扬州市2023九年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

扬州市2023九年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每题只有一个正确答案）

1．用配方法解方程x 2﹣2x﹣2=0时，原方程应变形为()

A．（x+1）2=3 B．（x+2）2=6 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=6

2．在等腰三角形中，有两条边的长度是方程x2﹣9x+18=0的根，那么它的周长是()

A．12 B．15 C．12或15 D．9

3．下列说法中，正确的是()

A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧

B．长度相等的两条弧是等弧

C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

D．三角形的外心到三角形各边的距离相等

4．在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()

A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6

5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解为0，则m的值为()

A．2 B．﹣2 C．±2 D．0

6．如图，在△A BC中，∠A=70°．⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为()

A．160° B．135° C．125° D．110°

7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是()

A． B． C． D．

8．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是()

A．（ ，3）、（﹣ ，4） B．（ ）、（﹣ ） C．（ ）、（﹣ ） D．（ ）、（﹣ ）

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

9．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根分别为x1，x2，则x1?x2=__________．

10．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=__________．

11．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是__________．

12．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是__________．

13．对于实数a、b，定义运算“*”：a*b= ，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的两个根，那么x1*x2=__________．

14．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木 竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为__________m．

15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是__________cm．

16．如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF=__________．

17．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是__________．

18．如图，已知△ABC是面积为 的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）

19．解方程：

（1）（2x﹣3）2﹣x2=0

（2）3x2+5x+1=0．

20．如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°

（1）请说明：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=8，AE=6，BE=10，求AC的长．

21．已知|a﹣b+1|与 是互为相反数，且关于x的方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

22．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是__________；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是__________；

（3）△A2B2C2的面积是__________平方单位．

23．如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m的篱笆围成（篱笆正 好要全部用完，且不考虑接头的部分）

（1）若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？

（2）农场老板又想将羊圈ABCD的面积重新建造成面积为320m2，从而可以养更多的羊，请聪明的你告诉他：他的这个想法能实现吗？为什么？

24．探究一：如图，正△ABC中，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．

探究二：如图，若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，E为AB上任一点，△CDE为等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．

25．有一种可食用的野生菌，刚上市时，外商李经理以每千克30元的市场价格收购了这种野生菌2023千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这种野生菌在冷库中最多保存140天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏导致不能出售．

（1）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试求出P与x之间的函数关系式；

（2）李经理将这批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以获得20230元的利润？

26．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

27．阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

28．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2 ，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

扬州市2023九年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每题只有一个正确答案）

1．用配方法解方程x2﹣2x﹣2=0时，原方程应变形为()

A．（x+1）2=3 B．（x+2）2=6 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=6

考点：解一元二次方程-配方法．

专题：计算题．

分析：配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

解答： 解：x2﹣2x﹣2=0

移项，得：x2﹣2x=2，

配方：x2﹣2x+1=3，

即（x﹣1）2=3．

故选C．

点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

2．在等腰三角形中，有两条边的长度是方程x2﹣9x+18=0的根，那么它的周长是()

A．12 B．15 C．12或15 D．9

考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

分析：先求出方程的解，再判断是否符合三角形三边关系定理，最后把符合的求出即可．

解答： 解：x2﹣9x+18=0，

（x﹣3）（x﹣6）=0，

x﹣3=0，x﹣6=0，

x1=3，x2=6，

①等腰三角形的三边为3，3，6，

∵3+3=6，

∴不符合三角形三边关系定理，舍去；

②等腰三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+6+6=15；

故选B．

点评：本题考查了三角形三边关系定理，等腰三角形性质，解一元二次方程的应用，关键是求出三角形三边长．

3．下列说法中，正确的是()

