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房山区2023九年级数学上册期中试题(含答案解析) 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1. 抛物线 的顶点坐标是 A． B．C．D． 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于 A．30° B．40° C．60° D．80° 3．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值等于 A． B． C． D． 4. 已知点P(-3,2)是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为 A. B. C. D. 5. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′ 的面积的比为 A．1：2 B． 2：1 C． 1：4 D． 4：1 6. 如图，弦AB ? OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于 A． B． C．D． 7. 在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一根旗杆的影长为 ，那么这根旗杆的高度为 A． 10m B． 12mC． 15m D．40m 8. 如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN且∠APN=60°，过点A的切线AB交MN于点B. 设OP=x，△PAB的面积为 y，则下列图象中， 能表示 与 的函数关系的图象大致是 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DE∥BC， 若AD=5，DB=3，DE=4，则BC等于 ． 10．如图，⊙ 的半径为2， ， 切⊙ 于 ，弦 ， 连结 ， 则图中阴影部分的面积为． 11. 如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD=15°， ⊙O的半径为10，则AB= ． 12. 抛物线 （其中n是正整数）与x轴交于An、Bn两点，若以AnBn表示这两点间的距离，则 ; ； (用含n的代数式 表示) 二、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： 解： 14.如图， 为线段 上一点， ， ， ．求证： ． 解: 15.已知二次函数 的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解: 16. 如图，在 中， ， ， 为 上一点， ， ，求 的长. 解: 17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD的高度. 她先在A处测得楼顶C的仰角 30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角 60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米）参考数据： ， ， 解: 18. 如图，直线y=3x与双曲线 的两个交点分别为A (1 , m)和B． （1）直接写出点B坐标，并求出双曲线 的表达式； （2）若点P为双曲线 上的点（点P不与A、B重合），且满足PO=OB，直接写出点P坐标． 解: 四、解答题(本题共20分，每小题5分) 19. 抛物线 与x轴分别交于点A (－1,0)和点B，与y轴的交点C坐标为(0,－3)． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC的值最小，求点D的坐标. 解: 20. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，求这个车轮的外圆半径长． 解: 21.如图，AB是⊙O的 直径， 点C在⊙O上，CE? AB于E, CD平分?ECB, 交过 点B的射线于D, 交AB于F, 且BC=BD. （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AE=9, CE=12, 求BF的长. 解: 22. 阅读下面的材料： 小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题： 小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）= 12 . 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： (1) 计算：2※3= ； (2) 若5※m=56 ，则m= . (3) 函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（） 五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分） 23. 直线y=﹣3x+3与x轴交于点A, 与y轴交于点B，抛 物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，与x轴的另一交点为C． （1）求a，k的值； （2）若点M、N分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标． 24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点 P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF． （1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求证：OD=OE； （3）求证：PF是⊙O的切线． 解: 25. 已知抛物线 ． （1） 求证：无论 为任何实数，抛物线与 轴总有两个交点； （2） 若A 、B 是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和 的值； （3） 若反比例函数 的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为 ，且满足23，求k的取值范围. 