重庆市2023初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)

重庆市2023初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）

1．如果零上3℃记作+3℃，那么零下2℃记作()

A．﹣2℃ B．﹣3℃ C．+3℃ D．+2℃

2．下列图形中，是轴对称图形的是()

3．估算 ﹣1的值在()

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

4．下列 运算正确的是()

A．（a2）3=a6 B．（ab）2=ab2 C．a2+a2=a4 D．a?a2=a2

5．如图所示几何体的几何体的主视图是()

6．下列函数中，自变量x的取值范围是x＞2的函数是()

A．y=x﹣2 B．y=x2﹣4 C．y= D．y=

7．下列说法正确的是()

A．从1，2，3，4，5中随机取出一个数，取得偶数的可能性比取得奇数的大

B．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则甲组数据比乙组数据稳定

C．数据﹣2，1，3，4，4，5的中位数是4

D．了解重庆市初中学生的视力情况，适宜采用抽样调查的方法

8．如图，平行四边形ABCD中，已知∠AOB=90°，AC=8cm，AD=5cm，则BD的长为()

A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm

9．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是__________．

10．在2023年潼南体育艺术节闭幕晚会前，潼南区同学们从成功学校出发，走了一段时间后，某班同学发现晚会道具忘带了，于是派团员小明跑步返回学校去拿，小明沿原路返回学校拿了晚会道具后，立即又以原跑步速度追上了队伍．设小明与队伍之间的距离为S，小明随队伍从学校出发到再次追上队伍的时间为t．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是()

11．将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形；…；如此下去．则图10中正方形的个数是()

A．28 B．29 C．31 D．32

12．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

例如，购买A类会员年卡，一年内游泳2 0次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为()

A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡

C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在横线上．

13．从重庆市教委获悉，2023年6月14﹣16日重庆市矩形的2023年中招考试中，参加2023届中考的初中毕业生共202300余人，那么202300用科学记数法表示为__________．

14．用配方法解方程x2﹣4x+2=0，下列变形正确的是()

A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣4）2=2 C．（x﹣2）2=2 D．（x﹣4）2=1

15．分式方程 的解是x=__________．

16．分解因式：ab2﹣2ab+a=__________．

17．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二 ，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为__________．

18．已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于__________．

三、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

19．（1）计算：

（2）解方程：x2﹣6x﹣2=0．

20．已知：如图，点E，F分别为?ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．

求证：AE=CF．

四、解答题（本大题包括4个小题，每个小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

21．先化简，再求值： ，其中x为不等式组 的整数解．

22．某校学生会组织了“珍惜水资源”为主题的系列活动．同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校共150名初二、初三的同学家庭月人均用水量和节水措施情况．以下是根据调查结果做出的统计图的一部分．

请根据以上信息解答问题：

（1）补全图1，图2中淘米水浇花的百分率是__________%；

（2）如果全校学生家庭总人数约为2023人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量．

（3）学校要从2023学年八年级（1）（2）班和2023届九年级（1）（2）（3）班共5 个班中抽出两个班组成一个代表队参加“珍惜水资源”的知识竞赛活动．求抽到的两个班都是2023学年八年级的百分比是__________．

23．阅读材料：

若a，b都是非负实数，则a+b≥ ．当且仅当a=b时，“=”成立．

证明：∵（ ）2≥0，∴a﹣ +b≥0．

∴a+b≥ ．当且仅当a=b时，“=”成立．

举例应用：

已知x＞0，求函数y=2x+ 的最小值．

解：y=2x+ ≥ =4．当且仅当2x= ，即x=1时，“=”成立．

当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．

问题解决：

汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（ + ）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．

（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范 围）；

（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．

24．如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．

（1）求证：DE﹣BF=EF；

（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）；

（3）若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论．

五、解答题（本大题包括2个小题，每个小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

25．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系：

x … 60 65 70 75 80 …

y … 60 55 50 45 40 …

（1）求销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；并求出销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．

26．直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（8，0）．

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是直线在第一象限内的动点（0＜x＜8），试确定点P的坐标，使△OAP的面积为12；

