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门头沟区2023九年级上学期数学期中重点试题(含答案解析) 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．已知 ，则 的值是 A． B． C． D． 2．已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是 A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 3．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是 A． B． C． D． 4．如果反比例函数 在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是 A．m＜0 B．m＞0 C．m＜－1 D．m＞－1 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，如果 ，那么 ∠ACB的度数是 A．40° B．50° C．60° D．80° 6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这 个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是 A． B． C． D． 7．将抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A． B． C． D． 8．如图，等边三角形ABC边长为2，动点P从点A出发，以每秒 1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点 A时停止．设运动时间为x秒，y=PC，则y关于x 函数 的图象大致为 A BCD 二、填空题：（本题共16分，每小题4分） 9． 扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长 为_______. 10．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图 所示. 如果OA=20cm，OA′=50cm，那么这个三角 尺的周长与它在墙上形成影子的周长的比是 . 11． 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线 ， 在下列结论中，唯一正确的是 . （请将正确的序号填在横线上） ① a＜0；② c＜－1； ③ 2a+3b=0； ④ b2－4ac＜0；⑤ 当x= 时，y的最大值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（－1，－1）、B（－3，－1）． 我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换． （1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1， 那么B1的坐标是． （2）如果正方形ABCD经过2023次这样的变换得到 正方形A2023B2023C2023D2023，那么B2023的坐标是． 三、解答题：（本题共30分，每题5分） 13．计算： 14．已知抛物线y=x2－4x+3． （1）用配方法将y=x2－4x+3化成y=a(x－h)2+k的形式； （2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0. 15．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AD=3，AB=7，求AC的长.[来 16．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋 高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号） 17．如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1） 求证：∠BCO=∠D； （2）若CD= ，AE=2，求⊙O的半径． 18．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数 的图象的一个交点为A（2，3）． （1）分别求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例 函数图象上，且△PBC的面积等于18，请直接写出点P的坐标． 四、解答题：（本题共20分，每题5分） 19．如图，在锐角△ABC中，AB=AC，BC=10，sinA= ． （1）求tanB的值； （2）求AB的长． 20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=－x2+bx+c经过点（－3，0）和（1，0）. （1）求抛物线的表达式； （2）在给定的坐标系中，画出此抛物线； （3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为A，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点B是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B纵坐标t的 取值范围． 21．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F． （1）求证：∠CBF= ∠CAB． （2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长． 22．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数． 小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）． 图1图2 请回答：图1中∠APB的度数等于 ，图2中∠PP′C的度数等于 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（ ，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式． 五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值； （3）在（2）的条件下，将关于 的二次函数y= mx2+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的部分沿 x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象． 请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围． 24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处． 图1 图2 （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． ① 求证：△OCP∽△PDA； ② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长． （2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由． 25．我们规定：函数 （a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特函数 就是反比例函数 （k是常数，k≠0）． （1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数 的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式； （3）把反比例函数 的图象向右平移4个单位，再向上平移个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象； （4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧)，如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 门头沟区2023九年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)参考答案 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D B C A C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 10 11 12 答案 ③ （－1，1） （2023，－1） 三、解答题（本题共30分，每题5分） 13．解： …………………………………………………………………4分 . ……… …………………………………………………………5分 14．解：（1）y=x2－4x+4－4+3 …………………………………………………………1 分 =(x－2)2－1 ………………………………………………………………2分 （2）对称轴为直线 ，顶点坐标为（2，－1）. …………………………4分 （3）1＜x＜3. …………………………………………………………………5分 15．（1）证明：∵∠A=∠A，∠ABC=∠ACD，…………………………………………1分 ∴ △ACD∽△ABC. ……………………………………………………2分 （2）解：∵ △ACD∽△ABC， ∴ ………………………………………………………………3分 ∴ ………………………………………………………………4分 ∴ ………………………………………………………………5分新*课*标*第*一*网 16．