解: 房山区2023九年级数学上册期中试题(含答案解析)参考答案和评分参考 一、选择题（每题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D C A C D 二、填空题（每题4分） 9.325 10. 23π11.10 12.(前两空每1分，最后一空2分) 三、解答题 13. 解：原式=1-2×32 -8+23 …………………………4分 =3 -7 ………………………………………5分 14. 证明 ： ∵ ， ∴ ． ∵ 为线段 上一点，且 ， ∴ ． ∴ ． …………………………………………………………………2分 ∵ = ， …………………………………………………………………3分 ∴△ ∽△ ． ………………………………………………………………4分 ∴ ．………………………………………………………………………5分 15. 由题意可知： ……………………2分 即 …………………………3分 解得 ……………………………………4分 ∴ k的取值范围是：k≤4且k≠3……………5分 16. 解：在 中， ， ， ∴ ∴ …………………………………1分 在 中， ，∴ ，……2分 ∴ ……………………………………3分 ∴ ……… …………4分 ∴ ……………………………5分 17. ∵ 30°， 60°，∴∠ECF＝ ＝30°. ∴ . 在Rt△CFG中， ……………………………………………3分 ∴ . ………………………………………………5分 答：这座教学楼的高度约为10.3米. 18.（1）点B坐标为（-1，-3）……………………………………1分 ∵直线y=3x过点A(1，m) ∴m=3×1=3 ∴A(1,3) ……………………………………………………2分 将A(1,3)代入y=kx 中，得 k=xy=1×3=3 ∴y=3x …………………………………………… ……………3分 (2) P1(-3,-1), P2(3,1)………………………………………………5分 四、解答题 19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线 中 得：， 解得： …………1分 ∴抛物线的解析式为 …………………2分 (2)由 = 知抛物线的对称轴为直线x=1，点B(3,0)……………3分 连接BC，交对称轴x=1于点D 可求得直线BC:y=x-3 当x=1时，y=-2 ∴点D(1,-2)……………………………………………5分 20. 如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，……1分 ∵CD=10cm，AB=60cm， ∴设半径为r，则OD=r﹣10，…………………………2分 根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，…………………3分 解得：r=50，…………………………………………5分 ∴这个车轮的外圆半径长为50． 21. （1）证明：∵ , ∴ . ∵ CD平分 , BC=BD, ∴ , . ∴ . …………………………1分 ∴ ∥ . ∴ . ∵ AB是⊙O的直径, ∴ BD是⊙O的切线. ………………………………………………………2分 （2）连接AC， ∵ AB是⊙O直径， ∴ . ∵ , 可得 . ∴ ………………………………………………………3分 在Rt△CEB中，∠CEB=90?, 由勾股定理得 ……………4分 ∴ . ∵ , ∠EFC =∠BFD, ∴ △EFC∽△B FD.………………………………………………………5分 ∴ . ∴ . ∴ BF=10. ………………………………………………………………………6分 22. 解：（1） …………………1分 (2) ±6 ……………………3分 （3）D………………………5分 五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分） 23. (1)∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ， ∴ ， . ……………………………………2分 又抛物线 经过点 ， ∴ 解得 即 ， 的值分别为 ， .……………………………4分 （2）…………………………………7分 24. （1）解：∵AC=12， ∴CO=6， ∴ = =2π； （2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB， ∠PEA=90°，∠ADO=90° 在△ADO和△PEO中， ， ∴△POE≌△AOD（AAS）， ∴OD=EO； （3）证明：如图，连接AP，PC， ∵OA=OP， ∴∠OAP=∠OPA， 由（1）得OD=EO， ∴∠ODE=∠OED， 又∵∠AOP=∠EOD， ∴∠OPA=∠ODE， ∴AP∥DF， ∵AC是直径， ∴∠APC=90°， ∴∠PQE=90° ∴PC⊥EF， 又 ∵DP∥BF， ∴∠ODE=∠EFC， ∵∠OED=∠CEF， ∴∠CEF=∠EFC， ∴CE=CF， ∴PC为EF的中垂线， ∴∠EPQ=∠QPF， ∵△CEP∽△CAP ∴∠EPQ=∠E AP， ∴∠QPF=∠EAP， ∴∠QPF=∠OPA， ∵∠OPA+∠OPC=90°， ∴∠QPF+∠OPC=90°， ∴ OP⊥PF， ∴PF是⊙O的切线． 25．（1）证明：令 . 得 . 不论m为任何实数，都有(m－1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分 ∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点. ……………… 2分 （2）解：抛物线 的对称轴为 ∵抛物线上两个不同点A 、B 的纵坐标相同，∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则 ． ∴ . ……………………………………………………… 3分 ∴抛物线的解析式为 ． ………………… 4分 ∵A 在抛物线 上， ∴ . 化简，得 . ∴ ． ……………………………………………… 5分 （3） 当23时， 对于 ，y随着x的增大而增大， 对于 ，y随着x的增大而减小. 所以当 时，由反比例函数图象在二次函数图象上方， 得 ＞ ， 解得k＞5.…………………………………6分 当 时，由二次函数图象在反比例函数图象上方， 得 ＞ ， 解得k＜18. ……………………………………7分 所以k的取值范围为5＜k＜18. ……………………………8分 | 
