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济南市2023初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析) 一、选择题：（本大题共15个小题；每小题3分，共45分.） 1．下列函数中，属于反比例函数的有（） A． y= B． y= C． y=8﹣2x D． y=x2﹣1 2．若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（） A． 5cm B． 10cm C． 15cm D． cm 3．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（） A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形 4．一元二次方程x2﹣3x=0的根是（） A． x=3 B． x1=0，x2=﹣3 C． x1=0，x2= D． x1=0，x2=3 5．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（） A． （x+2）2=3 B． （x﹣2）2=3 C． （x﹣2）2=5 D． （x+2）2=5 6．图中几何体的俯视图是（） A． B． C． D． 7．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（） A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形 8．下列说法不正确的是（） A． 一组邻边相等的矩形是正方形 B． 对角线相等的菱形是正方形 C． 对角线互相垂直的矩形是正方形 D． 有一个角是直角的平行四边形是正方形 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE= ，则AC=（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 10．反比例函数y= 图象上的两上点为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，则下列关系成立的是（） A． y1＞y2 B． y1＜y2 C． y1=y2 D． 不能确定 11．如图，A，B是函数y= 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（） A． S=2 B． S=4 C． 2＜S＜4 D． S＞4 12．α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+2α+αβ的值为（） A． 5 B． ﹣5 C． 0 D． 10 13．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（） A． 7 B． 3 C． 7或3 D． 无法确定 14．如果关于x的一元二次方程kx2﹣ x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（） A． k＜ B． k＜ 且k≠0 C． ﹣ ≤k＜ D． ﹣ ≤k＜ 且k≠0 15．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y= （k≠0）的图象大致是（） A． B． C． D． 二、填空题：（本题共6个小题，每一个题3分，共18分） 16．当m=时，关于x的方程（m﹣1） +mx+5=0是一元二次方程． 17．如果关于x的方程x2﹣x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=． 18．直线y=2x与双曲线y= 的图象的一个交点为（2，4），则它们的另一个交点的坐标是． 19．新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为． 20．己知反比例函数 （x＞0），y随x的增大而增大，则m的取值范围是． 21．如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y= 图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=﹣ 图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为． 三、解答题（共计57分） 22．解方程： （1）x2﹣2x=5 （2）2（x﹣3）=3x（x﹣3） （3）（x+2）2=4 （4）（x﹣2）2=（2x+1）2． 23．如图，在△ABC和△ABD中，AD和BC交于点O，∠1=∠2，请你添加一个重要条件 （不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明．你添加的条件是． 24．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC向点C匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 26．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2023年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2023年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．求每年市政府投资的增长率？ 27．如图，已知A（4，a）、B（﹣2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）求△AOB的面积． 28．已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC； （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的 函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 济南市2023初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共15个小题；每小题3分，共45分.） 1．下列函数中，属于反比例函数的有（） A． y= B． y= C． y=8﹣2x D． y=x2﹣1 考点： 反比例函数的定义． 分析： 此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y= （k≠0）的形式为反比例函数． 解答： 解：选项A是正比例函数，错误； 选项B属于反比例函数，正确； 选项C是一次函数，错误； 选项D是二次函数，错误． 故选B． 点评： 本题考查了反比例函数的定义，注意在解析式的一般式 （k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 2．若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（） A． 5cm B． 10cm C． 15cm D． cm 考点： 三角形中位线定理． 分析： 利用三角形的中位线性质得到所求三角形的三边与原三角形的周长之间的关系，进而求解． 解答： 解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点， ∴DE、EF、DF分别等于△ABC三边的一半， ∴DE+EF+DF= △ABC的周长=10 cm． 故选B． 点评： 本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半． 3．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（） A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形 考点： 菱形的判定；三角形中位线定理；等腰梯形的性质． 分析： 由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明． 解答： 解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC且EF= AC，EH∥BD且EH= BD， ∵AC=BD， ∴EF=EH， 同理可得GF=HG=EF=EH， ∴四边形EFGH为菱形， 故选：C． 点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分． 4．一元二次方程x2﹣3x=0的根是（） A． x=3 B． x1=0，x2=﹣3 C． x1=0，x2= D． x1=0，x2=3 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 计算题． 