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延庆县2023九年级上学期数学期中试题(含答案解析) 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1. 下列图形中，是中心对称图形的是 A． B． C．D． 2．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把 它们分别标号为1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为 A.B. C. D. 3. 抛物线 的顶点坐标是 A．（2，3） B．（-2，3）C．（2，-3） D．（-2，-3） 4. 如图， □ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F， 则EF：FC等于 A．1：1 B．1：2 C．1：3D．2：3 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，OC= 5，CD=8， 则OE的长为 A．1 B．2C．3D． 4 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝ ，BC＝2，则sinB的值为 A． B． C． D．2 7．二次函数 的图象如图所示， 则下列结论中错误的是 A．函数有最小值 B ．当－1 2时， C． D．当 ，y随x的增大而减小 8．如图，矩 形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点， AB=3，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D﹣C在矩形的边上运动，运动到 点C停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表 示y与x的函数关系的图象大致如图2所示．则点M的位置可能是图1中的 A．点C B．点F C．点D D．点O 二、填空题 （本题共16分，每小题4分） 9．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积是________ cm2． 10. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式__________． 11. 已知关于 的一元二次方程 无实数根，那么m的取值范围是____． 12. 如图，AD是⊙O的直径． (1)如图1，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是，∠B2的度数是； (2)如图2，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，则∠B3的度数是； (3)如图3，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，则∠Bn的度数是（用含n的代数式表示∠Bn的度数）． 三、解答题（本题共35分，每小题5 分） 13. 计算： 14. 解方程： 15. 已知：二次函数的图象过点A（2，-3），且顶点坐标为C（1，-4）． （1）求此二次函数的表达式； （2）画出此函数图象，并根据函数图象写出：当 时，y的取值范围. 16. 如图，在⊙O中，弦AC与BD交于点E，AB=8，AE=6，ED=4，求CD的长． 17．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进30海 里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离 CD的长（结果保留根号）． 18. 已知：AD是△ABC的高， ，AB=4， ，求BC的长. 19. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间 满足关系：y = ax2 + bx﹣75．其图象如图． （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？ 最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 四、解答题（本题共15分，每小题5分） 20. 有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上☆○☆， B组的卡片上分别画上☆○○，如图1 所示. （1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张， 求两张卡片上标记都是☆的概率（请用画树形图法或列表法求解） （2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标 记 如图2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子，看 到的卡片正面标记是☆后，猜想它的反面也是☆，求猜对的概率是多少？ 21. 如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D， 交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E， 交AC的延长线于点F. （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）CF=5，cos∠A = 25，求BE的长.[来~源#:*中教网%] 22. 探究发现: 如图1，△ABC是等边三角形，点E在直线BC上，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立； 数学思考: 某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论： 当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC延长线”；“点E在线段 BC反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF． 拓展应用:当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第25题6分） 23. 已知关于 的一元二次方程 有实数根， 为正整数. （1）求 的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函数 的图象 向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式； （3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线 过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k的取值范围. 24. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BAC所对弧AC上，任取一点D， 连接AD，BD，CD， （1）如图1， ，直接写出∠ADB的大小（用含 的式子表示）； （2）如图2，如果 BAC=60°，求证：BD+CD=AD； （3）如图3，如果 BAC=120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明； （4）如果 ，直接写出BD+CD与AD之间的数量关系. 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1: （ ）与抛物线C2: ， （1）抛物线C1与 轴交于点A，其对称轴与 轴交于点B．求点A，B的坐标； （2）若抛物线C1在 这一段位于C2下方，并且抛物线C1在 这一段位于C2上方，求抛物线C1的解析式. 