解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°， ∴ BD=AD=20．………………………………………………………………2分 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°， ∴ CD= AD= ．……………………………………………………4分 ∴ BC=BD+CD=20+ （m）．………………………………………………5分 答：这栋楼高为（20+ ）m． 17．（1）证明：∵ OC=OB， ∴ ∠BCO=∠B．…………………………………………………………1分 ∵ ， ∴ ∠B=∠D， ∴ ∠BCO=∠D．…………………………………………………………2分 （2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴ CE= ．……………………………………………3分 在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2， 设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA－AE=r－2， ∴ ，…………………………………………………4分 解得：r=3， ∴⊙O的半径为3．………………………………………………………5分 18．解：（1）把A（2，3）代入 ，∴ ． ∴ m=6． ∴ ．…………………………………………………………………1分 把A（2，3）代入y=kx+2， ∴ 2k+2=3，……………………………………………………………………2分 ∴ ． ∴ ．………………………………………………………………3 分 （2）P1（1，6）或P2（－1，－6）．…………………………… ……………5分 四、解答题（本题共20分，每题5分） 19．解：（1）如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．………………………………1分 ∵ 在Rt△ADC中，∠ADC=90°， ∴ ． 设CD=3k，则AB=AC=5k． ∴AD= ，…2分 ∴BD=AB－AD=5k－4k=k， ∴ ． …………………………………………………3分 （2）在Rt△BDC中，∠BDC=90°， ∴BC= ． ∵BC=10，∴ ，…………………………………………………4分 ∴ ． ∴AB=5k= ．………………………………………………………5分 20．解：（1）∵抛物线y=－x2+bx+c经过点（－3，0）和（1，0）. ∴ ………………………………………………………1分 解得 ……………………………………………………………2分 ∴抛物线的表达式为y=－x2－2x+3．……………………………………3分 （2）正确画出图象．…………………………………………………………4分 （3） 2＜t≤4．……………………………………………………………………5分 21．（1）证明：连结AE. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°. ∵BF是⊙O的切线， ∴BF⊥AB， ∴∠CBF +∠2=90°. ∴∠CBF =∠1. …………………………………………………………1分 ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴∠1= ∠CAB. ∴∠CBF= ∠CAB. ……………………………………………………2分 （2）解：过点C作CG⊥AB于点G. ∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF， ∴sin∠1= . ∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB?sin∠1= . ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE= .…………………………………………………………3分 在Rt△ABE中，由勾股定理得 . ∴sin∠2= ，cos∠2= . 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3. ……………………………………………………………………4分 ∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF. ∴ ， ∴ .…………………………………………………5分 22．解：图1中∠PP′C的度数等于90°．………………………………………………1分 图1中∠APB的度数等于150°．………………………………………………3分 如图，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD． ∵点A的坐标为（ ，1）， ∴tan∠AOE= ， ∴AO=OD=2，∠AOE=30°， ∴∠A OD=60°． ∴△AOD是等边三角形． ………………………………………………………4分 又∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°， ∴∠CAD=∠OAB， ∴△ADC≌△AO B． ∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°， ∴∠CDF=30°． ∴DF= CF． ∵C（x，y）且点C在第一象限内， ∴y－2= x， ∴y= x+2（x＞0）．………………………………………………………5分 五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：∵m≠0， ∴mx2+(3m+1)x+3=0是关于x的一元二次方程. ∴△=(3m+1)2－12m………………………………………………………1分 =(3m－1)2． ∵ (3m－1)2≥0， ∴方程总有两个实数根. ……………………………………………… 2分 （2）解：由求根公式，得x1=－3，x2= ． ……………………………………3分 ∵方程的两个根都是整数，且m为正整数， ∴m=1．……………………………………………………………………4分 （3）解：∵m=1时，∴y=x2+4x+3． ∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）． 依题意翻折后的图象如图所示．…………………………………………5分 当直线y=x+b经过A点时，可得b=3． 当直线y=x+b经过B点时，可得b=1． ∴1＜b＜3． …………………6分 当直线y=x+b与y=－x2－4x－3 的图象有唯一公共点时， 可得x+b=－x2－4x－3， ∴x2+5x+3+b=0， ∴△=52－4(3+b) =0， ∴b= ． ∴b＞ ．…………………………………………………………………7分 综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞ ． 24．解：（1）① 如图1，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°．………………………………………………………1分 ∴∠1+∠3=90°． ∵由折叠可得∠APO=∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∴∠2=∠3．……………………2分 又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA．……………………………………………………3分 ② 如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴ ．∴CP= AD=4． 设OP=x，则CO=8－x． 在Rt△PCO中，∠C=90°， 由勾股定理得 x2=(8－x)2+42．…………………………………………4分 解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10．………………………………………………………5分 ∴边AB的长为10． （2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP． ∴MP=MQ．又BN=PM， ∴BN=QM． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ= PQ． ∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF． 又∵∠QFM=∠NFB， ∴△MFQ≌△NFB． ∴QF= QB． ∴ EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB．……………………………………6分 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°． ∴PB= ，∴EF= PB= ． ∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的 长度为 ．………………………………………………… …………7分 25．解：（1）由题意得，(2+x)(3+y)=8． ∴ ． ∴ ．…………………………………………………1分 根据定义， 是奇特函数．…………………………………2分 （2）由题意得，B（6，3）、D（3，0）， ∴点E（2，1）．……………………………………………………………3分 将点B（6，3）和E（2，1）代入 得 ……………………………………………………………4分 解得 ∴奇特函数的表达式为 ．……………………………………5分 （3）2．………………………………………………………………………6分 （4）P1（ ， ）、P2（ ， ）．…………………………8分 说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分，谢谢！ | 