（3）在（2）的条件下，以 OP为腰在坐标轴上是否存在点C，使三角形OPC成等腰三角形？

重庆市2023初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）

1．如果零上3℃记作+3℃，那么零下2℃记作()

A．﹣2℃ B．﹣3℃ C．+3℃ D．+2℃

考点：正数和负数．

分析：一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

解答： 解：“正”和“负”相对，

∵如果零上3℃记作+3℃，

∴零下2℃记作﹣2℃，

故选A．

点评：此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

2．下列图形中，是轴对称图形的是()

A． B． C． D．

考点：轴对称图形．

分析：根据轴对称图形的概念求解．

解答： 解：A、不是轴对称图形，故错误；

B、不是轴对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，故正确；

D、不是轴对称图形，故错误．

故选C．

点评：本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3．估算 ﹣1的值在()

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

考点：估算无理数的大小．

分析：由16＜19＜25，得到4＜ ＜5，即可解答．

解答： 解：∵16＜19＜25，

∴4＜ ＜5，

∴3＜ ﹣1＜4，

故选：B．

点评：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．

4．下列运算正确的是()

A．（a2）3=a6 B．（ab）2=ab2 C．a2+a2=a4 D．a?a2=a2

考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．

分析：结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项，同底数幂的乘法等运算，然后选择正确选项．

解答： 解：A、（a2）3=a6，计算正确，故本选项正确；

B、（ab）2=a2b2，计算错误，故本选项错误；

C、a2+a2=2a2，计算错误，故本选项错误；

D、a?a2=a3，计算错误，故本选项错误．

故选A．

点评：本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项，同底数幂的乘法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．

5．如图所示几何体的几何体的主视图是()

考点：简单组合体的三视图．

分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

解答： 解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形右边一个小正方形，第三层右边一个小正方形，

故选：A．

点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

6．下列函数中，自变量x的取值范围是x＞2的函数是()

A．y=x﹣2 B．y=x2﹣4 C．y= D．y=

考点：函数自变量的取值范围．

分析：根据分母不等于0，被开方数大于等于0对各选项分析判断即可得解．

解答： 解：A、x取全体实数，故本选项错误；

B、x取全体实数，故本选项错误；

C、由x﹣2≠0得，x≠2，故本选项错误；

D、由x﹣2＞0得，x＞2，故本选项正确．

故选D．

点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

7．下列说法正确的是()

A．从1，2，3，4，5中随机取出一个数，取得偶数的可能性比取得奇数的大

B．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则甲组数据比乙组数据稳定

C．数据﹣2，1，3，4，4，5的中位数是4

D．了解重庆市初中学生的视力情况，适宜采用抽样调查的方法

考点：方差；全面调查与抽样调查；中位数；可能性的大小．

分析：根据方差的意义、中位数、可能性的大小以及全面调查与抽样调查的概念分别对每一项进行分析即可．

解答： 解：A、从1，2，3，4，5中随机取出一个数，取得偶数的概率是 ，取得奇数的概率是 ，取得偶数的可能性比取得奇数的小，故本选项错误；

B、若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误；

C、数据﹣2，1，3，4，4，5的中位数是 =3.5，故本选项错误；

D、了解重庆市初中学生的视力情况，适宜采用抽样调查的方法，故本选项正确；

故选D．

点评：此题考查了方差、中位数、可能性的大小以及全面调查与抽样调查，熟练掌握定义和公式是本题的关键．

8．如图，平行四边形ABCD中，已知∠AOB=90°，AC=8cm，AD=5cm，则BD的长为()

A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm

考点：平行四边形的性质．

分析：由平行四边形ABCD中，AC=8cm，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA的长，然后由勾股定理求得OB的长，继而求得答案．