分析： 本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x（x﹣3）=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 解答： 解：x2﹣3x=0 x（ x﹣3）=0 x1=0，x2=3． 故选D． 点评： 本题考查简单的一元二次方程的解法，解此类方程只需按解一元二次方程的一般步骤按部就班即可． 5．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（） A． （x+2）2=3 B． （x﹣2）2=3 C． （x﹣2）2=5 D． （x+2）2=5 考点： 解一元二次方程-配方法． 专题： 计算题． 分析： 方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果． 解答： 解：方程移项得：x2+4x=﹣1， 配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3． 故选A． 点评： 此题考查了解一元二次方 程﹣配方法，利用配方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边化为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 6．图中几何体的俯视图是（） A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图． 分析： 找到从上面看所得到的图形即可． 解答： 解：从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选：D． 点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 7．如图，小 聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（） A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形 考点： 菱形的判定；线段垂直平分线的性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形． 解答： 解：∵分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC=AD=BD=BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键． 8．下列说法不正确的是（） A． 一组邻边相等的矩形是正方形 B． 对角线相等的菱形是正方形 C． 对角线互相垂直的矩形是正方形 D． 有一个角是直角的平行四边形是正方形 考点： 正方形的判定． 专题： 证明题． 分析： 根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进行分析，从而得到答案． 解答： 解：A、矩形是对边平行且相等，加上一组邻边相等，正好属于正方形，故A选项正确； B、菱形的对角线是相互垂直的，加上对角线相等，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故B选项正确； C、矩形的对角线是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故C选项正确； D、有一个角是直角的平行四边形，是符合矩形的判定方法，故D选项不正确； 故选D． 点评： 此题主要考查学生对正方形的判定方法的理解及运用． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE= ，则AC=（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质． 分析： 利用线段的垂直平分线的性质计算． 解答： 解：∵DE垂直平分AB ∴∠B=∠DAE，BE=AE ∵∠B=22.5°，∠C=90° ∴∠AEC=∠CAE=45° ∴AC=CE ∴2AC2=AE2∴AC=2． 故选B． 点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 10．反比例函数y= 图象上的两上点为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，则下列关系成立的是（） A． y1＞y2 B． y1＜y2 C． y1=y2 D． 不能确定 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再进行比较即可． 解答： 解：∵反比例函数y= 中k=2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， 当（x1，y1），（x2，y2）在同一象限时， ∵x1＜x2， ∴y1＞y2； 当（x1，y1）在第三象限，（x2，y2）在第一象限时， ∵x1＜x2， ∴y1＜y2． 故选D． 点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 11．如图，A，B是函数y= 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（） A． S=2 B． S=4 C． 2＜S＜4 D． S＞4 考点： 反比例函数系数k的几何意义． 专题： 压轴题． 分析： 本题可根据A、B两点在曲线上可设出A、B两点的坐标以及取值范围，再根据三角形的面积公式列出方程，即可得出答案． 解答： 解：设点A的坐标为（x，y），则B（﹣x，﹣y），xy=2． ∴AC=2y，BC=2x． ∴△ABC的面积=2x×2y÷2=2xy=2×2=4． 故选B． 点评： 解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积． 12．α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+2α+αβ的值为（） A． 5 B． ﹣5 C． 0 D． 10 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题： 计算题． 分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣5=0，即α2+2α=5，于是α2+2α+αβ可化简为5+αβ，再根据根与系数的关系得到αβ=﹣5，然后利用整体代入的方法计算． 解答： 解：∵α是方程x2+2x﹣5=0的根， ∴α2+2α﹣5=0， 即α2+2α=5， ∴α2+2α+αβ=5+αβ， ∵α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根， ∴αβ=﹣5， ∴α2+2α+αβ=5﹣5=0． 故选C． 点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．也考查了一元二次方程的解． 13．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（） A． 7 B． 3 C． 7或3 D． 无法确定 考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． 专题： 计算题． 分析： 将已知的方程x2﹣10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长． 解答： 解：x2﹣10x+21=0， 因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0， 解得：x1=3，x2=7， ∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解， ∴三角形的第三边为3或7， 当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去； 当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形， 则第三边的长为7． 故选A 点评： 此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解 ，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解． 14．如果关于x的一元二次方程kx2﹣ x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（） A． k＜ B． k＜ 且k≠0 C． ﹣ ≤k＜ D． ﹣ ≤k＜ 且k≠0 考点： 根的判别式． 