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平谷区2023九年级数学上册期中测试题(含答案解析) 一、选择题（本 题共32分，每小题4分） 下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的. 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则 的值是 A．B．C． D． 2．将抛物线 向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为 A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 是 A． B．C． D． 4．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为 A．50°B．25°C．75° D．1 00° 5．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号为偶数的概率为 A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点 D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部 分的面积为 A．4 B． C． D． 7．若关于 的二次函数 的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是 A． B．C． D． 8．如图反映的过程是：矩形 中，动点 从点 出发，依次沿对角线 、边 、边 运动至点 停止，设点 的运动路程为 ， ．则矩形 的周 长是 A．6 B．12C．14D．15 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数 中，自变量 的取值范围是． 10．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米． 11．请写出一条经过原点的抛物线解析式 ． 12．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s．当整点P从原点出发1秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）；当整点P从原点出发2秒时，可到达整点（2,0）、（0,2）或 ；当整点P从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为 个．当整点P从原点出发n秒时，可到达整点（x,y），则x、y和n的关系为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠ B=∠DAE． （1）求证：△ABC∽△DAE； （2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长． 14．计算： ． 15．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路AD的距离，在A点测得 ， 在C点测得 ，又测得 米，求小岛B到公路AD的距离． 16．我区某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内 温度y(℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有小时； （2）求k的值； （3）当x=16时，大棚内的温度约为 度． 17．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E． 连接AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO=∠BCD． （2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直径． 18．如图，抛物线经过点A、B、C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结AP、CP， 延长CP交AD于E，交BA的延长线于F． （1）求证：∠DCP=∠DAP； （2）若AB=2，DP:PB=1:2，且PA⊥BF，求对角线BD的长． 20．如图，BC为⊙O的直径，以BC为直角边作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边AB与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥BC于点F，交⊙O于点G． （1）求证：AE=CE； （2）若AD=4，AE= ，求DG的长． 21．如图，一次函数的图象与 轴、 轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第二象限交于点C．如果点A的坐标为 ，OA=2OB，点 B是AC的中点． （1）求点C的坐标； （2）求一次函数和反比例函数的解析式． 22．阅读下面材料： 如图1，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD． （1）当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC= ； （2）如图2，在△ABC中，点O是线段AD上一点（不与点A、D重合），且AD=nOD，连结BO、CO，求S△BOC：S△ABC的值（用含n的代数式表示）； （3）如图3，O是线段AD上一点（不与点A、 D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，补全图形并直接写出 的值． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数 ，令 ，可得 ，我们就说1是函数 的零点值，点 是函数 的零点． 已知二次函数 ． （1）若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围； （2）若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值； （3）当k0时，在（2）的条件下，函数的两个零点分别是点A，B（点A在点B的左侧），将二次函数的图象在点A，B间的部分（含点A和点B）向左平移 个单位后得到的图象记为 ，同时将直线 向上平移 个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象 有公共点时，求 的取值范围． 24．