∴AE=2，

∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，

∴∠MAE=30°，

∴AM= ，ME=1，

∴DE=2，

∴△ADE的面积= DE?AM= × ×2= ，

故选：A．

点评： 本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出AE，再求面积．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．如果反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个函数的解析式是y=﹣ ．

考点： 待定系数法求反比例函数解析式．

分析： 设反比例函数解析式为 （k≠0），把点（1，﹣2）代入函数解析式 （k≠0），即可求得k的值．

解答： 解：设反比例函数的解析式为 （k≠0）．

由图象可知，函数经过点（1，﹣2），

∴﹣2= ，

得k=﹣2．

∴反比例函数解析式为y=﹣ ．

故答案为：y=﹣ ．

点评： 此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．

10．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是 ．

考点： 根的判别式．

分析： 根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4a×3=0，然后求解即可．

解答： 解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4a×3=0，

解得a= ．

故答案为 ．

点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

11．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= cm2．

考点： 相似三角形的性质．

分析： 根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．

解答： 解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4

∴S△ABC：S△DEF=9：16

∴S△DEF= ．

点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．

12．如果将抛物线y=x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是y=（x+2）2．

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 探究型．

分析： 分别根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

解答： 解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2﹣3向左平移2个单位所得直线的解析式为：y=（x+2）2﹣3；

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x+2）2﹣3向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2．

故答案为：y=（x+2）2．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

13．如图，在?ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于1：2．

考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： 利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△DEF∽△DCF，

∴ = ，

∵点E是边AD的中点，

∴DE=AE= BC，

∴ = = ．

故答案为：1：2．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△DEF∽△DCF是解题关键．

14．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的坐标为（ ，3）．

考点： 矩形的性质；坐标与图形性质．

分析： 首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△ACF≌△OBE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答： 解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，

∵四边形AOBC是矩形，

∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，

在△ACF和△OBE中，

，

∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4﹣1=3，

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴ ，

即 ，

∴OE= ，

即点B（ ，3），

故答案为：（ ，3）．

点评： 此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是r= 或5＜r≤12．

考点： 直线与圆的位置关系．

分析： 因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．

若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

解答： 解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是 =13．

当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于 ；

当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则5＜r≤12．

故半径r的取值范围是r= 或5＜r≤12．

故答案为：r= 或5＜r≤12．

点评： 考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．

16．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为8．

考点： 二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；

当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．

解答： 解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；

当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；

由于此时D点横坐标最大，

故点D的横坐标最大值为8；

故答案为：8．

点评： 本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．

三、解答题（共2小题，满分16分）

17．解方程：x2﹣5x﹣6=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

分析： 把方程左边进行因式分解得到（x﹣6）（x+1）=0，则方程就可化为两个一元一次方程x﹣6=0，或x+1=0，解两个一元一次方程即可．

解答： 解：x2﹣5x﹣6=0，

∴（x﹣6）（x+1）=0，

∴x﹣6=0或x+1=0，

∴x1=6，x2=﹣1．

点评： 本题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．

18．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，求α2+β2的值．

考点： 根与系数的关系．

分析： 利用根与系数的关系可得出α+β和αβ，且α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，代入计算即可．

解答： 解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，

∴α+β=﹣2，αβ=﹣6，

∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=4+12=16．

点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

四、（每题10分，共20分）

19．（10分）（2023?衢州）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．

（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；

（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

考点： 作图-旋转变换；扇形面积的计算．

专题： 作图题．

分析： （1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；

（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出即可．

解答： 解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；

（2）∵AB= =5，

∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： = π．

点评： 此题主要考查了扇形面积公式以及图形的旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．

20．（10分）（2023秋?鞍山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，

（1）求证：三角形ADC为等腰三角形；

（2）求AC的长．

考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质．

分析： （（1）根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明∠DAC=∠DCA，再根据等角对等边可得证得；

（2）过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE= AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答： （1）证明：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

又∵∠DCA=∠ACB，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD，即△ADC是等腰三角形；

（2）解：过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE= AC，

∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，

∴△ABC∽△EDC，

∴ = ，

即 = ，

∴BC=12，

在直角△ABC中，AC= = =8 ．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长度是解题的关键．

21．（10分）（2023?南充）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）当x取何值时，y1＜y2．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

专题： 数形结合；待定系数法．

分析： （1）将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k、b的值，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值，继而可得两函数解析式；

（2）寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围．

解答： 解：（1）将点（2，5）、（0，7）代入一次函数解析式可得： ，

解得： ．

∴一次函数解析式为：y=﹣x+7；

将点（2，5）代入反比例函数解析式：5= ，

∴m=10，

∴反比例函数解析式为：y= ．

（2）由题意，得： ，

解得： 或 ，

∴点B的坐标为（5，2），

由图象得：当0＜x＜2或x＞5时，y1＜y2．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是联立解析式，求出交点坐标．

