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海淀区2023初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析) 一、选择题 1．方程 的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根 2.在Rt△ABC中，∠C=90o， ，则 的值为 A. B. C.D. 3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几 何体是 A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥 4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是 A. B. C. D. 5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为 A. 1B. 2 C. 4 D. 8 6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是 A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为 A． B．C．1 D．2 8．如图1，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的 图1图2 A．线段EF B．线段DEC．线段CED．线段BE 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm2． 10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m. 11．如图，抛物线 与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为 ， ，则关于x的方程 的解为__________． 12．对于正整数 ，定义 ，其中 表示 的首位数字、末位数字的平方和．例如： ， ． 规定 ， （ 为正整数）．例如： ， ． （1）求： ____________， ______________； （2）若 ，则正整数m的最小值是_____________． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： . 14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E. 求证：△ACD∽△BCE． 15.已知 是一元二次方程 的实数根，求代数式 的值． 16.抛物线 平移后经过点 ， ，求平移后的抛物线的表达式． 17.如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC. （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P是反比例函数 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 18.如图，△ABC中，∠ACB=90°， ， BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E． （1）求线段CD的长； （2）求 的值． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ． （1）求m的取值范围； （2）若 ，且 ，求整数m的值． 20. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）： 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … … 50 单件利润（万元） 6 8 … … 24 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值． 21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF． （1）求证：直线PC是⊙O的切线； （2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 22．阅读下面材料： 小明观察一个由 正方形点阵组成的点 阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值． 请回答： （1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB； （2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出 的 正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足 于F，再作出点阵中 的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决． 请你帮小明计算：OC=_______________； = _______________； 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，计算： =_______________． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分） 23.在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ， . （1） 求代数式mn的值； （2） 若二次函数 的图象经过点B，求代数式 的值； （3） 若反比例函数 的图象与二次函数 的图象只有一个交点，且该交点在直线 的下方，结合函数图象，求 的取值范围. 24．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD， 连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α． （1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段 AD，DE之间的数量关系； （2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF， 连接BF，AF． ① 若α=90°，依题意补全图3， 求线段AF的长； ②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 25. 在平面直角坐标系xOy中，设点 ， 是图形W上的任意两点． 定义图形W的测度面积：若 的最大值为m， 的最大值为n，则 为图形W的测度面积． 例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1， 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2， 取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积 ． （1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1. ①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=； ②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=； （2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为 ； （3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 海淀区2023初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)参考答案及评分参考 阅卷须知: 1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可. 2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分. 3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A A D C B B C B 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． ； 10． 24 ； 11． ；12． （1）37，26； （每个答案1分）（2）6.（2分） 三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解：原式 ……………………………………………………………………4分 ． ………………………………………………………………………………5分 14. （本小题满分5分） 证明：∵AB=AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°．……… …………………………………………………………………1分 ∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°． ∴∠ADC=∠BEC． ……………………………………………………………………2分 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD∽△BCE．………………………………………………………………………5分 15. （本小题满分5分） 解：由已知，可得 ．………………………………………………………1分 ∴ ． ………………………………………………………………………2分 ∴原式= ．