2023初三年级上册期中数学重点试卷(含答案解析)

2023初三年级上册期中数学重点试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA等于（）

A． B． C． D． 1

2．抛物线y=﹣（x﹣3）2+8的对称轴是（）

A． 直线x=﹣8 B． 直线x=8 C． 直线x=3 D． 直线x=﹣3

3．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）

A． y=3x B． y= C． y=﹣ D． y=2x2

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）

A． B． 7sin55° C． cos55° D． tan55°

5．已知一次函数y=ax+b与反比例函数y= 图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞ 解集为（）

A． x＞2 B． ﹣1＜x＜0

C． ﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D． x＞2或﹣1＜x＜0

6．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）

A． （﹣4，﹣3） B． （﹣3，﹣3） C． （﹣4，﹣4） D． （﹣3，﹣4）

7．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）

A． B． C． D．

8．如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）

A． AB2=AC?BD B． AB?AD=BD?BC C． AB2=BC?BD D． AB?AD=BD?CD

9．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）

A． 点M B． 点N C． 点P D． 点Q

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

11．已知，如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AC交圆于D，连接AD，CD，BD，∠ABD=50°．则∠DBC=．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），对称轴为直线x=1，它的部分自变量与函数值y的对应值如下表，写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值（精确到0.1）．

x ﹣0.1 ﹣0.2 ﹣0.3 ﹣0.4

y=ax2+bx+c ﹣0.58 ﹣0.12 0.38 0.92

13．如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC面积是 ，若反比例函数图象经过点B，则此反比例函数表达式为．

14．已知．如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于E、F，EF交AD于Q．

（1）FQ=EQ；

（2）FP：PC=EC：AE；

（3）FQ：BD=PQ：PD；

（4）S△FPQ：S△DCP=S△AEF：S△ABC，

上述结论中，正确的有（填上你认为正确的结论前的序号）．

三、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

15．求值： sin60°+2sin30°﹣tan30° ﹣tan45°．

16．已知抛物线y=﹣2x2﹣x+6．

（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；

（2）x取何值时，y＜0？

四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）

17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．

（1）把△ABC绕着原 点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．

（2）若△ABC中的一点P（a，b），在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点，请直接写出点P′的坐标（用含a、b的代数式表示）

18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O的上，点E在⊙O的外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线．

五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．如图，已知直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线y= （k＞0）上一点C的纵坐标为﹣8，求△BOC的面积．

20．如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：

①△ABD∽△CAD；

②AB：AC=DF：AF．

六、（本题满分12分 ）

21．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：

（1）坡顶A到地面PQ的距离；

（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

七、（本题12分）

22．如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC；

（2）当 ，求 的值；

（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

23．农产品的供销具有一定的季节性，在某段时间内，某农资市场西红柿的供给价格（批发价）和零售价格以及市场需要量随时间 的变化如表所示：

时间t/月 三月 四月 五月 六月 七月 八月

市场需要量Q/吨每天 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

供给价格y1/元每千克 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4

零售价格y2/元每千克 7.2 6.9 6.6 6.3 6 5.7

求：（1）此阶段市场需要量 （Q/吨）与时间（t/月）之间的函数关系式；

（2）每千克西红柿的利润（y/元）与时间（t/月）之间的函数关系式；（每千克利润=零售价一供给价）

（3）商户在几月份经营西红柿能获的最大收益．

2023初三年级上册期中数学重点试卷(含答案解析)参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA等于（）

A． B． C． D． 1

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 根据等腰直角三角形的性质及特殊角的三角函数值解答．

解答： 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠A=45°，sinA= ．

故选B．

点评： 本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在2023届中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．

2．抛物线y=﹣（x﹣3）2+8的对称轴是（）

A． 直线x=﹣8 B． 直线x=8 C． 直线x=3 D． 直线x=﹣3

考点： 二次函数的性质．

分析： 利用二次函数的性质求解即可．

解答： 解：抛物线y=﹣（x﹣3）2+8的对称轴是x=3．

故选：C．

点评： 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．

3．下列函 数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）

A． y=3x B． y= C． y=﹣ D． y=2x2

考点： 二次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．

分析： 利用一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可．

解答： 解：A、y=3x，y随x的增大而增大，故本选项错误，

B、y= ，y随x的增大而减小，故本选项正确，

C、y=﹣ ，y随x的增大而增大，故本选项错误，

D、y=2x2，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项错误，

故选：B．

点评： 本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质，解题的关键是熟记一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）

