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西城区2023九年级上册数学期中测试题(含答案解析) 一、选择题(本题共32分，每小题4分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．二次函数 的最大值是 A．B．C．1 D．2 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果 ∠ADE=120°，那么∠B等于 A．130° B．120° C．80° D．60° 3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B CD 4．把抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线 A． B． C． D． 5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面 积是3，那么△A′B′C′的面积等于 A．3 B．6 C．9 D．12 6．如果关于x的一元二次方程 有实数根，那么m的取值范围是 A．m＞2B．m≥3 C．m＜5D．m≤5 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ，AC=12，BC=5， CD⊥AB于点D，那么 的值是 A．B． C． D． 8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正 方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中 的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物 线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网 格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形， ，且点A，B，C 的横坐标 ， ， 满足 ＜ ＜ ，那么符合上述条件的抛物线条数是 A．7 B．8 C．14D．16 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在平面直角坐标系xOy中，点 在反比例函数 的图象上， x轴于 点B，那么△AOB的面积等于 ． 10．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB′C′，使AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点D， 如果∠D=28°，那么°． 11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点 为A，C，那么线段CE的长应等于． 12．在平面直角坐标系xOy中， ， （其中 ），点P在以点 为圆心，半径等于2的圆 上，如果动点P满足 ，（1）线段 的长 等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值 为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算： ． 14．解方程： ． 15．如图，在⊙ 中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD 与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，连接 交AB于 点E．如果⊙ 的半径等于 ， ，求 弦 的长． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C 都在格点上，将△ 绕点A顺时针方向旋转90°得到 △ ． （1）在正方形网格中，画出△ ； （2）计算线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域的面积． （结果保留 ） 17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出 件．如果商店计划要每天恰好盈利2023元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元． 18．如果关于x的函数 的图象与x轴只有一个公共点，求实数a 的值． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得 海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路 的距离PC约等于多少米？（ 取1.732，结果精确到1米） 20．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点 E，F，G分别在AB，BC，FD上． （1）求证：△EBF∽△FCD； （2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求 的值． 21．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点， ， 连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M． （1）请依题意补全图形； （2）求证： ； （3）求 的值． 22． 已知抛物线C： . 抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 抛物线C： 变换后的抛物线 （1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直 角坐标系中画出抛物线C； （2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍， 纵坐标变为原来的 ，可证明得到的曲线仍是 抛物线，（记为 ），且抛物线 的顶点是抛物 线C的顶点的对应点，求抛物线 对应的函数 表达式. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ， 在反比例函数 （m为常 数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与 x轴的交点为点 ，过点C作CE∥x轴交直线l于点E． （1）求m的值及直线l对应的函数表达式； （2）求点E的坐标； （3）求证： ． 24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l 上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针 方向旋转 得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（ ）． （1） ① = ； ② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且 时，点Q到直线l的距离 等于； （2） 当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为 ， ．在图2 中画出此时的线段 及△ ，并直接写出相应m的值； （3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于 时，求m的值． 25．如图1，对于平面上不大于 的 ，我们给出如下定义：若点P在 的内 部或边界上，作 于点E， 于点 ，则称 为点P相对于 的“点角距离”，记为 ． 如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于 ，点P为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上的动点，且满足 5，点P运动形成的图形记为图形G． （1）满足条件的其中一个点P的坐标是 ，图形G与坐标轴围成图形的面积 等于 ； （2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知 ， ，求 的值； （3）如果抛物线 经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间 的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当 取最大值时，点Q 的坐标． 西城区2023九年级上册数学期中测试题(含答案解析)及评分标准 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D D B C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．3． 10.28． 11. ． 12.（1）m；（2）3. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解： ……………………………………………………… 3分 ………………………………………………………………………………… 5分 14．解： ． ∵ ， ， ， ……………………………………………………… 1分 ∴ ．……………………………………………… 2分 ∴ ……………………………………………… 3分 ． ∴ 原方程的解是 ， ．…………………………………… 5分 15．