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海淀区2023初三年级上册数学期中重点试卷(含答案解析) 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有 四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A．B．C． D． 2． 下列图形是中心对称图形的是 A ．B．C． D． 3．二次函数 的最大值是 A．B． C．1 D．2 4．已知⊙O的半径是4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是 A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 5．将抛物线 沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 A． B．C． D． 6．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为 A．B．C．D． 7．用配方法解方程 ，下列配方正确的是 A． B．C． D． 8．已知二次函数 的图象如图所示，则下列选 项中不正确的是 A． B． C．0D． 9．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若 ，则 等于 A．B．C． D． 10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表： x/分 … 2.66 3.23 3.46 … y/米 … 69.16 69.62 68.46 … 下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是 A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程 的解为_______________． 12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________． 13．若二次函数 的图象上有两个点 、 ， 则a____ （填“”或“=”或“”）． 14．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=______°． 15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为_______米（ 取1.4）． 16．如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转 （ ），得到 、 、 ，连接 、 、 、 、 ． （1） _______?； （2）当 ?时，△ 的周长最大． 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解方程： ． 18．若抛物线 与 轴只有一个交点，求实数 的值． 19．已知点(3, 0)在抛物线 上，求此抛物线的对称轴． 20．如图，AC是⊙O的直径，PA, PB是⊙O的切线，A, B为切点， ．求∠P的度数． 21．已知x=1是方程 的一个根，求代数式 的值． 22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度． 23．已知关于x的方程 . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高（ 取2.2 ）． 25．已知AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的弦，AB=2，AC= ，AD=1，求∠CAD的度数． 26．抛物线 与直线 相交于A 、B 两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若 ，则 的最小值为________. 27.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D. P为AB延长线上一点， . （1）求证：CP为 ⊙O的切线； （2）BP=1， . ①求⊙O的半径； ②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为 . 28.探究活动： 利用函数 的图象(如图1)和性质，探究函数 的图象与性质. 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1)函数 的自变量x的取值范围是___________； (2)如图2，他列表描点画出了函数 图象的一部分，请补全函数图象； 解决问题： 设方程 的两根为 、 ，且 ，方程 的两根为 、 ，且 .若 ，则 、 、 、 的大小关系为（用“”连接）． 29．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60?得到点Q. 点N为x轴上一动点（N不与A重合 ），将点M绕点N顺时针旋转60?得到点P. PQ与x轴所夹锐角为 . （1） 如图1，若点M的横坐标为 ，点N与点O重合，则 =________?； （2） 若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求 的度数； （3） 当直线PQ与⊙O相切时，点 的坐标为_________. 海淀区2023初三年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)参考答案 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 D A A A B B C D B C 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题 号 11 12 13 14 15 16 答 案 （答案不唯一） 130 0.6 120，150 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：……………………………………………1分 ． ……………………………………………3分 ∴ 或 ． ∴ . ………………………………………………………5分 18．解：∵抛物线 与 轴只有一个交点， ∴ ，………………………………………2分 即 ．……………………………………………4分 ∴ ．……………………………………………5分 19．解：∵点(3, 0)在抛物线 上， ∴ ．………………………………………2分 ∴ ．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为 ． ∴对称轴为 ．……………………………………………5分 20．解：∵PA,PB是⊙O的切线， ∴PA=PB．…………………………… …………1分 ∴ ．………………………………………2分 ∵AC为⊙O的直径， ∴CA⊥PA． ∴ o．………………………………………3分 ∵ o， ∴ o．………………………………………4分 ∴ o．………………………………………5分 21．解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ．………………………………………2分 ∴ ．…………………………………………3分 ∴原式 ………………………………………4分 ．………………………………………5分 22．解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA, OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．………………………… 1分 ∴ o. ∵AB∥CD， ∴ o． ∵ ， ， ∴ ， ． …………………………2分 在Rt△OAM中， ∵ ， ∴ ． ………………………………3分 同理可得 ．………………………………4分 ∴ 答：水面下降了0.2米．…… ……………………5分 23．（1）证明： ．……………………………1分 ∵ ， ∴ ． 即 ． ∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分 （2）解方程，得 ．……………………………………………4分 ∵方 程有一个根大于2， ∴ ． ∴ ．……………………………………………5分 24．解：如图，雕像上部高度AC与下部高度BC应有 ，即 ． 设BC为x m. …………………………………1分 依题意，得 ．.………………………………………3分 解得 （不符合题意，舍去）．……4分 ． 答：雕像的下部应设计为1.2m．…………………………5分 25． 解：如图1，当点D、C在AB 的异侧时，连接OD、BC. ………1分 ∵AB是⊙O的直径， ∴ o． 在Rt△ACB中， ∵ ， ， ∴ ． ∴ o．………………2分 ∵ ， ∴ o．………………3分 ∴ o．………………4分 当点D、C在AB 的同侧时，如图2，同理可得 ， ． ∴ o． ∴ 为15o或 o． …………………5分 26．解：（1）∵直线 经过点B（2，-3）， ∴ ． ∴ ．……………………………………………1分 ∵直线 经过点A（-2，n），[ ∴ ．……………………………………………2分 ∵抛物线 过点A和点B， ∴ ∴ ∴ ．……………………………………………4分 （2） . ……………………………………………5分 27．（1）证明：连接OC. ……………………………1分 ∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC， ∴∠POC =∠PCD．……………………………2分 ∵CD⊥AB于点D， ∴∠ODC=90?． ∴∠POC+∠OC D =90o． ∴∠PCD+∠OCD =90o． ∴∠OCP=90o． ∴半径OC⊥CP． ∴CP为⊙O的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O的半径为r . 在Rt△OCP中， ． ∵ ∴ ． ………………………4分 解得 ． ∴⊙O的半径为2． ……………………………………………5分 ② ． ……………………………………………7分 28．解：（1） 或 ；……………………………………………2分 （2）如图所示： ……………………………………5分 . .……………………………………………7分 29. 解：（1） . ……………………………………………2分 （2） .……………………………………………3分 连接 .记 分别交 轴于 . ∵将点M绕点A顺时针旋转60?得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60?得到点P， ∴△ 和△ 均为等边三角形. ………………4分 ∴ ， ， . | 