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边 形，

∴OA= AC= ×8=4（cm），

∵∠AOB=90°，

∴∠AOD=180°﹣∠AOB=90°，

∴OD= = =3（cm），

∴BD=2OD=6cm．

故选C．

点评：此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对角线互相平分．

9．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣4．

考点：根的判别式．

分析：根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．

解答： 解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，

∴△=16﹣4（﹣m）＜0，

∴m＜﹣4，

故答案为m＜﹣4．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

10．在2023年潼南体育艺术节闭幕晚会前，潼南区同学们从成功学校出发，走了一段时间后，某班同学发现晚会道具忘带了，于是派团员小明跑步返回学校去拿，小明沿原路返回学校拿了晚会道具后，立即又以原跑步速度追上了队伍．设小明与队伍之间的距离为S，小明随队伍从学校出发到再次追上队伍的时间为t．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是()

考点：函数的图象．

分析：分别得出他们从学校出发，走了一段时间，小明跑步返回学校去拿，小明沿原路返回学校拿了团旗后，又以原跑步速度追上了队伍 ，小明与队伍之间的距离S随着t的增加时如何变化的，即可判断出正确答案．

解答： 解：根据题意：他们从学校出发，走了一段时间，此时小明与队伍之间的距离S=0，

小明跑步返回学校去拿，此时小明与队伍之间的距离S随着时间t的增加而增加，

小明沿原路返回学校拿了团旗后，立即又以原跑步速度追上了队伍，此时小明与队伍之间的距离S随着时间t的增加而减小，直到S=0，

故能反映S与t的函数关系的大致图象是C．

故选C．

点评：本题考查了函数图象，解题的关键是能够根据实际问题得出函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过 程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．

11．将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形；…；如此下去．则图10中正方形的个数是()

A．28 B．29 C．31 D．32

考点：规律型：图形的变化类．

专题：压轴题；规律型．

分析：根据已知图形可以发现：每次分割，都会增加3个正方形，所以可以得到此题的规律为：第n个图形中的正方形个数为：3n﹣2．依此求出图10中正方形的个数．

解答： 解：根据题意：每次分割，都会增加3个正方形．

故图10中共有3×10﹣2=28个正方形．

故选A．

点评：本题考查规律型：图形的变化，要求学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律：每次分割，都会增加3个正方形．

12．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为()

A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡

C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡

考点：一次函数的应用．

分析：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤55时，确定y的范围，进行比较即可解答．

解答： 解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，

根据题意得：

yA=50+25x，

yB=200+20x，

yC=400+15x，

当45≤x≤55时，

2023≤yA≤2023；

2023≤yB≤2023；

2023≤yC≤2023；

由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．

故选：C．

点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定函数值的范围．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在横线上．

13．从重庆市教委获悉，2023年6月14﹣16日重庆市矩形的2023年中招考试中，参加2023届中考的初中毕业生共202300余人，那么202300用科学记数法表示为3.7×105．

考点：科学记数法—表示较大的数．

分析：科学记 数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：202300=3.7×105，

故答案为：3.7×105．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14．用配方法解方程x2﹣4x+2=0，下列变形正确的是()

A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣4）2=2 C．（x﹣2）2=2 D．（x﹣4）2=1

考点：解一元二次方程-配方法．

分析：配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

解答： 解：移项，得：x2﹣4x=﹣2，

配方：x2﹣4x+4=﹣2+4，

即（x﹣2）2=2．

故选A．

点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

15．分式方程 的解是x=1．

考点：解分式方程．

专题：计算题．

分析：观察可得最简公分母为x（x+1）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．

解答： 解：方程两边同乘x（x+1），

得x+1=2x，

解得x=1．

将x=1代入x（x+1）=2≠0．

所以x=1是原方程的解．

点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

16．分解因式：ab2﹣2ab+a=a（b﹣1）2．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

解答： 解：ab2﹣2ab+a，

=a（b2﹣2b+1），

=a（b﹣1）2．

点评：考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．

17．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列 方程组为 ．

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．

分析：根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．

解答： 解：根据题意得： ，

故答案为： ．

点评：本题考查了由实 际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．

18．已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于4 ﹣4．

考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．

专题：压轴题．

分析：作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB = （180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH= AC=4，AH= CH=4 ，所以DH=AD﹣AH=8﹣4 ，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=4 ﹣4．