A． B． 7sin55° C． cos55° D． tan55°

考点： 锐角三角函数的定义．

分析： 根据互为余角三角函数，可得∠A的度数，根据角的正弦，可得答案．

解答： 解：由∠A=90°﹣35°=55°，

由正弦函数的定义，得

sin55°= ，

BC=ABsin55°=7sin55°，

故选：B．

点评： 本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

5．已知一次函数y=ax+b与反比例函数y= 图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞ 解集为（）

A． x＞2 B． ﹣1＜x＜0

C． ﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D． x＞2或﹣1＜x＜0

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： 根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．

解答： 解：由图可知，x＞2或﹣1＜x＜0时，ax+b＞ ．

故选D．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键．

6．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）

A． （﹣4，﹣3） B． （﹣3，﹣3） C． （﹣4，﹣4） D． （﹣3，﹣4）

考点： 位似变换．

专题： 压轴题；网格型．

分析： 作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．

解答： 解：由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3），故选A．

点评： 用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．

7．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）

A． B． C． D．

考点： 垂径定理；解直角三角形．

分析： 过O作弦AB的垂线，通过构建直角三角形求出弦AB的长．

解答： 解：过O作OC⊥AB于C．

在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC= ∠AOB=60°，

∴AC=OA?sin60°= ，

因此AB=2AC=2 ．

故选B．

点评： 此题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用．

8．如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）

A． AB2=AC?BD B． AB?AD=BD?BC C． AB2=BC?BD D． AB?AD=BD?CD

考点： 射影定理．

分析： 先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC?BD．

解答： 解：∵∠BAD=∠C，

而∠ABD=∠CBA，

∴△BAD∽△BCA，

∴AB：BC=BD：AB，

∴AB2=BC?BD．

故选C．

点评： 本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．

9．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题．

分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确；

（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c＜1，错误；

（3）∵对称轴在﹣1的右边，∴﹣ ＞﹣1，又∵a＜0，∴2a﹣b＜0，正确；

（4）当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；

故错误的有1个．

故选：A．

点评： 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）

A． 点M B． 点N C． 点P D． 点Q

考点： 动点问题的函数图象．

专题： 应用题；压轴题．

分析： 分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．

解答： 解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；

B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；

C、 ，

假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；

D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；

故选：D．

点评： 此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点P的位置不好排除，同学们要注意仔细观察．

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

1 1．已知，如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AC交圆于D，连接AD，CD，BD，∠ABD=50°．则∠DBC=50°．

考点： 圆周角定理；垂径定理．

分析： 由OD⊥AC，根据垂径定理的即可得 = ，然后由圆周角定理可求得∠DBC的答案．

解答： 解：∵OD⊥AC，

∴ = ，

∴∠DBC=∠ABD=50°．

故答案为：50°．

点评： 此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），对称轴为直线x=1，它的部分自变量与函数值y的对应值如下表，写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值2.2（精确到0.1）．

x ﹣0.1 ﹣0.2 ﹣0.3 ﹣0.4

y=ax2+bx+c ﹣0.58 ﹣ 0.12 0.38 0.92

考点： 图象法求一元二次方程的近似根．

分析： 根据表格数据找出y的值接近0的x的值，再根据二次函数的对称性列式求解即可．

解答： 解：由表可知，当x=﹣0.2时，y的值最接近0，

所以，方程ax2+bx+c=0一个解的近似值为﹣0.2，

设正数解的近似值为a，

∵对称轴为直线x=1，

∴ =1，

解得a=2.2．

故答案为：2.2．（答案不唯一，与其相近即可）

点评： 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表中数据确定出y值最接近0的x的值是解题的关键．

13．如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC面积是 ，若反比例函数图象经过点B，则此反比例函数表达式为y= ．

考点： 菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式．

分析： 过点A作AD⊥OC于D，设菱形的边长为a，求出AD=OD= a，再根据菱形的面积列出方程求出a的值，然后写出点B的坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式解答．

解答： 解：如图，过点A作AD⊥OC于D，设菱形的边长为a，

∵直线y=x经过点A，

∴AD=OD= a，

∴菱形OABC面积=a? a= ，

解得a= ，

∴ a= × =1，

∴点B的坐标为（ +1，1），

设反比例函数解析式为y= ，

则 =1，

解得k= +1，

所以，反比例函数表达式为y= ．

故答案为：y= ．

点评： 本题考查了菱形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，根据直线解析式求出点A到x轴的距离是解题的关键．

