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东城区2023九年级数学上册期中试题(含答案解析) 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．已知 ，则锐角A的度数是 A． B． C．D． 2．下列安全标志图中，是中心对称图形的是 A BC D 3．以下事件为必然事件的是 A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0 B．多边形的内角和是 C．二次函数的图象必过原点 D．半径为2的圆的周长是 4．将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 A. B. C. D. 5． 如图，线段AB是⊙O的直径，弦 CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于 A． 120° B． 140° C． 150° D． 160° 6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接EC交对角线BD于点F，则 S△DEF：S△BCF等于 A. 1：2 B．1：4C．1：9 D．4：9 7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致是 A BC D 8．如图，边长为4的正方形ABCD的边BC与直角边分别是2和4的Rt GEF的边GF重合,正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt GEF重叠部分的面积为S，则S关于t的函数图象为 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．已知反比例函数 (k是常数，且 )的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数表达式 ． 10．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△ ， 交AC于点D，若∠ =90°，则∠A= 度． 11．如图，反比例函数 在第一象限的图象上有两点 ， ，它们的横坐标分别是2，6，则△ 的面积是 . 12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B,O分别落在点B1,C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A （ ，0），B（0，4），则点B4的坐标为 ,点B2023的坐标为． 三、解答题（本题共30分，每小题 5分） 13．计算： . 14．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′． （1）在正方形网格中，画出△AB′C′； （2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积． 15．已知二次函数 . （1）将 化成 的形式； （2）当 时， 的最小值是 ，最大值是 ； （3）当 时，写出 的取值范围. 16．如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A,B重合）为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对称点 ， ．设∠ABP =α． （1）当α=10°时， °； （2）当点 落在 上时，求出 的度数． 17．如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,点D为BC上一点，BD=2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B. 求线段EC的长度。 18． 如图， AB为⊙O的直径,与弦CD相交于点E，且AC=2，AE= ，CE=1． 求 的长度． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．为了提高学生书写汉字的能力，某市举办了“汉字听写大赛”．为了决定谁将获得仅有的一张观赛券，小王和小李设计了如下的一个规则：不透明的甲袋中有编号分别为1，2，3的乒乓球三个，不透明的乙袋中有编号分别为4，5的乒乓球两个，五个球除了编号不同外，其他均相同．小王和小李分别从甲、乙两个袋子中随机地各摸出一个球，若所摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小王去；若两个球上的数字之和为偶数，则小李去．试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？ 20．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如下图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2023米，在点A处测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变又前 进2023米到达点B处测得F点的俯角为45°．请据此计算高华峰的海拔高度．（结果保留整数，参考数值： ≈1.732） 21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A． （1）证明:DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径R=5，tanA= ，求线段CD的长. 22．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是 BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数 （a为常数，且a≠0）的图象过点A（0，1），B（1，-2）和点C（-1,6）. （1）求二次函数表达式； （2）若 ，比较 与 的大小； （3）将抛物线 平移，平移后图象的顶点为 ，若平移后的抛物线与直线 有且只有一个公共点，请用含 的代数式表示 . 24.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P. （1）如图1，若四边形ABCD是正方形.请直接写出AC1 与BD1的数量关系和位置关系. （2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC1与BD1的数量关系和位置关系，并给出证明； （3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD1，设AC1=kBD1， 请直接写出k的值和 的值. 25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B,与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标； （3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（ 0＜m＜3） 得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积记为S，用含m的代数式表示S． 