分析： 根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 解答： 解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0， ∴ ≤k＜ ，且k≠0． 故选：D． 点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法． 15．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y= （k≠0）的图象大致是（） A． B． C． D． 考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象． 专题： 数形结合． 分析： 根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 解答： 解： 解法一：系统分析 ①当k＞0时， 一次函数y=kx﹣k经过一、三、四象限， 反比例函数的y= （k≠0）的图象经过一三象限， 选项中没有符合条件的图象， ②当k＜0时， 一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限， 反比例函数的y= （k≠0）的图象经过二四象限， 故D选项的图象符合要求， 解法二：具体分析 A、由一次函数的图象得出k＜0，而反比例函数的开口方向也应该是在第二、四象限即：k＜0，不符合题意，故A选项错误； B、由一次函数的图象得出k＞0，而反比例函数的开口方向也应该是在第一、三象限即：k＞0，不符合题意，故B选项错误； C、由一次函数的图象得出k＞0，即与y轴的交点在y轴负半轴，不符合题意，故C选项错误； D、由一次函数的图象得出k＜0，与y轴的交点也在正半轴，反比例函数图象也是在第二四象限，符合题意， 故D选项正确； 故选：D． 点评： 此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关． 二、填空题：（本题共6个小题，每一个题3分，共18分） 16．当m=﹣1时，关于x的方程（m﹣1） +mx+5=0是一元二次方程． 考点： 一元二次方程的定义． 分析： 根据一元二次方程的定义解答． 解答： 解：∵（m﹣1） +mx+5=0是一元二次方程， ∴m2+1=2，m﹣1≠0， 解得m=﹣1， 故答案为﹣1． 点评： 本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 17．如果关于x的方程x2﹣x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k= ． 考点： 根的判别式． 分析： 根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出k的值． 解答： 解：∵a=1，b=﹣1，c=k， ∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×k=1﹣4k=0，解得k= ． 点评： 本题比较容易，考查一元二次方程根的判别式为零时有两个相等的实数根的应用． 18．直线y=2x与双曲线y= 的图象的一个交点为（2，4），则它们的另一个交点的坐标是（﹣2，﹣4）． 考点： 反比例函数图象的对称性． 分析： 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 解答： 解：因为直线y=2x与双曲线y= 的交点均关于原点对称， 所以另一个交点坐标为（﹣2，﹣4）． 点评： 本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握． 19．新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，可列方程为（40﹣2x）（26﹣x）=800． 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 几何图形问题． 分析： 把甬道移到小区的上边及左边，根据草坪的面积得到相应的等量关系即可． 解答： 解：草坪可整理为一个矩形，长为（40﹣2x）米，宽为（26﹣x）米， 即列的方程为（40﹣2x）（26﹣x）=800， 故答案为（40﹣2x）（26﹣x）=800． 点评： 本题考查一元二次方程的运用，弄清“花草的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 20．己知反比例函数 （x＞0），y随x的增大而增大，则m的取值范围是m＜1． 考点： 反比例函数的性质． 分析： 根据反比例函数的性质可得m﹣1＜0，解不等式即可． 解答： 解：∵反比例函数 （x＞0），y随x的增大而增大， ∴m﹣1＜0， 解得：m＜1． 故答案为：m＜1． 点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y= ，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 21．如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y= 图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=﹣ 图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为（ ，3）． 考点： 反比例函数综合题． 专题： 综合题． 分析： 设A点坐标为（a， ），利用AB平行于x轴，点B的纵坐标为 ，而点B在反比例函数y=﹣ 图象上，易得B点坐标为（﹣2a， ），则AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC= ，然后根据矩形的性质得到 AB+AC=4，即3a+ =4，则3a2﹣4a+1=0，用因式分解法解得a1= ，a2=1，而AB＜AC，则a= ，即可写出A点坐标． 解答： 解：点A在反比例函数y= 图象上，设A点坐标为（a， ）， ∵AB平行于x轴， ∴点B的纵坐标为 ， 而点B在反比例函数y=﹣ 图象上， ∴B点的横坐标=﹣2×a=﹣2a，即B点坐标为（﹣2a， ）， ∴AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC= ， ∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形， ∴AB+AC=4，即3a+ =4， 整理得，3a2﹣4a+1=0，（3a﹣1）（a﹣1）=0， ∴a1= ，a2=1， 而AB＜AC， ∴a= ， ∴A点坐标为（ ，3）． 故答案为：（ ，3）． 点评： 本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；利用矩形对边相等的性质建立方程以及用因式分解法解一元二次方程． 三、解答题（共计57分） 22．解方程： （1）x2﹣2x=5 （2）2（x﹣3）=3x（x﹣3） （3）（x+2）2=4 （4）（x﹣2）2=（2x+1）2． 考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法． 专题： 计算题． 分析： （1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可； （3）方程利用直接开平方法求出解即可； （4）方程利用直接开平方法求出解即可． 解答： 解：（1）方程配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6， 开方得：x﹣1=± ， 解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ； （2）方程变形得：（3x﹣2）（x﹣3）=0， 解得：x1= ，x2=3； （3）开方得：x+2=2或x+2=﹣2， 解得：x1=0，x2=﹣4； （4）开方得：x﹣2=2x+1或x﹣2=﹣2x﹣1， 解得：x1=﹣3，x2= ． 点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 23．如图，在△ABC和△ABD中，AD和BC交于点O，∠1=∠2，请你添加一个重要条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明．你添加的条件是∠C=∠D． 考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 开放型． 分析： 添加的条件是∠C=∠D，根据AAS推出△ABC≌△DAB，根据全等三角形的性质推出即可． 解答： 添加的条件是∠C=∠D， 证明：∵在△ABC和△DAB中 ， ∴△ABC≌△DAB（AAS）， ∴AC=BD， 故答案为：∠C=∠D 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一． 24．