解答： 解：作CH⊥AE于H，如图，

∵AB=AC=8，

∴∠B=∠ACB= （180°﹣∠BAC）= （180°﹣30°）=75°，

∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，

∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，

∵∠ACB=∠CAD+∠E，

∴∠E=75°﹣30°=45°，

在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，

∴CH= AC=4，AH= CH=4 ，

∴DH=AD﹣AH=8﹣4 ，

在Rt△CEH中，∵∠E=45°，

∴EH=CH=4，

∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4 ）=4 ﹣4．

故答案为4 ﹣4．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．

三、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

19．（1）计算：

（2）解方程：x2﹣6x﹣2=0．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法．

专题：计算题．

分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；

（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．

解答： 解：（1）原式=﹣9+ +3﹣2 ﹣3=﹣9﹣ ；

（2）方程变形得：x2﹣6x=2，

配方得：x2﹣6x+9=11，即（x﹣3）2=11，

开方得：x﹣3=± ，

解得：x1=3+ ，x2=3﹣ ．

点评：此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．已知：如图，点E，F分别为?ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．

求证：AE=CF．

考点：平行四边形的性质．

专题：证明题．

分析：先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE=∠1，而∠1=∠2，于是∠DAE=∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE=CF．

解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠1，

∵∠1=∠2，

∴∠DAE=∠2，

∴AE∥CF，

∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE=CF．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出AE∥CF是解题的关键．

四、解答题（本大题包括4个小题，每个小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

21．先化简，再求值： ，其中x为不等式组 的整数解．

考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．

专题：压轴题．

分析：将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，然后约分化简；再解不等式组，找到其整数解，找到合适的值代入即可．

解答： 解：原式= ÷（ ）= ；

解不等式组 ，

由①得x≥1；

由②得x≤2；

不等式组的解集为1≤x≤2．

∵x为整数，

∴x=1或x=2，

∵x为2时，原代数式无意义，

∴x=1，

∴原式= ．

点评：本题考查了分式的化简求值、 一元一次不等式组的整数解，取合适的整数值求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．

22．某校学生会组织了“珍惜水资源”为主题的系列活动．同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校共150名初二、初三的同学家庭月人均用水量和节水措施情况．以下是根据调查结果做出的统计图的一部分．

请根据以上信息解答问题：

（1）补全图1，图2中淘米水浇花的百分率是15%；

（2）如果全校学生家庭总人数约为2023人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量．

（3）学校要从2023学年八年级（1）（2）班和2023届九年级（1）（2）（3）班共5个班中抽出两个班组成一个代表队参加“珍惜水资源”的知识竞赛活动．求抽到的两个班都是2023学年八年级的百分比是10%．

考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

分析：（1）根据随机调查了本校初二，初三共150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况，人均用水3吨的有：150﹣（10+42+50+32+16），根据扇形统计图的特点可知，用1减去其他3种节水措施所占的百分比即可解答．

（2）先求出这150名同学家庭月人均用水量，再用样本估计总体的方法即可解答．

（3）根据从2023学年八年级（一）（二）班和2023届九年级（一）（二）（三）班共5个班中抽出两个班组成一个代表队参加“关注世博会，珍惜水资源”的知识竞赛活动，用列表法求出总数，进而得出抽到的两个班都是2023学年八年级的百分比．

解答： 解：（1）如图所示：

∵随机调查了本校初二，初三共150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况．

∴人均用水3吨的有：150﹣（10+42+32+16）=50人，

图2中淘米水浇花的百分率是：1﹣（11%﹣44%﹣30%=15%；

故答案为：15；

（2）这150名同学家庭月人均用水为：

=

∴估计全校学生家庭用总量为： ×2023（吨），

答：估计全校学生家庭用总量为2023吨．

（3）列表为：

由表可知，共有20种不同情况，且每种情况出现的可能性均相同，

其中抽到的两个班都是2023学年八年级的共有2种情况．

∴抽到的两个班都是2023学年八年级的百分比= ×100%=10%．

故答案为10%．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法求概率．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．阅读材料：