A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧

B．长度相等的两条弧是等弧

C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

D．三角形的外心到三角形各边的距离相等

考点：命题与定理．

分析：根据等弧的定义对A、B进行判断；根据平行线分线段成比例定理对C进行判断；根据三角形外心的性质对D进行判断．

解答： 解：A、如果弦不是直径，那么同一条弦所对的两条弧一条是优弧，另外一条是劣弧，故本选项错误；

B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本选项错误；

C、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，故本选项正确；

D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误．

故选C．

点评：本题考查了等弧的定义，平行线分线段成比例定理，三角形的外接圆与外心等知识，熟练掌握定义与性质是解题的关键．

4．在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()

A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6

考点：等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

分析：根据已知可证△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求△DEF的周长、面积．

解答： 解：因为在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，

∴ =2，

又∵∠A=∠D，

∴△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2，

∵△ABC的周长是16，面积是12，

∴△DEF的周长为16÷2=8，面积为12÷4=3，

故选A．

点评：本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解为0，则m的值为()

A．2 B．﹣2 C．±2 D．0

考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．

分析：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．

解答： 解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0中，得

m2﹣4=0，

解得m=﹣2或2，

当m=2时，原方程二次项系数m﹣2=0，舍去，

故选B．

点评：本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．

6．如图，在△ABC中，∠A=70°．⊙O截△ABC的三条边 所得的弦长相等，则∠BOC的度数为()

A．160° B．135° C．125° D．110°

考点：三角形的内切圆与内心；角平分线的性质；垂径定理．

分析：先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．

解答： 解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，

∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= （180°﹣∠A）= （180°﹣70°）=55°，

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣55°=125°．

故选C．

点评：本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，比较简单．

7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是()

A． B． C． D．

考点：动点问题的函数图象．

专题：压轴题；动点型．

分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．

解答： 解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；

②点P在BC上时，3＜x≤5，

∵∠APB+∠BAP=90°，

∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠APB=∠PAD，

又∵∠B=∠DEA=90°，

∴△ABP∽△DEA，

∴ = ，

即 = ，

∴y= ，

纵观各选项，只有B选项图形符合．

故选：B．

点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．

8．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是()

A．（ ，3）、（﹣ ，4） B．（ ）、（﹣ ） C．（ ）、（﹣ ） D．（ ）、（﹣ ）

考点：矩形的性质；坐标与图形性质．

分析：首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答： 解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，

∵四边形AOBC是矩形，

∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，

在△ACF和△OBE中，

，

∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4﹣1=3，

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴ = ，

即 = ，

∴OE= ，

即点B（ ，3），

∴AF=OE= ，

∴点C的横坐标为：﹣（2﹣ ）=﹣ ，

∴点C（﹣ ，4）．

故选D．

点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

9．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根分别为x1，x2，则x1?x2=﹣3．

考点：根与系数的关系．

分析：直接利用根与系数的关系求解．

解答： 解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根分别为x1，x2，

∴x1?x2=﹣3．

故答案为﹣3．

点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

10．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE= ．

考点：黄金分割．

专题：压轴题．

分析：根据相似比求解．

解答： 解：∵△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，AB=1

∴AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE∥AB

∴设DE=x，则CD=BE=x，AD=BC=1﹣x，

∴EC=BC﹣BE=1﹣x﹣x=1﹣2x

∴

解得：DE= ．

点评：此题考查了相似三角形的性质与方程思想，相似三角形的对应边的比相等；解题时要注意方程思想的应用．

11．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是20%．

考点：一元二次方程的应用．

专题：增长率问题；压轴题．

分析：设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，150降至96就是方程的平衡条件，列出方程求解即可．

解答： 解：设每次降价的百分率为x．

150×（1﹣x）2=96

x=20%或180%（180%不符合题意，舍去）

答：平均每次降价的百分率为20%．

点评：一元二次方程应用的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．

12．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．

考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．

专题：分类讨论．

分析：连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数．

解答： 解：连接OA、OB，

∵AB=OB=OA，

∴∠AOB=60°，

∴∠C=30°，

∴∠D=180°﹣30°=150°．

故答案为：30°或150°．

点评：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线是解题的关键．

13．对于实数a、b，定义运算“*”：a*b= ，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8．若x1、x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的两个根，那么x1*x2=±24．