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 考点： 平行投影；相似三角形的性质；相似三角形的判定． 专题： 计算题；作图题． 分析： （1）根据投影的定义，作出投影即可； （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系 ．计算可得DE=10（m）． 解答： 解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90° ∴△ABC∽△DEF． ∴ ， ∴ ∴DE=10（m）． 说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可． 点评： 本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题． 25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC向点C匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 考点： 一元二次方程的应用．菁 优网版权所有 专题： 几何动点问题． 分析： 根据题意∠C=90°，可以得出△ABC面积为 ×6×8，△PCQ的面积为 （8﹣x）（6﹣x），设出t秒后满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t的值即可． 解答： 解：设经过x秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半， 则： =12， 解得x1=12（舍去），x2=2． 答：经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半． 点评： 本题考查了三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要注意结合图形找到等量关系． 26．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2023年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2023年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．求每年市政 府投资的增长率？ 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题． 分析： 首先设每年市政府投资的增长率为x．根据到2023年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解． 解答： 解：设每年市政府投资的增长率为x， 根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5， 整理，得：x2+3x﹣1.75=0，（3分） 解之，得：x= ， 即x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去）． 答：每年市政府投资的增长率为50%． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率． 27．如图，已知A（4，a）、B（﹣2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）求△AOB的面积． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）A（4，a）、B（﹣2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的交点，利用待定系数法，将点B（﹣2，﹣4）代入反比例函数关系式求出m的值，再将A的横坐标代入，求出A的纵坐标，然后将A、B点的坐标代入一次函数y=kx+b，组成二元一次方程组，求出一次函数的关系式； （2）根据图象，观察反比例函数的值大于一次函数的值，从而确定x的取值范围； （3）先求出一次函数与x轴交点C的坐标，再根据S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可求解． 解答： 解：（1）把B（﹣2，﹣4）代入反比例函数y= ， 得到：﹣4= ， 解得m=8． 故所求反比例函数关系式为：y= ； ∵点A（4，a）在反比例函数的图象上 ∴a= =2， ∴点A的坐标为（4，2）． ∵点A（4，2）和点B（2，4）都在一次函数y=kx+b的图象上， ∴ ， 解得 ． ∴一次函数的解析式为y=x﹣2； （2）由图象可得，反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜4； （3）设直线y=x﹣2与x轴相交于点C， 令y=0，得x=2， 则点C的坐标是（2，0）， 所以S△AOB=S△AOC+S△COB= ×2×2+ ×2×4=6． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，主要熟练掌握用待定系数法求函 数的解析式．掌握数形结合的思想． 28．已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC； （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 考点： 相似形综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）当PQ∥BC时，我们可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出关于AP，AB，AQ，AC的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值． （2）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来．关键是高，可以用AP和∠A的正弦值来求．AP的长可以用AB﹣BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出y与t的函数关系式． （3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻． （4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三 角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示出PN的长，也就表示出了MC的长，要想使四边形PQP′C是菱形，PQ=PC，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC，这样有用t表示出的AQ，QM，MC三条线段和AC的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的长，也就能求出菱形的边长了． 解答： 解：（1）在Rt△ABC中，AB= ， 由题意知：AP=5﹣t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC， ∴ = ，∴ = ， ∴t= ．所以当t= 时，PQ∥BC． （2）过点P作PH⊥AC于H． ∵△APH∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴PH=3﹣ t， ∴y= ×AQ×PH= ×2t×（3﹣ t）=﹣ t2+3t． （3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ． ∴（5﹣t）+2t=t+3+（4﹣2t），解得t=1． 若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ= S△ABC，即﹣ +3t=3． ∵t=1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． （4）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N， 若四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC． ∵PM⊥AC 于M， ∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴ = ，∴ = ， ∴PN= ， ∴QM=CM= ， ∴ t+ t+2t=4，解得：t= ． ∴当t= s时，四边形PQP′C是菱形． 此时PM=3﹣ t= cm，CM= t= cm， 在Rt△PMC中，PC= = = cm， ∴菱形PQP′C边长为 cm． 点评： 本题图形结合的动态题，是近几年考试热点，同时考查三角形相似知识，是一道很好的综合题．本题亮点是巧妙结合图形综合考查不同知识点． | 