延庆县2023九年级上学期数学期中试题(含答案解析)参考答案 一、选择题（共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B C A B D 二、填空题（共16分，每题4分） 题号 9 10 11 12 答案 三、解答题（本题共35分，每小题5分） 13. 计算： = =5 14．解方程： 解1: ∴ 解2: 解3: ∵a=1,b=-4,c=-5 15.(1) 设二次函数的表达式为 ∵此函数图象顶点C（1，﹣4） ∴ 过点A（2，-3）， ∴a=1 ∴二次函数的解析式: 二次函数的解析式: 当x= -1时，y=0 当x=1时，y有最小值，为y=-4 ∵x=1在 内 ∴当 时，y的取值范围-4 ≤ y ＜0 16. 解：∵∠B=∠C，∠A=∠D ∴△ABE∽△CDE ∴ ∵AB=8，AE=6，ED=4， ∴ ∴ 17. 解： ∵DA⊥AD，∠DAC=60°， ∴∠1=30°. ∵EB⊥AD，∠EBC=30°， ∴∠2=60°. ∴∠ACB=30°. ∴BC = AB=30. 在Rt△ ACD中，∵∠CDB=90°，∠2=60°， 18. 分两种情况： （1）如图1 在Rt△ABD中，∠CDB=90°， ，AB=4， 由勾股定理可得： . 在Rt△ACD中，∠ADC=90°， ， ∵ ， ， ∴ . ∴CD=1. ∴BC=4. （2）如图2 同理可求：BD=3，CD=1 ∴BC=2. 综上所述：BC的长为4或2. 19. 解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16）， ∴ ， 解得 ， y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25） 当x=10时，y最大=25， 答：销售单价为10元时，该种商品每天销售利润最大，最大利润为25元； （2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10， 可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）， 又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下， ∴当7≤x≤13时，y≥16． 答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该商品每天 销售利润不低于 16元． 20. （1）方法1：由题意： 从树状图中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 . 方法1：由题意可列表如下： ☆ ○ ☆ ☆ （☆，☆） （☆，○） （☆，☆） ○ （○，☆） （○，○） （○，☆） ○ （○，☆） （○，○） （○，☆） 从表中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 . （2） 21.证明：（1）连接CD ∵AO=CO，CD=BD ∴OD //AB ∴∠ODE=∠DEB ∵DE⊥AB ∴∠DEB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD⊥BC ∴直线EF是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为x，则OC=OA=OD， ∵OD //AB ∴∠ODC=∠B，∠FOD=∠A ∵OC=OD ∴∠ODC=∠OCD ∴∠B =∠OCD ∴AC=BC=2x 在Rt△ODF中，∠ODF=90°， ∴ ∴ ∴ 在Rt△AEF中，∠FEA=90°， ∴ ∴ ∴ ∴BE=2 22. 数学思考: 证明：如图一，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°． ∵AG=EC， ∴BG=BE， ∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°， ∴∠AGE=120°． ∵FC是外角的平分线， ∴∠ECF=120°=∠AGE． ∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE． ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC， ∴∠GAE=∠FEC． 在△AGE和△ECF中 ， ∴△AGE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF； 拓展应用：如图二： ∵△ABC是等边三角形，BC=CE ∴CE=BC=AC， ∴∠CAH=30°， 作CH⊥AE于H点， ∴∠AHC=90°． ∴CH= AC，AH= AC， ∵AC=CE，CH⊥AE ∴AE=2AH= AC． ∴ ． 由数学思考得AE=EF， 又∵∠AEF=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴△ABC ∽△AEF． ∴ = = ． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第 25题6分） 23. （1）∵关于 的一元二次方程 有实数根 ∴ ∴ ∴ …………………………………………………1分 ∵ 为正整数 ∴ 的值是1,2,3 ……………………………………2分 （2）方程有两个非零的整数根 当 时， ，不合题意，舍 当 时， ，不合题意，舍 当 时， ， ∴……………………………3分 ∴ ∴平移后的图象的表达式 ………………4分 （3）令y =0 ， ∴ ∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧） ∴A（-4,0），B（2,0） ∵直线l： 经过点B， ∴函数新图象如图所示，当点C在抛物 线对称轴左侧时，新函数的最小值有 可能大于 ． 令 ，即 ． 解得 ， （不合题意，舍去）． ∴抛物线经过点 ． ……………5分 当直线 经过点（-3，-5），（2,0）时，可求得 …………6分 由图象可知，当 时新函数的最小值大于 ． ………………………7分 （也可以用三角形相似求出-5以及k的值） 24. ………………1分 （2）延长BD到E，使得DE=DC ∵ BAC=60°，AB=AC ∴△ABC是等边三角形………………2分 ∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60° ∵四边形ABCD内接于圆 ∴∠BAC+∠BDC=180° ∵∠BDC+∠EDC=180° ∴∠BAC=∠EDC=60° ∵DC=DE ∴△DCE是等边三角形 ………………3分 ∴∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE ∴△ACD≌△BCE∴BE=AD ∵BE=BD+DE ∴AD=BD+CD ………………4分 （3）延长DB到E，使得BE=DC，连接AE， 过点A作AF⊥BD于点F， ∵AB=AC∴∠1=∠2 ………………5分 ∵四边形ABCD内接于圆 ∴∠DBA+∠ACD=180° ∵∠EBA+∠DBA =180° ∴∠EBA=∠DCA ∵BE=CD，AB=AC ∴△EBA≌△DCA∴∠E=∠1 ∴AE=AD………………6分 在Rt△ADF中，∠AFD=90°， ∴ ………………………………7分 ∵∠1=90°- =30°, ∴ ∴ ∵ BE=BD+CD ∴…………………………………………8分 (4) ……………………………………………9分 25. （1）根据: 可得点A(0,4)，B(1,0) ……………………………2分 (2)根据对称, 抛物线C1在 这一段位于C2下方,相当于抛物线C1在 这 一段位于C2下方 … …………………………3分 ∵抛物线C1在 这一段位于C2上方， ∴两条抛物线的交点横坐标:x=3……………………………4分 ∴把x=3代入 ∴y=3 ∴抛物线C1： 经过点（3,3）……………………………5分 ∴ ∴抛物线C1的解析式: ……………………………6分 | 