东城区2023九年级数学上册期中试题(含答案解析)参考答案及评分标准 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C B B A B 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 10 11 12 答案 等 55 （20，4），（20230，4） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 14. 解:（1） ………………2分 （2）由图可知，线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积就是扇形B′AB的面积， 其中∠B′AB=90°， ， ∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积为： .………5分 15．解：（1） ； ………………2分 （2）-1，8； ……………… 4分 （3） . ………………5分 16.（1）（1）当α=10°时，20……………2分 （2）若点 落在 上，连接OO′. 则OO′=OB. 又∵点 关于直线 对称， ∴ . ∴ △BOO′是等边三角形. ∴ ∠OBO′=60°. ∴α= ∠OBO′=30°. ……………5分 18．解：连接OC， ∵△ACE中，AC=2，AE= ，CE=1， ∴AE2+CE2=AC2， ∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD．┉┉┉２分 ∴∠A=30°． ∴∠COE=60°．┉┉┉3分 ∵AE⊥CD， ∴ = ， ∴ 的长度l= = ．┉┉┉５分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.解：列表或画树状图正确．………………………………………………… 2分 ∵ P(两个球上的数字之和为奇数)= ， P(两个球上的数字之和为偶数)= ， ∴ 这个规则公平． ……………………………………………………… 5分 答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米． 21. （1）解：连接OD. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠A. 又∵∠BDE=∠A, ∴∠ODA=∠BDE. ∵AB是⊙O直径, ∴∠ADB=90.° 即∠ODA+∠ODB=90°. ∴∠BDE+∠ODB=90°. ∴ . ∴DE是⊙O的切线.…………………２ 分 （2）∵R=5, ∴AB=10. ∵tanA= ＝ ∴BC= AB?tanA=10× = ∴AC= ……………３分 ∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB, ∴△BCD∽△ACB . ∴ ∴ ……………５分 22．解： EF＝BE＋FD.………………………1分 探索延伸：EF＝BE＋FD仍然成立.………………………2分 证明：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG. 又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG. ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. 又∵∠EAF＝ ∠BAD， ∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG ＝∠FAD＋∠BAE ＝∠BAD－∠EAF ＝∠BAD－ ∠BAD ＝ ∠BAD . ∴∠EAF＝∠F AG. ∴△AEF≌△AGF. ∴EF＝GF. 又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF, ∴EF＝BE＋FD. ………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵抛物线过点 , , , ∴ ∴ ∴ .………………………2分 (2)∵当 时， 随 的增大而增大， ∴当 时， ，即 .…………………4分 (3) 由（1）知， .设平移后的抛物线的表达式为 . ∵直线与抛物线有且只有一个公共点， ∴方程 有两个相等的实数根. 整理得： . ∴ . ∴ . ………………………7分 （2） . 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴OC＝OA= ＡＣ，ＯＤ＝OB= ＢＤ，AC⊥BD. ∵△C1OD1由△COD绕点O旋转得到, ∴O C1= OC，O D1=OD，∠CO C1=∠DO D1. ∴O C1＝OA ，O D1＝OB，∠AO C1=∠BO D1, ∴ . ∴ . ∴△AO C1∽△BOD1.………………………………4分 ∴∠O AC1= ∠OB D1. 又∵∠AOB=90°, ∴∠O AB+∠ABP+∠OB D1=90°. ∴∠O AB+∠ABP+∠O AC1=90°. ∴∠APB=90°. ∴ＡC1⊥BD1。……………………………………………5分 ∵△AO C1∽△BOD1,,,, ∴ . 即 . （3） .……………………………………………6分 .…………………………………7分 25. 解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为B（3，0）， 则, 解得 ． 故抛物线的解析式为 . ----------------2分 （2）①当AC=AM时，M ； ②当AC=CM时，M 或M ． 所以,点M的坐标为 , , ;----------------４分 （3）记平移后的三角形为△EFG． 设直线BC的解析式为y=kx+b，则 解得 则直线BC的解析式为 ． △OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△EFG， 易得直线FG的解析式为 ． 设直线BD的解析式为y=k′x+b′，则 解得 则直线BD的解析式为 ． 连结CG，直线CG交BD于H，则H（ ，-3）． 在△OBC沿x轴向右平移的过程中． ①当0＜m≤ 时，如图1所示． 设EG交BC于点P，GF交BD于点Q． 则CG=BF=m，BE=PE=3﹣ m， 联立 ， 解得 ， 即点Q（3﹣m，-2m）． 图1 ②当 ＜m＜3时，如图2所示． 设EG交BC于点P，交BD于点N． 则OE=m，BE=PE=3﹣ m， 又 因为直线BD的解析式为 ， 所以当x=m时，得y=2m﹣6， 所以点N（m，2m-6）．图2 综上所述，当0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当 ＜m＜3时，S= m2﹣3m+ ．---------------8分 | 