14．已知．如图，P为△ABC中线AD上一点，AP：PD=2：1，延长BP、CP分别交AC、AB于E、F，EF交AD于Q．

（1）FQ=EQ；

（2）FP：PC=EC：AE；

（3）FQ：BD=PQ：PD；

（4）S△FPQ：S△DCP=S△AEF：S△ABC，

上述结论中，正确的有（1）（3）（4）（填上你认为正确的结论前的序号）．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 首先延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，易得四边形BPCM是平行四边形，然后由平行线分线段成比例定理，证得AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，继而证得EF∥BC；然后由相似三角形的性质，证得结论．

解答： 解：延长PD到M，使DM =PD，连接BM、CM，

∵AD是中线，

∴BD=CD，

∴四边形BPCM是平行四边形，

∴BP∥MC，CP∥BM，

即PE∥MC，PF∥BM，

∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，

∴AF：AB=AE：AC，

∴EF∥BC；

∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，

∴FQ：BD=EQ：CD，

∴FQ=EQ，故（1）正确；

∵△△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，

∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，

∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；

∵△PFQ∽△PCD，

∴FQ：CD=PQ：PD，

∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；

∵S△FPQ：S△DCP=（ ）2=（ ）2=（ ）2，S△AEF：S△ABC=（ ）2，

∴S△FPQ：S△DCP=S△AEF：S△ABC．故（4）正确．

故答案为：（1）（3）（4）．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

三、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

15．求值： sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°．

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．

解答： 解： sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°

= × +2× ﹣ ﹣1

=﹣ ．

点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

16．已知抛物线y=﹣2x2﹣x+6．

（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；

（2）x取何值时，y＜0？

考点： 二次函数的三种形式．

分析： （1）用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；

（2）令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围．

解答： 解：（1）y=﹣2x2﹣x+6=﹣2（x2+ x+ ）+ +6=﹣2（x+ ）2+ ，

顶点坐标（﹣ ， ），

对称轴是直线x=﹣ ；

（2）令y=0，即﹣2x2﹣x+6=0，

解得x=﹣2或 ，

∵抛物线开口向下，

∴当x＜﹣2或x＞ 时，y＜0．

点评： 本题考查了二次函数的三种形式，抛物线的顶点式适合于确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y＞0，y=0，y＜0．

四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）

17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．

（1）把△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标．

（2）若△ABC中的一点P（a，b），在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点，请直接写出点P′的坐标（用含a、b的代数式表示）

考点： 作图-旋转变换．

分析： （1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C1，并写出C1的坐标即可；

（2）根据（1）中C点坐标找出规律即可得出结论．

解答： 解：（1）如图所示，C1的坐标（1，4）．

（2）∵C（4，﹣1），C1（1，﹣4），

∴P’（﹣b，a）．

点评： 本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．

18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O的上，点E在⊙ O的外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线．

考点： 切线的判定．

专题： 证明题．

分析： （1）直接根据圆周角定理求解；

（2）根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，则利用互余可计算出∠BAC=30°，于是得到∠BAE=∠BAC+∠EA=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．

解答： （1）解：∵∠D=60°，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC=90°﹣60°=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

∴BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线．

点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理．

五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．如图，已知直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线y= （k＞0）上一点C的纵坐标为﹣8，求△BOC的面积．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： （1）根据正比例函数先求出点A的坐标，从而求出了k值为8；

（2）根据k的几何意义可知S△COE=S△BOF，所以S梯形CEFB=S△BOC=15．

解答： 解：（1）∵点A横坐标为4，

∴由y= x可知当x=4时，y=2．

∴点A的坐标为（4，2）．

∵点A是直线y= x与双曲线y= （k＞0）的交点，

∴k=4×2=8．

（2）如图，

过点C、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点C在双曲线y= 上，当y=﹣8时，x=﹣1．

∴点C的坐标为（﹣1，﹣8）．

∵点A的坐标为（4，2）．

∴B（﹣4，﹣2），

∵点C、B都在双曲线y= 上，

∴S△COE=S△BOF=4．

∴S△COE+S梯形CEFB=S△COB+S△BOF．

∴S△COB=S梯形CEFB．

∵S梯形CEFB= ×（2+8）×3=15，

∴S△BOC=15．

点评： 主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y= 中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

20．如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：

①△ABD∽△CAD；

②AB：AC=DF：AF．

考点： 相似三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： （1）由Rt△ABC中，∠BAC=9O°，A D⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由∠ADB=∠ADC，即可证得△ABD∽△CAD；

