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昌平区2023九年级上学期数学期中试题(含答案解析) 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．已知∠A为锐角，且sinA＝12，那么∠A等于 A．15° B．30° C．45° D．60° 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．正方形D．正五边形 3．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，那么∠BOC的度数是 A．150°B．120°C．90° D．60° 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E． 若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于 A．B． C． D． 5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC＝ ， AC＝3，则 CD的长为 A．1 B． C．2 D． 6．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A ， △PAO的面积为3，则k的值为 A．3 B．- 3 C． 6D．-6 7．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为 A． B．3 C．4 D．5 8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形 的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x， MP 2 ＝y，则表示y与x的函数关系的图象大致为 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 抛物线 的顶点坐标是 ． 10．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 11． 如图，点P是⊙ 的直径BA的延长线上一点，PC切⊙ 于 点C，若 ，PB=6，则PC等于 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(0，4)，记Rt△OAB为三角形①，按图中所示的方法旋转三角形，依次得到三角形②，③，④，……，则三角形⑤的直角顶点的坐标为 ；三角形⑩的直角顶点的坐标为 ；第2023个三角形的直角顶点的坐标为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13． 计算 : ． 14． 解方程: ． 15．已知△ 如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ 绕点C顺时针旋转90°，得到△ ． （1）在网格中画出△ ； （2）直接写出点B运动到点 所经过的路径的长． 16． 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A(-1，4)，B(2，m)两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式 ＜ 的解集． 17．如图，在△ABC和△CDE中，∠B =∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．AB=3，DE=2，BC=6．求CD的长． 18．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC= ， AC=3. （1）求∠B的度数； （2）求AB及BC的长． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知抛物线 ． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，求m的值． 20．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？ 21．已知： 如图，在Rt△AB C中，∠ C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F， EB为⊙O的直径． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当BC=2，cos∠ABC 时，求⊙O的半径． 22．已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，且∠EDF ＝45°． （1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （2）猜想tan∠ADF的值，并写出求解过程． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）． （1）求反比例函数 的表达式； （2）点C（n，1）在反比例函数 的图象上，求△AOC的面积； （3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 24.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，AB =AC，AD =AE．连接 BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF． （1）如图1，求证：BD⊥CE； （2）如图1，求证：FA是∠CFD的平分线； （3）如图2，当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长. 25．如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2） 若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积； （3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙ M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标． 昌平区2023九年级上学期数学期中试题(含答案解析)参考答案及评分标准 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C D D B 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 10 11 12 答案 （2，1） m＞-1 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式 …………………………4分 ． ……………………………………5分 14．解法一：∵ ， ， ， ∴……………………………………2分 ∴ ． ………………… …………………3分 ∴ 原方程的根为：……………………………………5分 解法二：． ． ………………………………………1分 ．………………………………………2分 ．………………………………………3分 ∴ ， ． ………………………………………5分 解法三： ………………………………………2分 ，或 ． ………………………………………3分 ∴ ， ． ………………………………………5分 15．解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形． ……………3分 （2） = π．……………………………5分 16．解：（1）∵ 反比例函数 经过A(-１，4)，B(2，m)两点， ∴ 可求得k =-4，m =-2． ∴ 反比例函数的解析式为 ． B(2，-2)．……………………………………2分 ∵ 一次函数 也经过A、B两点， ∴ 解得 ∴ 一次函数的解析式为 ． ……………………………………3分 （2）如图，-1＜x＜0，或x＞2． ……………………………………5分 17．