考点：根与系数的关系．

专题：新定义．

分析：首先解方程x2﹣8x+12=0，再根据a*b= ，求出x1﹡x2的值即可．

解答： 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+12=0的两个根，

∴（x﹣2）（x﹣6）=0，

解得：x=2或6，

①当x1=2，x2=6时，x1﹡x2=2×6﹣62=﹣24；

②当x1=6，x2=2时，x1﹡x2=62﹣6×2=24．

故答案为：±24．

点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．

14．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为2.3m．

考点：相似三角形的应用．

专题：几何图形问题．

分析：先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．

解答： 解：解：过N点作ND⊥PQ于D，

∴ ，

又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，

∴QD= =1.5，

∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（m）．

故答案为：2.3．

点评：在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．

15．如图，在梯形ABCD中， AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是 cm．

考点：垂径定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定；直角梯形．

专题：压轴题．

分析：本题的综合性质较强，根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质可知．

解答： 解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，

则四边形AECB是矩形，

CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，

∵∠AOD=90°，AO=OD，

所以△AOD是等腰直角三角形，

AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，

∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°

∴∠ODC+∠OAB=90°，

∵∠ODC+∠DOC=90°，

∴∠DOC=∠BAO，

∵∠B=∠C=90°

∴△ABO≌△OCD，

∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，

由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，

得AD=2 cm，

∴AO=OD=2 cm，

S△AOD= AO?DO= AD?OF，

∴OF= cm．

点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质求解．

16．如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF=6，则DF= ．

考点：三角形的重心．

分析：根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再次利用三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求解即可．

解答： 解：∵点F是△ABC的重心，

∴EF= BF= ×6=3，

∵AB=BC，BE是中线，

∴AE= AC= ×8=4，BE⊥AC，

在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF= = =5，

∴DF= AF= ．

故答案为： ．

点评：本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半是解题的关键，此内容已经不作要求，此题可斟酌使用．

17．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是4 ．

考点：垂径定理；圆周角定理．

专题：压轴题．

分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB= OA=2 ，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB?CD+ AB?CE= AB（CD+CE）= AB?DE= ×2 ×4=4 ．

解答： 解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，

∵∠AMB=45°，

∴∠AOB=2∠AMB=90°，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴AB= OA=2 ，

∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，

∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，

即M点运动到D点，N点运动到E点，

此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB?CD+ AB?CE= AB（CD+CE）= AB?DE= ×2 ×4=4 ．

故答案为：4 ．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．

18．如图，已知△ABC是面积为 的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号） ．

考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质．

专题：计算题．

分析：根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．

解答： 解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，

∴ = ，

∵AB=2AD，S△ABC= ，

∴S△ADE= ，

如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，

∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，

∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，

∴AH=HF，

设AH=HF=x，则EH=xtan30°= x．

又∵S△ADE= ，

作CM⊥AB交AB于M，

∵△ABC是面积为 的等边三角形，

∴ ×AB×CM= ，

∠BCM=30°，

设AB=2k，BM=k，CM= k，

∴k=1，AB=2，

∴AE= AB=1，

∴x+ x=1，

解得x= = ．

∴S△AEF= ×1× = ．

故答案为： ．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的 面积，然后问题可解．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）

19．解方程：

（1）（2x﹣3）2﹣x2=0

（2）3x2+5x+1=0．

考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．

专题：计算题．

分析：（1）利用因式分解法解方程；

（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．

解 答： 解：（1）（2x﹣3﹣x）（2x﹣3+x）=0，

2x﹣3﹣x=0或2x﹣3+x=0，

所以x1=3，x2=1；

（2）△=25﹣4×3=13，

x= ，

所以x1= ，x2= ．

点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．

20．如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°

（1）请说明：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=8，AE=6，BE=10，求AC的长．

考点：相似三角形的判定与性质．

分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠B，推出∠B=∠ADE，根据相似三角形的判定得出即可；