（2）由△ABD∽△CAD，即可得 ，易证得△AFD∽△DFB，可得 ，继而证得结论．

解答： 证明：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠BAD=∠ACD，

∵∠ADB=∠ADC，

∴△ABD∽△CAD；

（2）∵△ABD∽△CAD，

∴ ，

∵E是AC中点，∠ADC=90°，

∴ED=EC，

∴∠ACD=∠EDC，

∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，

∴∠BAD=∠BDF，

∵∠AFD=∠DFB，

∴△AFD∽△DFB，

∴ ，

∴ ．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

六、（本题满分12分）

21．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：

（1）坡顶A到地面PQ的距离；

（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析： （1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；

（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°= ，求出即可．

解答： 解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．

∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴ = ，

设AH=5km，则PH=12km，

由勾股定理，得AP=13km．

∴13k=26m． 解得k=2．

∴AH=10m．

答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．

（2）延长BC交PQ于点D．

∵BC⊥AC，AC∥PQ，

∴BD⊥PQ．

∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．

∵∠BPD=45°，

∴PD=BD．

设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x﹣14．

在Rt△ABC中，tan76°= ，即 ≈4.0，

解得x= ，即x≈19，

答：古塔BC的高度约为19米．

点评： 此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键．

七、（本题12分）

22．如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC；

（2）当 ，求 的值；

（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行线的性质．

专题： 代数几何综合题；压轴题；分类讨论．

分析： （1）当PQ∥ BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．

（2）我们先看当 时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积﹣三角形APQ的面积﹣三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．

（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．

解答： 解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x

∴ =

∴x=

（2）∵S△BCQ：S△ABC=1：3

∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm

∴时间用了 秒，AP= cm，

∵由（1）知，此时PQ平行于BC

∴△APQ∽△ABC，相似比为 ，

∴S△APQ：S△ABC=4：9

∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S四边形PQCB= S△ABC，

又∵S△BCQ：S△ABC=1：3，即S△BCQ= S△ABC，

∴S△BPQ=S四边形PQCB﹣S△BCQ═ S△ABC﹣ S△ABC= S△ABC，

∴S△BPQ：S△ABC=2：9=

（3）假设两三角形可以相似

情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，即有 = 解得x= ，

经检验，x= 是原分式方程的解．

此时AP= cm，

情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有 = 解得x=5，

经检验，x=5是原分式方程的解．

此时AP=20cm．

综上所述，AP= cm或AP=20cm．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．

23．农产品的供销具有一定的季节性，在某段时间内，某农资市场西红柿的供给价格（批发价）和零售价格以及市场需要量随时间的变化如表所示：

时间t/月 三月 四月 五月 六月 七月 八月

市场需要量Q/吨每天 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

供给价格y1/元每千克 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4

零售价格y2/元每千克 7.2 6.9 6.6 6.3 6 5.7

求：（1）此阶段市场需要量 （Q/吨）与时间（t/月）之间的函数关系式；

（2）每千克西红柿的利润（y/元）与时间（t/月）之间的函数关系式；（每千克利润=零售价一供给价）

（ 3）商户在几月份经营西红柿能获的最大收益．

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）利用待定系数法求一次函数解析式得出（Q/吨）与时间（t/月）之间的函数关系式；

（2）利用待定系数法求一次函数解析式得出y1，y2解析式，进而得出y=y2﹣y1求出即可；

（3）利用P=2023yQ进而求出函数最值即可．

解答： 解：（1）由表上数据可知，此阶段市场需要（Q/吨）与时间（t/月）之间满足一次函数关系，

可设其关系式为：Q= k1t+b1，不妨取两组对应数据t=3时，Q=1；t=8时，Q=2得：

，

解得： ，

∴（Q/吨）与时间（t/月）之间的函数关系式为：Q= t+ ；

（2）设y1=kx+b，则 ，

解得：

故y1=﹣0.2t+5.6，

设y2=ax+c，则 ，

解得： ，

故y2=﹣0.3t+8.1，

∴y=y2﹣y1=﹣0.1t+2.5；

（3）设收益为P，则

P=2023yQ=2023（﹣0.1t+2.5）（0.2t+0.4）=﹣20t2+460t+2023，

∵此函数的对称轴为t=11.5，

∴当t=8时，收益最大为2023（﹣0.02×64+0.46×8+1）=2023（元）．

点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出P与t的函数关系式是解题关键．