解：∵ 在△ABC中，∠B =90o， ∴ ∠A +∠ACB = 90o． ∵ AC⊥CE， ∴ ∠ACB +∠ECD =90o． ∴ ∠A=∠ECD． ……………………………………2分 ∵ 在△ABC和△CDE中， ∠A=∠ECD，∠B=∠D=90o， ∴ △ABC∽△CDE．……………………………………3分 ∴ ． ……………………………………4分 ∵ AB = 3，DE =2，BC =6， ∴ CD =1． ……………………………………5分 18．解：（1）∵ 在△ACD中， ，CD= ，AC=3， ∴ ． ∴ ∠DAC =30o． ……………………………………1分 ∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAC =2∠DAC =60o．……………………………2分 ∴ ∠B =30o． …………………………………………3分 (2) ∵ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30o，AC=3， ∴ AB =2AC =6． ……………………………………4分 ． ……………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19 （1）证明：∵ △= …………………………………… 1分 = =1＞0， ∴ 此抛物线与x轴必有两个不同的交点． …………………………… 2分 （2）解：∵ 此抛物线与直线 的一个交点在y轴上， ∴ ． ………………………………………………………… 3分 ∴ ． ∴ ， ． ………………………………………………………… 5分 ∴ 的值为 或1． 20．解：如图，作CD⊥AB于点D． ∴ ∠ADC=90°． ∵ 探测线与地面的夹角分别是30°和45°， ∴ ∠DBC=45°，∠DAC=30°． ∵ 在Rt△DBC中，∠DCB=45°， ∴ DB=DC． 2分 ∵ 在Rt△DAC中，∠DAC=30°， ∴ AC=2CD． 3分 ∵ 在Rt△DAC中，∠ADC=90°，AB=8， ∴ 由勾股定理，得 ． ∴ ． ……………………………………… 4分 ∴ ． ∵ 不合题意，舍去． ∴ ． ∴ 有金属回声的点C的深度是( )米． ……………………………… 5分 21（1）证明： 如图，连结 ． ∴ ． ∴ ． ∵ 平分 , ∴ ． ∴ ． …………………………．．1分 ∴ ． ∴ °． ∴ ． ∵ 是⊙O的半径， ∴ AC是⊙O的切线． …………………………………………………………………2分 （2）解：在Rt△ACB中， ，BC=2 , cos∠ABC , ∴ ．…………………………………………………… 3分 设 的半径为 ，则 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 解得 ． ∴ 的半径为 ． ………………………………………………………… 5分 22． 解：（1）如图1．………………………… 1分 （2）猜想tan∠ADF的值为 ．……………………2分 求解过程如下: 如图2. 在BA的延长线上截取AG=CE,连接DG． ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AD=CD=BC=AB=6,∠DAF= ∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°． ∴ ∠GAD = 90°． ∴ △AGD ≌ △CED． ………………………………3分 ∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED，AG=CE． ∵ ∠FDE=45°, ∴ ∠ADF+∠EDC=45°． ∴ ∠ADF+∠GDA =45°． ∴ ∠GDF=∠EDF ． ∵ DF = DF， ∴ ∠GDF≌∠EDF ． ……………………………… 4分 ∴ GF =EF． 设AF=x, 则FB=6-x, ∵ 点E为BC的中点, ∴ BE=EC=3． ∴ AG=3． ∴ FG=EF=3+x． 在Rt△BEF中，∠B =90°， 由勾股定理，得 , ∴ ． ∴ x=2． ∴ AF=2． ……………………………………………………………… 5分 ∴ 在Rt△ADF中，tan∠ADF= ． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵点A（1，m）在一次函数 的图象上， ∴ m=3． ∴ 点A的坐标为（1，3）． ………………………………………………………1分 ∵点A（1，3）在反比例函数 的图象上 ， ∴ k =3． ∴反比例函数 的表达式为 ． …………………………………………2分 （2）∵点C（n，1）在反比例函数 的图象上， ∴ n=3． ∴ C（3，1）． ∵ A(1,3）， ∴ S△AOC =4． …………………………………………………………5分 （3）所有符合条件的点P的坐标： P1( ，0)，P2( ，0)．……………………………………………7分 24．（1）证明：如图1． ∵ ∠BAC =∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD． 在△CAE和△BAD中， ∴ △CAE≌△BAD． …………………………………… 1分 ∴ ∠ACF=∠ABD． ∵ ∠ANC=∠BNF， ∴ ∠BFN=∠NAC=90°． ∴ BD⊥CE． …………………………………… 2分 （2）证明：如图1’． 作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K． 由（1）知 △CAE ≌△BAD， ∴ CE = BD，S△CAE =S△BAD ． ………………… 3分 ∴ AG = AK． ∴ 点A在∠CFD的平分线上． ………… 4分 即 FA是∠CFD的平分线． （3）如图2． ∵ ∠BAC = 90°，AB =AC， ∴ ∠ACB=∠ABC =45°． ∵ ∠BCE=15°， ∴ ∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN． 在Rt△ACN中 ∵ ∠NAC = 90°，AC=2，∠ACN = 30°， ∴ ． …………………………………… 5分 ∵ AB=AC=2， ∴ BN= 2- ．…………………………………… 6分 在Rt△ACN中 ∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°， ∴ ． ∴ ．…………………………………… 7分 25．解：（1）∵ 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0）， ∴ 解得 ∴ 二次函数的解析式为y= -x2 +x +2．………………………………………2分 （2）如图1. ∵二次函数的解析式为y=-x2+x+2与y轴相交于点C， ∴ C(0，2)． 设 E(a,b)，且a 0． ∵ A（-1，0），B（2，0）， ∴ OA=1，OB=2，OC=2． 则S四边形ABEC= = ∵ 点 E(a,b)是第一象限的抛物线上的一个动点， ∴ b = -a2 +a +2， ∴ S四边形ABEC = - a2+2a+3 = -（a -1）2+4 ∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1,2），且四边形ABEC的最大面积为4． ………………………………………………5分 （3）如图2. 设M(m,n)，且m0． ∵ 点M在二次函数的图象上， ∴ n =-m2 +m +2． ∵ ⊙M与y轴相切，切点为D， ∴ ∠MDC =90°． ∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似， ∴ ，或 ． …………………………………6分 ①当n 2时， ． 解得 m1=0(舍去)，m2= ， 或m3=0(舍去)，m4=-1(舍去)． ②同理可得，当n2 时，m1=0(舍去) ，m2= ，或m3=0（舍去），m4=3． 综上，满足条件的点M的坐标为（ ， ），（ ， ），（3，-4）． ……………8分 | 