已知平面直角坐标系中两定点 、 ，抛物线 过点A，B，与y交于C点，点P（m，n）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围； （3）当∠PAB=∠ABC时，求点P的坐标． 25．（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． ①∠AEB的度数为 ； ②线段AD，BE之间的数量关系为； （2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形ABCD中，CD= ，若点P满足PD=1，且∠BPD=90 °，请求出点A到BP的距离． 平谷区2023九年级数学上册期中测试题(含答案解析)参考答案及评分标准 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A B A D B C D C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． ；10．5；11．答案不唯一，如： ； 12．（1,1）；… …………………………………………………………………………………1分 5； ………………………………………………………………………………………2分 x+y=n………………………………………………………………………………………4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠ADE=∠CAB．……………………………………1分 ∵∠B=∠DAE， ∴△ABC∽△DAE．…………………… ……………3分 （2）∴ ．………………………………………4分 ∵AB=8，AD=6，AE=4， ∴ ． ∴ ．…………………………………………5分 14．解： ……………………………………………………………………………4分 ………………………………………………………………………………………5分 15．解：过B作BE⊥AD于E ∵ ， ， ∴ ．……………………………………1分 ∴ ．…………………………2分 ∴BC = AC=50（米）．…………………………………3分 在Rt△BCE中， ． ∴ （米）． ………………………………………………………………………4分 答：小岛B到公路AD的距离是 米．………………………………… ………………5分 16．解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为 10 小时．………………1分 （2）∵点B(12，18)在双曲线 上， …………………………………………2分 ∴18= ， ∴k=216. ………………………………………………………………………3分 （3）当x=16时， ，…………………………………………………4分 所以当x=16时，大棚内的温度约为 13.5 度．……………………………………5分 17．证明：(1)∵AB 为⊙O的直径，CD 是弦 ，且AB CD于E， ∴CE=ED， .………………………1分 ∴ BCD= BAC. ∵OA=OC, ∴ OAC= OCA . ∴ ACO= BCD. …………………………2分 (2) ∵CE=ED=4，……………………………3分 方法一：在Rt BCE中， . ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=∠BEC=90°. ∵∠B=∠B， ∴△CBE∽△ABC．………………………………………………………………4分 ∴ ． ∴ .………………………………………………………………5分 方法二：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB EB=R-3 在Rt CEO中，由勾股定理可得 OC =OE +CE 即R = (R 3) +4 解得 R= ………………………………………………………………………4分 ∴2R=2 = ………………………………………………………………5分 答：⊙O的直径为 ． 18．解：（1）由题意知 ， ， 设抛物线的解析式为 ．………………1分 把 代入，解得a=1．……………………………2分 ∴ ．………………………3分 （2）∵对称轴x=1， ∴点D的坐标为 ．………………………………………………………………………4分 ∴ ．…………………………………………………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=AD，∠CDP=∠ADP． ∵DP=DP， ∴△CDP≌△ADP．……………………………………………………………………………1分 ∴∠DCP=∠DAP． ……………………………………………………………………………2分 （2）解：∵CD∥BA， ∴△CDP∽△FPB． ∴ ．……………………………………3分 ∵CD=BA， ∴BA=AF． ∵PA⊥BF， ∴PB=PF．………………………………………………4分 ∴∠PBA=∠PFA． ∴∠PCD=∠P DC． ∴PD =PC=PA． ∴BD=BP+PD． ∵ ， ∴ ． 在Rt△ABP中， ， ∵AB=2， ∴ ， ． ∴ ．…………………………………………………………………………………5分 20．（1）证明：连结CD， ∵BC为⊙O的直径，∠ACB=90°， ∴AC是⊙O的切线. 又∵DE与⊙O相切， ∴ED=EC. ……………………………1分 ∴∠1=∠3. ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC=90°. ∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°, ∴∠A=∠2. ∴ED=EA. ∴AE=CE. ………………………………………………………………………………………2分 （2）解：∵AE= , ∴AC=2AE= ． 在Rt△ACD中， .…………………………………………………3分 ∴ ∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°, ∴∠A=∠4. ∴ ∴ …………………………………………………………………………………4分 ∵DG⊥BC于点F， ∴DG=2DF= ．……………………………………………………………………………5分 21．解：⑴作CD⊥ 轴于D， ∴CD∥BO． ∵OA=2OB， ∴OB=2． ∴ ．………………………………………1分 ∵ 点B是AC的中点， ∴O是AD的中点．………………………………2分 ∴OD=OA=4，CD=2OB=4． ∴点C的坐 标为 ．………………………3分 ⑵设反比例函数的解析式为 ， ∴ ． ∴所求反比例函数的解析式为 ．