22．（10分）（2023秋?鞍山期末）今年，9月8日为中秋节，在中秋节前期，三位同学到某超市调研一种进价每个为2元的月饼的销售情况，请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．

考点： 一元二次方程的应用；二次函数的应用．

分析： （1）设定价为x元，利润为y元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，结合x的取值范围，求出当y取2023时，定价x的值即可；

（2）根据（1）中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x的值即可．

解答： 解：（1）设实现每天2023元利润的定价为x元/个，根据题意，得

（x﹣2）（500﹣ ×10）=2023．

解得：x1=6.5，x2=5.5．

答：应定价6.5或5.5元/个，才可获得2023元的利润．…

（2）解：设每天利润为W元，定价为x元/个，得

W=（x﹣2）（500﹣ ×10）

=﹣100x2+2023x﹣2023

=﹣100（x﹣6）2+2023．

当定价为6元/个时，每天利润最大为2023元．…

点评： 本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式，要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值．

23．（10分）（2023秋?鞍山期末）如图，AB是⊙O直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，切线GD与AB延长线交于点E．

（1）求证：∠C+∠EDF=90°

（2）已知：AG=6，⊙O的半径为3，求OF的值．

考点： 切线的性质．

分析： （1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠EDF+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠EDF+∠C=90°．

（2）先求得EF=ED，设DE=x，则EF=x，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠ODE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比求得AE=2x，OE=3+ x，然后根据AE﹣OE=OA=3，求得x的值，进而求得OF=1．

解答： （1）证明：连接OD，

∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠EDF+∠ODC=90°，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∴∠C+∠EDF=90°．

（2）解：∵∠C+∠EDF=90°，∠C+∠CFO=90°，∠CFO=∠EFD，

∴∠EFD=∠EDF，

∴EF=ED，

设DE=x，则EF=x，

∵∠ODE=∠GAE，∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴ = = ，即 = = ，

∴AE=2x，OE=3+ x，

∵AE﹣OE=OA=3，

∴2x﹣（3+ x）=3，解得x=4，

∴AE=2x=8，

∴OF=AE﹣EF﹣OA=8﹣3﹣4=1．

点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质．

24．（10分）（2023?北京一模）定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．

例如：y= +1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y= 的图象，则y= +1是y与x的“反比例平移函数”．

（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．

（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y= 的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为y= ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式y= ．

（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

考点： 反比例函数综合题．

分析： （1）根据新矩形的面积为8cm2，则长乘以宽等于面积，即可得到一个关于x，y的方程，即可变形成函数的形式，进行判断；

（2）把B和D的坐标代入y= 即可列方程求得a、k的值，则函数解析式即可求解；

（3）由反比例函数的中心对称性，四边形PEQB为平行四边形，设P1（x0，y0），根据S△OP1E=S四边形ONMC﹣S△OCP1﹣S△MP1E﹣S△ONE．即可列方程求解．

解答： 解：（1）（x+2）（y+3）=8，

∴y= ﹣3，向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到y= ．

∴y= ﹣3是“反比例平移函数”．

（2）把B和D的坐标代入y= 得： ，

解得： ，

则“反比例平移函数”的表达式为y= ．

故变换后的反比例函数表达式为y= ．

（3）如图，当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比

例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形．

∵四边形PEQB的面积为16，∴S△PFE=4，

∵B（9，3），F（6，2）．

y= 是y= 的“反比例平移函数”，

∴S△PFE=S△POE=4，点E的坐标是：（3，1）

过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点．

S△OP1E=S四边形ONMC﹣S△OCP1﹣S△MP1E﹣S△ONE．

设P1（x0，y0），

∴

即

∴

∴P1（1，3），

∴点P的坐标为（7，5）．

当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（15， ）．

点评： 本题考查了反比例函数的性质，以及待定系数法求函数的解析式，注意到本题中的反比例平移函数与反比例函数的关系是关键．

25．（12分）（2023秋?鞍山期末）在直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，以B为圆心，BA为半径作⊙B交BC于点D，旋转∠ABD交⊙B于点E、F．连接EF交AC、BC边于点G、H．

（1）若BE⊥AC，求证：CG?BH=AB?CH；

（2）若AG=4，求△BEF与△ABC重叠部分的面积；

（3）△BHE是等腰三角形时的旋转角的度数．

考点： 圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

专题： 几何综合题．

分析： （1）如图1，易证AC∥BF，从而得到△CHG∽△BHF，根据相似三角形的性质可得 = ，由BF=BA即可得到结论；

（2）易知当AG=4时，点G为AC中点，与点E重合，如图2，过点H作HN⊥BE于N，△BEF与△ABC重叠部分的面积就是△EBH的面积，只需运用三角函数求出HN，即可解决问题；