（2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．

解答： 解：（1）∵∠A=35°，∠C=85°，

∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=60°，

∵∠ADE=60°，

∴∠B=∠ADE，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC；

（2）∵△ADE∽△ABC，

∴ = ，

∵AD=8，AE=6，BE=10，

∴ = ，

∴AC=12．

点评：本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键．

21．已知|a﹣b+1|与 是互为相反数，且关于x的方程kx 2+ax+b=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

考点：根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．

专题：计算题．

分析：先根据非负数的性质得到a﹣b+1=0，a﹣2b+4=0，可求出a=﹣2，b=﹣1，则原方程变形为kx2+﹣2x﹣1=0，然后根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0，再求出两不等式的公共部分即可．

解答： 解：∵|a﹣b+1|+ =0，

∴a﹣b+1=0，a﹣2b+4=0，

∴a=﹣2，b=﹣1，

原方程变形为kx2+﹣2x﹣1=0，

根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0，

解得k＞﹣1且k≠0．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了非负数的性质．

22．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；

（3）△A2B2C2的面积是10平方单位．

考点：作图-位似变换；作图-平移变换．

专题：作图题．

分析：（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；

（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．

解答： 解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；

故答案为：（2，﹣2）；

（2）如图所示：C2（1，0）；

故答案为：（1，0）；

（3）∵A2C22=20，B2C =20，A2B2 =40，

∴△A2B2C2是等腰直角三角形，

∴△A2B2C2的面积是： ×20=10平方单位．

故答案为：10．

点评：此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．

23．如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分）

（1）若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？

（2）农场老板又想将羊圈ABCD的面积重新建造成面积为320m2，从而可以养更多的羊，请聪明 的你告诉他：他的这个想法能实现吗？为什么？

考点：一元二次方程的应用．

专题：几何图形问题．

分析：（1）设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为（50﹣2x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．

（2）假使矩形面积为320，则x无实数根，所以不能围成矩形场地．

解答： 解：（1）设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为（50﹣2x）米．

依题意，得x?（50﹣2x）=300，

即，x2﹣25x+150=0，

解此方程，得x1=15，x2=10．

∵墙的长度不超过25m，

∴ x2=10不合题意，应舍去．

∴垂直于墙的一边长AB为15米．

（2）不能．

因为由x?（50﹣2x）=320得x2﹣25x+160=0．

又∵b2﹣4ac=（25）2﹣4×1×160=﹣15＜0，

∴上述方程没有实数根．

因此，不能使所围矩形场地的面积为320m2．

点评：此题考查了一元二次方程的应用，不仅是一道实际问题，而且结合了矩形的性质，解答此题要注意以下问题：

（1）矩形的一边为墙， 且墙的长度不超过45米；

（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．

24．探究一：如图，正△ABC中，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．

探究二：如图，若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，E为AB上任一点，△CDE为等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．

考点：等边三角形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质．

专题：探究型．

分析：猜想AD与BC的位置关系为AD∥BC，欲证AD∥BC，可以根据正三角形，等腰三角形的性质，证明△ACD∽△BCE，再证明AD与BC的内错角相等，得出结论．

解答： 解：（1）AD与BC的位置关系为AD∥BC；

∵△ABC和△DEC是正三角形，

∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°．

∴ = ，∠DCA=∠ECB．

∴△ACD∽△BCE．

∴∠DAC=∠EBC=60°．

∴∠DAC=∠ACB．

∴AD∥BC．

（2）AD与BC的位置关系为AD∥BC；

∵△ABC和△DEC是等腰三角形

DE=DC，且∠BAC=∠EDC，

∴∠ACB=∠DCE．

∴ = ，∠DCA=∠ECB．

∴△ACD∽△BCE．

∴∠DAC=∠EBC．

∴∠DAC=∠ACB．

∴AD∥BC．

点评：观察测量，然后进行推理证明，是数学知识发现的基本规律．本题考查了正三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定．注意证明方式相同．