……………………………………………………4分 设一次函数为 ， ∵A（4,0），C ， ∴ 解得： ． ∴所求一次函数的解析式为 ．…………………………………………………5分 22．解：（1）S△ABD：S△ABC=1：2；………………………………………………………1分 （2）如图，作OM⊥BC于M，作AN⊥BC于N， ∴OM∥AN． ∴△OMD∽△AND．……………………………………2分 ∴ ． ∵AD=nOD； ∴ ∵ ， ∴ ．……………………………………………………………………3分 （3） …………………………………………………………………4分 ． ………………………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解:（1）证明： .……………………………………………………………………………………1分 ∵二次函数有两个不重合的零点 ∴ …………………………………………………………………………2分 ∵ ∴当 且 时，二次函数有两个不重合的零点． …………………………………3分 （2）解方程得： , ∴ 或 ．…………………………………………………………………………4分 ∵函数的两个零点都是整数， 是整数， ∴ 是整数． ∴ ． ……………………………………………………………………………………5分 （3）∵k0， ∴ ． ∴ ， ． ∵函数的两个零点分别是A， B（点A在点B的左侧）， ∴ ， ． ∴平移后的点为 ， ． 平移后的解析式为 ． ∴ 解得 ，…………………………………………………… …6分 解得 ． ∴ ．……………………………………………………………………………………7分 24．解：（1）∵抛物线 过点A，B， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为： .…………………………………………………1分 ∴C ．……………………………………………………………………………………2分 （2）方法一：∵ ∴∠ACO=∠OBC． ∴∠ACO+∠OCB=90°，即∠ACB=90°， ∴ ．…………………………………………………………………………………3分 由抛物线的对称性可知， ∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．…………………………………………5分 方法二：以AB为直径作圆M，与y轴交于点P.则抛物线在圆内的部分，能是∠APB为钝角， ∴M（ ，0），⊙M的半径= ． 在Rt△OMP中，∴ ． ∴ ．……………………………………3分 以下同方法一. (3)在Rt△OBC中， . 第一种情况：过A作AP∥BC，交抛物线于点P . ∴∠PAB=∠ABC. 过P作PQ⊥AB于Q， ∴ . ∵P（m，n）, ∴P Q=n，AQ=m+1 ∴ . ∴ . 解得 ∴ ………………………………………………6分 第二种情况： 方法一：点P关于x轴的对称点的坐标为 ∴直线AP″的解析式为 ∴ 解得 ∴ ……………………………………………………………………………………7分 方法二：假设∠P’AB=∠ABC，交抛物线于点P’ . 过P’作P’Q’⊥AB于Q’， ∴ . ∵P（m，n）, ∴P’Q’=﹣n，AQ’=m+1 ∴ . ∴ . 解得 ∴ ………………………………………7分 ∴ 25．解：（1）①60°．…………………………………………………………………………1分 ②AD=BE．………………………………………………………………………… …………2分 （2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM． 理由：如图2， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE． ……………………………………………………………………………3分 ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC． ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=135°． ∴∠BEC=135°． ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．……………………………………………………………4分 ∵CD=CE，CM⊥DE， ∴DM=ME． ∵∠DCE=90°， ∴DM=ME=CM． ∴AE=AD+DE=BE+2CM．……………………………………………………………………5分 （3）方法一：∵CD= ， ∴BD=2． 第一种情况：当点P在BD上方时 ∵PD=1，∠BPD=90° ∴∠PBD=30°． ∴∠PBA=∠ PDA=15°． 在BP上截取BE=PD， ∴△ABE≌△ADP． ∴AE=AP，∠PAD=∠EAB ∵ ∠BAE+∠EAD=90°， ∴∠PAD +∠EAD=90°． 即∠EAP=90°．…………………………………6分 过A作AH⊥BP于H， 由（2）可知，BP=DP+2AH. ∴AH= .…………………………………7分 第二种情况：当点P在BD下方时 同理可得：BP’=2AH’﹣P’D． ∴AH= .…………………………………………………………………………………8分 方法二：∵PD=1， ∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上． ∵∠BPD=90°， ∴点P在以BD为直径的圆上． ∴点P是这两圆的交点． ①当点P在如图3①所示位置时， 连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H， 过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①． ∵四边形ABC D是正方形， ∴∠ADB=45 °，CD= ，∴BD=2． ∵DP=1，∴BP= ． ∵A、P、D、B四点共圆，∴∠APB=∠ADB=45°． ∴△PAE是等腰直角三角形．…………………………………………………………………6分 又∵△BAD是等腰直角三角形， AH⊥BP， ∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD． ∴AH= ．…………………………………7分 ②当点P在如图3②所示位置时， 连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H， 过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②． 同理可得：BP=2AH﹣PD． ∴AH= ．……………………………………8分 综上所述：点A到BP的距离为 或 ． 以上答案仅供参考，其它解法按相应步骤给分！ | 