（3）只需将△BHE的三个内角分别作为等腰三角形的顶角进行分类讨论，就可解决问题．

解答： 解：（1）如图1，

∵BE⊥AC，BE⊥BF，

∴AC∥BF，

∴△CHG∽△BHF，

∴ = ．

∵BF=BA，

∴ = ，

即CG?BH=AB?CH；

（2）∵∠B=90°，∠C=30°，AB=4，∴AC=8．

∵AG=4，

∴点G是AC的中点，

此时E与G重合，△ABE是等边三角形，如图2．

过点H作HN⊥BE于N，

∵∠EBF=90°，BE=BF，

∴∠BEF=45°，

∴∠EHN=90°﹣45°=45°=∠BEF，

∴EN=HN．

设HN=x，则EN=x，NB=4﹣x，

在Rt△HNB中，

由tan∠NBH= 得， = ，

解得x=2 ﹣2．

∴S△EBH= BE?HN= ×4×（2 ﹣2）=4 ﹣4，

即△BEF与△ABC重叠部分的面积为4 ﹣4；

（3）①若∠HEB是等腰△BHE的顶角，如图3，

则有∠EBH=∠EHB= =67.5°，

∴∠ABE=90°﹣67.5°=22.5°．

②若∠EHB是等腰△BHE的顶角，如图4，

则有∠EBH=∠HEB=45°，

∴∠ABE=90°﹣45°=45°．

③若∠EBH是等腰△BHE的顶角，

则∠EBH=180°﹣45°﹣45°=90°，

此时点E与点A重合，没有旋转，故舍去．

综上所述：△BHE是等腰三角形时的旋转角的度数为22.5°或45°．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，利用三角函数求出HN是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是第（3）小题的关键，当等腰三角形的顶角不确定时，常常需要分类讨论．

八、（本题14分）

26．（14分）（2023秋?鞍山期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= x2﹣ x﹣10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．

（1）求OACB的面积．

（2）当t为何值时，四边形ACQP为平行四边形？请写出计算过程；

（3）当0＜t＜ 时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；

（2）当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件．已知BC∥OA，只需求t为何值时，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；

（3）当0＜t＜ 时，根据OA=18，P点的速度为4单位/秒，可得出P点总在OA上运动．△PQF中，Q到PF的距离是定值即OB的长，因此只需看PF的值是否有变化即可得出S△PQF是否为定值，已知QC∥PF，根据平行线分线段成比例定理可得出： = = = ，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的长为定值即PF的长为定值，因此△PQF的面积是不会变化的．其面积的值可用 OA?OB求出；

（4）可先用t表示出P，F，Q的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出PF2，PQ2，FQ2，进而可分三种情况进行讨论：

①△PFQ以PF为斜边．则PF2=PQ2+FQ2，可求出t的值．

②△PFQ以PQ为斜边，方法同①

③△PFQ以FQ为斜边，方法同①．

综合三种情况即可得出符合条件的t的值．

解答： 解：（1）y= （x2﹣8x﹣180），

令y=0，得x2﹣8x﹣180=0，

即（x﹣18）（x+10）=0，

∴x=18或x=﹣10．

∴A（18，0）

在y= x2﹣ x﹣10中，令x=0得y=﹣10，

即B（0，﹣10）．

由于BC∥OA，

故点C的纵坐标为﹣10，

由﹣10= x2﹣ x﹣10得，

x=8或x=0，

即C（8，﹣10），

于是，A（18，0），B（0，﹣10），C（8，﹣10），

故OACB的面积= （OA+BC）×OB= ×（18+8）×10=130；

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA．

故只要QC=PA即可，

而PA=18﹣4t，CQ=t，

故18﹣4t=t得t= ；

（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5，

说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，

由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故 = = = ，

∵△AEF∽△CEQ，

∴AF：CQ=AE：EC=DP：QD=4：1，

∴AF=4t=OP

∴PF=PA+AF=PA+OP=18

又∵点Q到直线PF的距离d=10，

∴S△PQF= PF?d= ×18×10=90，

于是△PQF的面积总为90；

（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8﹣t，﹣10）t∈（0，4.5）．

∴PQ2=（4t﹣8+t）2+102=（5t﹣8）2+100

FQ2=（18+4t﹣8+t）2+102=（5t+10）2+100．

①若FP=FQ，则182=（5t+10）2+100．

即25（t+2）2=224，（t+2）2= ．

∵0≤t≤4.5，

∴2≤t+2≤6.5，

∴t+2= = ．

∴t=﹣2，

②若QP=QF，则（5t﹣8）2+100=（5t+10）2+100．

即（5t﹣8）2=（5t+10）2，无0≤t≤4.5的t满足．

③若PQ=PF，则（5t﹣8）2+100=182．

即（5t﹣8）2=224，由于 ≈15，又0≤5t≤22.5，

∴﹣8≤5t﹣8≤14.5，而14.52=（ ）2= ＜224．

故无0≤t≤4.5的t满足此方程．

综上所述，当t= ﹣2时，△PQF为等腰三角形．

点评： 本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、平行四边形的判定、直角三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．