25．有一种可食用的野生菌，刚上市时，外商李经理以每千克30元的市场价格收购了这种野生菌2023千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这种野生菌在冷库中最多保存140天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏导致不能出售．

（1）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试求出P与x之间的函数关系式；

（2）李经理将这批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以获得20230元的利润？

考点：一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．

分析：（1）根据等量关系：销售金额=x天后能售出的香菇质量×售价，然后列式整理即可得解；

（2）根据利润=销售金额﹣成本，列出方程，然后解关于x的一元二次方程即可解得．

解答： 解：（1）y=（2023﹣3x）×（30+x），

=﹣3x2+910x202300，

即y=﹣3x2+910x+20230（1≤x≤140，且x为整数）；

（2）获得利润20230元时，w=（﹣3x2+910x+20230）﹣30×2023﹣310x=20230，

解得x1=50，x2=150，

∵香菇在冷库中最多保存140天，

∴x=50．

答：李经理想获得利润20230元，需将这批香菇存放50天后出售．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及一元二次方程的应用，找出销售金额的等量关系是解题的关键．

26．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

考点：圆的综合题．

分析：（1）利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE，进而得出∠DAC=∠DBA；

（2）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案；

（3）利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．

解答： （1）证明：∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，

∴∠DAC=∠CBD，

∴∠DAC=∠DBA，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，

∴∠ADB=∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，

∴∠ADE=∠DBA，

∴∠DAC=∠ADE，

∴∠DAC=∠DBA；

（2）证明：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB=90°，

∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，

∴PD=PA，

∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，

∴∠PDF=∠PFD，

∴PD=PF，

∴PA=PF，即P是线段AF的中点；

（3）解：连接CD，

∵∠CBD=∠DBA，

∴CD=AD，

∵CD﹦3，∴AD=3，

∵∠ADB=90°，

∴AB=5，

故⊙O的半径为2.5，

∵DE×AB=AD×BD，

∴5DE=3×4，

∴DE=2.4．

即DE的长为2.4．

点评：此题主要考查了圆的综合以及圆周角定理和勾股定理以及三角形面积等知识，熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．

27．阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

考点：相似形综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．

（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．

（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．

解答： 解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°．

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°．

∴∠ADE=∠BEC．

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC．

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE= ∠BCD=30°，

∴BE= CE= AB．

在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，

∴ ，

∴ ．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．

28．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2 ，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

考点：圆的综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．

（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．

（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．

解答： 解：（1）连接PA，如图1所示．

∵PO⊥AD，

∴AO=DO．

∵AD=2 ，

∴OA= ．

∵点P坐标为（﹣1，0），

∴OP=1．

∴PA= =2．

∴BP=CP=2．

∴B（﹣3，0），C（1，0）．

（2）连接AP，延长AP交 ⊙P于点M，连接MB、MC．

如图2所示，线段MB、MC即为所求作．

四边形AC MB是矩形．

理由如下：

∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，

∴四边形ACMB是平行四边形．

∵BC是⊙P的直径，

∴∠CAB=90°．

∴平行四边形ACMB是矩形．

过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．

在△MHP和△AOP中，

∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，

∴△MHP≌△AOP．

∴MH=OA= ，PH=PO=1．

∴OH=2．

∴点M的坐标为（﹣2， ）．

（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．

∵四边形ACMB是矩形，

∴∠BMC=90°．

∵EG⊥BO，

∴∠BGE=90°．

∴∠BMC=∠BGE=90°．

∵点Q是BE的中点，

∴QM=QE=QB=QG．

∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．

∴∠MQG=2∠MBG．

∵∠COA=90°，OC=1，OA= ，

∴tan∠OCA= = ．

∴∠OCA=60°．

∴∠MBC=∠BCA=60°．

∴∠MQG=120°．

∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．

点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强．证明点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解决第三小题的关键．