………………………………………………5分 16. （本小题满分5分） 解：设平移后抛物线的表达式为 ．………………………………………1分 ∵平移后的抛物线经过点 ， ， ∴ ………………………………………………………………………3分 解得 …………………………………………………………………………4分 所以平移后抛物线的表达式为 ．……………………………………5分 解二：∵平移后的抛物线经过点 ， ， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线 . …………………………………………1分 ∴设平移后抛物线的表达式为 ．…………………………………2分 ∴ ．.………………………………………………………………3分 ∴ ．.………………………………………………………………………………4分 所以平移后抛物线的表达式为 ． …………………………………5分 17. （本小题满分5分） 解：（1）将 代入 中，得 ． ∴点A坐标为 ．………………………………………………………………1分 ∵点A在反比例函数 的图象上， ∴ ．……………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的解析式为 ．…………………………………………………3分 （2） 或 ．……………………………………………………………5分 18. （本小题满分5分） 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°， ， BC=8， ∴ ．…………………………………………………………1分 ∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点， ∴ ．…………………………………………………………………2分 （2）法一：过点C作CF⊥AB于F，如图． ∴∠CFD=90°． 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ． ∵ ， ∴ ．………………………………3分 ∵BE⊥CE， ∴∠BED=90°． ∵∠BDE=∠CDF， ∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分 ∴ ． …………………………………5分 法二：∵D是AB中点，AB=10， ∴ ．……………………………………………………………………3分 ∴ ． 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ． ∴ ． ∴ ． ………………………………………………4分 ∵BE⊥CE， ∴∠BED=90°． ∴ ．……………………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分） 解：（1）由已知，得 且 ， ∴ 且 ．…………………………………………………………………2分 （2）原方程的解为 ． ∴ 或 ． …………………………………………………………………3分 ∴ ． 又∵ ， ∴ ．……………………………………………………………………4分 ∵m是整数， ∴ ．…………………………………………………………………………5分 20. （本小题满分5分） 解：（1） ． ……………………………2分 （ 且x为整数）． （2）∵ ．…………………………3分 又∵ 且x为整数， ∴当 时，函数取得最大值2023． 答：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为2023万元． ………………………………………………………………5分 21. （本小题满分5分） 解：（1）连接OC． ∵AD与⊙O相切于点A， ∴FA⊥AD． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴FA⊥BC． ∵FA经过圆心O， ∴F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°．……………………………………1分 ∴∠COF=2∠BAF． ∵∠PCB=2∠BAF， ∴∠PCB=∠COF． ∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°， ∴∠OCE+∠PCB=90°． ∴OC⊥PC． ∵点C在⊙O上， ∴直线PC是⊙O的切线．…………………………………………………………2分 （2） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=2． ∴BE=CE=1． 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ， ∴ ． 设⊙O的半径为r，则 ， ． 在Rt△OCE中，∠OEC=90°， ∴ ． ∴ ． 解得 ．…………………………………………………………………………3分 ∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°． ∴△OCE∽△CPE．……………………………………………………………………4分 ∴ ． ∴ ． ∴ ．……………………………………………………………………………5分 22.（本小题满分5分） （1）如图，线段CD即为所求；……………………1分 （2）OC= ， =5；……………………3分 （3） = ．…………………………………5分 五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．（本小题满分7分） 解：（1）∵反比例函数 的图象经过点 ， ∴ ．………………………………………………………………………1分 ∴反比例函数的解析式为 ． ∵反比例函数 的图象经过点 ， ∴ ．………………………………………………………………………2分 （2）∵二次函数 的图象经过点 ， ∴ ．…………………………………………………………………3分 ∴ ． ∴ ． 由（1）得 ， ∴原式 ．……………………………………………………………………4分 （3）由（1）得反比例函数的解析式为 ． 令 ，可得 ，解得 ． ∴反比例函数 的图象与直线 交于 点 ， ．…………………………5分 当二次函数 的图象经过点 时，可得 ； 当二次函数 的图象经过点 时，可得 ． ∵二次函数 的顶点为 ， ∴由图象可知，符合题意的 的取值范围是 或 ．…………7分（注：只写 或只写 ， 减1分.） 24. （本小题满分7分） （1） AD+DE=4．…………………………………………1分 （2）① 补全图形，如右图所示．……………………2分 解： 设DE与BC相交于点H，连接 AE， 交BC于点G，如图． ∠ADB=∠CDE =90°， ∴∠ADE=∠BDC． 在 △ADE与△BDC中， ∴△ADE ≌△BDC．……………………………………3分 ∴AE= BC ，∠AED=∠BCD． DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC． ∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4分 线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF， ∴EF = CB=4， EF // CB． ∴AE= EF． CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°． AE=EF，∠AE F=90°，∴∠AFE=45°． ∴AF= =4 ． …………………………………………………………………………5分 ② ． ………………………………………………………………………………7分 25.（本小题满分8分） 解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1分 ② 1．…………………………………………………………………………………2分 （2） 2． …………………………………………………………………………………4分 （3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上． 当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S取得最小值，且最小值为12． ………………………………5分 当顶点A，C都不在x轴上时，如图7． 过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F， 过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点 G，则可得四边形EFGH是矩形． 当点P，Q分别与点A，C重合时， 取得最大值 ， 且最大值 ； 当点P，Q分别与点B，D重合时， 取得最大值 ，且最大值 ． ∴图形W的测度面积 ． ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°． ∵∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°． ∴∠BAE=∠CBF． 又∵ ， ∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6分 ∴ ． 设 ，则 ， 在Rt△ABE中，由勾股定理得 ． ∴ ．即 ．∵ ，∴ 易证△ABE≌△CDG． ∴ ． ∴ ， ． ∴ ∴当 ，即 时，测度面积S取得最大值 ．…………7分 ∵ ，∴ ．∴ ． ∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为 ． 综上所述，测度面积S的取值范围是 ．…… | 