解：连接OC．（如图1） ∵ PC，PD与⊙ 相切，切点分别为点C，点D， ∴ OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC=PD，∠OPC=∠OPD． ∴ CD⊥OP，CD=2CE． …………………………2分 ∵ ， ∴ ．……………3分 设 OE=k，则CE=2k， ．（ ） ∵ ⊙ 的半径等于 ， ∴ ，解得 ． ∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴ CD=2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分 16．（1）画图见图2． …………………………… 2分 （2）由图可知△ 是直角三角形，AC=4，BC=3， 所以AB=5．…………………… 3分 线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5． ……………………………………… 4分 ∴ ． …………………………………… 5分 所以线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域的面积为 ． 17．解：根据题意，得 ．（20≤a≤80） …………………… 1分 整理，得 ． 可得 ． 解方程，得 ， ．…………………………………………………… 3分 当 时， （件）． 当 时， （件）． 因为要使每天的销售量尽量大，所以 ． ………………………………… 4分 答：商店计划要每天恰好盈利2023元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售 价应是40元．……………………………………………………………………… 5分 18．解：（1）当 时，函数 的图象与x轴只有一个公共点成立．…………1分 （2）当a≠0时，函数 是关于x的二次函数． ∵ 它的图象与x轴只有一个公共点， ∴ 关于x的方程 有两个相等的实数根． ………2分 ∴ ．………………………………………………3分 整理，得 ． 解得 ．…………………………………………………………… 5分 综上， 或 ． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°． ………………………………………… 2分 ∴ ． ∴ ∠PAC=∠APB． ∴ PB=AB= 400．…………………………… 3分 在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400， ∴ ≈346（米）．………………4分 答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米． …………………………………… 5分 20．（1）证明：如图4． ∵ 正方形ABCD，正方形EFGH， ∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°， BC=CD，GH=EF=FG． 又∵ 点F在BC上，点G在FD上， ∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°， ∴ ∠EFB =∠FDC． …………………… 1分 ∴ △EBF∽△FCD．…………………… 2分 （2）解：∵ BF=3，BC=CD=12， ∴ CF=9， ． 由（1）得 ． ∴ ． …………………………………………… 3分 ∴ ．……………………………………4分 ． ∴ ． ………………………………………………… 5分 21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分 （2）证明：∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称， ∴ ∠DBC=2∠ABC． ……………………………2分 又∵ ， ∴ ．……………………………3分 （3）解：∵ ， ∴ ∠A=∠D． 又∵ ， ∴ △AOE∽△DBM． ……………………………………………………… 4分 ∴ ． ∵ ，OA =OC， ∴ ． ∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称， ∴ BC=BD． ∴ ．………………………………………………………… 5分 22．解：（1） ， ． ……………………………………………………… 2分 画图象见图6．……………………………………………………………… 3分 （2）由题意得变换后的抛物线 的相关点的坐标如下表所示： 抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 变换后的抛物线 设抛物线 对应的函数表达式为 ．（a≠0） ∵ 抛物线 与y轴交点的坐标为 ， ∴ ． 解得 ． ∴ ．……… 5分 ∴ 抛物线 对应的函数表达式为 ． 说明：其他正确解法相应给分． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ 点 在反比例函数 （m为常数）的图象G上， ∴ ．………………………………………………………………1分 ∴ 反比例函数 （m为常数）对应的函数表达式是 ． 设直线l对应的函数表达式为 （k，b为常数，k≠0）． ∵ 直线l经过点 ， ， ∴ 解得 ∴ 直线l对应的函数表达式为 ． ………………………………2分 （2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为 ． ………… 3分 ∵ CE∥x轴交直线l于点E， ∴ ． ∴ 点E的坐标为 ．………………………………………………… 4分 （3）如图7，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M， 作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE， ． ∵ ， ， ， ∴ 点F的坐标为 ． ∴ CF=EF． ∴ AC=AE． ∴ ∠ACE =∠AEC．………………………… 5分 ∵ 点 在图象G上， ∴ ， ∴ ， ， ． 在Rt△ABG中， ， 在Rt△BCH中， ， ∴ ．………………………………………………………… 6分 ∴ ． ∵ ， ， ∴ ∠BAE=∠ACB． …………………………………………………………… 7分 24．解：（1）① = 90 ；………………………………………………………………1分 ② m=3时，点Q到直线l的距离等于 ．……………………………… 2分 （2）所画图形见图8．………………………… 3分 ．……………………………… 4分 （3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F． ∵ CA⊥直线l， ∴ ∠CAP=90 ． 易证四边形ADFG为矩形． ∵ 等边三角形ABC的边长为4， ∴ ∠ACB=60 ， ， ． ∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转 得到△BCQ， ∴ △ACP≌△BCQ． ∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90 ． ∴ ∠QBF=60 ． 在Rt△QBF中，∠QFB=90 ，∠QBF=60 ，BQ=m， ∴ ．…………………………………………………………… 5分 要使△PAQ存在，则点P不能与点A， 重合，所以点P的位置分为以下两 种情况： ① 如图9，当点P在（2）中的线段 上（点P不与点A， 重合）时，可得 ，此时点Q在直线l的下方． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 整理，得 ． 解得 或 ． 经检验， 或 在 的范围内，均符合题意．… 7分 ② 如图10，当点P在（2）中的线段 的延长线上（点P不与点A， 重合）时，可得 ，此时点Q在直线l的上方． ∴ ． ∵ ， ∴ . ． 整理，得 ． 解得 （舍负）． 经检验， 在 的范围内，符合题意．…………8分 综上所述， 或 或 时，△PAQ的面积等于 ． 25．解：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是 ；………………………………… 1分 （说明：点 的坐标满足 ， 0≤x≤5，0≤y≤5均可） 图形G与坐标轴围成图形的面积等于 ．…………………………………2分 （2）如图11，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K． 由点B的坐标为 ，可求得直线OB对应的函数关系式为 ． ∴ 点D的坐标为 ， ． ∴ OB=5， ， ． ∴ ． ……………………………………… 3分 ∴ ． ……………………………………… 4分 （3）∵ 抛物线 经过 ， 两点， ∴ 解得 ∴ 抛物线对应的函数关系式为 ．………………………5分 如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N． 设点Q的坐标为 ，其中3≤m≤5， 则 ． 同（2）得 ． ∴ 点N的坐标为 ， ． ∴ 当 （在3≤m≤5范围内）时， 取得最大值（ ）． ………………………………………………………… 6分 此时点Q的坐标为 ．………… 西城区2023九年级上册数学期中测试题(含答案解析)参考答案 | 