若a，b都是非负实数，则a+b≥ ．当且仅当a=b时，“=”成立．

证明：∵（ ）2≥0，∴a﹣ +b≥0．

∴a+b≥ ．当且仅当a=b时，“=”成立．

举例应用：

已知x＞0，求函数y=2x+ 的最小值．

解：y=2x+ ≥ =4．当且仅当2x= ，即x=1时，“=”成立．

当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．

问题解决：

汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（ + ）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．

（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．

考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用．

分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；

（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．

解答： 解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（ + ）升．

∴y=x×（ + ）= （70≤x≤110）；

（2）根据材料得：当 时有最小值，

解得：x=90

∴该汽车的经济时速为90千米/小时；

当x=90时百公里耗油量为100×（ + ）≈11.1升．

点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料．

24．如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．

（1）求证：DE﹣BF=EF；

（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）；

（3）若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

专题：几何综合题．

分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得DA=AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF=AE，AF=DE，然后根据图形列式整理即可得证；

（2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF=AE，AF=DE，然后结合图形写出结论即可；

（3）根据中点定义求出BG，再利用勾股定理列式求出AG的长，然后利用△ABG的面积列式求出BF的长，再根据勾股定理列式求出FG的长，然后求出AF、AE、BF的长，再表示出EF的长，从而得解．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，

∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△ABF和△DAE中， ，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴BF=AE，AF=DE，

∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF；

（2）解：如图②，DE+BF=EF；

（3）解：EF=2FG．理由如下：

∵AB=2a，点G为BC边中点，

∴BG=a，

根据勾股定理得，AG= = = a，

又∵AB⊥BC，BF⊥AG，

∴S△ABG= × a?BF= ?2a?a，

∴BF= a，

根据勾股定理得，FG= = = a，

∴AF=AG﹣FG= a﹣ a= a，

∵AE=BF= a，

∴EF=AG﹣AE﹣FG= a﹣ a﹣ a= a，

∴EF=2FG．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记正方形的四条边都相等，每一个角都是直角，然后求出三角形全等是解题的关键．

五、解答题（本大题包括2个小题，每个小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

25．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系：

（1）求销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；并求出销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．

考点：二次函数的应用；一次函数的应用．

专题：应用题．

分析：（1）先利用待定系数法求出销售量y与销售单价x的函数关系式y=﹣x+120；由于成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，可得到x的取值范围为60≤x≤87；

（2）根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到W=（x﹣60）?y，把y=﹣x+120代入得到W=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣2023（60≤x≤87）；然后配成顶点式为W=﹣（x﹣90）2+900，根据二次函数的性质得到当x＜90时，W随x的增大而增大，则x=87时，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）2+900=891；

（3）令W=500，则﹣（x﹣90）2+900=500，解得x1=70，x2=110，而当x＜90时，W随x的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70（元）≤x≤87（元）时，该商场获得利润不低于500元．

解答： 解：（1）设售量y（件）与销售单价x（元）的一次函数关系为y=kx+b（k≠0），

把（60，60）、（80，40）代入，

得 ，

解得 ，

∴销售量y与销售单价x的函数关系式y=﹣x+120；

∵成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即不高于60（1+45%），

∴60≤x≤87；

（2）W=（x﹣60）?y

=（x﹣60）（﹣x+120）

=﹣x2+180x﹣2023（60≤x≤87）；

W=﹣（x﹣90）2+900，

∵a=﹣1＜0，

∴当x＜90时，W随x的增大而增大，

∴x=87时，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）2+900=891，

即销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；

（3）令W=500，则﹣（x﹣90）2+900=500，解得x1=70，x2=110，

∵当x＜90时，W随x的增大而增大，

∴当销售单价的范围为70（元）≤x≤87（元）时，该商场获得利润不低于500元．

点评：本题考查了二次函数的应用：先根据实际问题得到二次函数的解析式y=ax2+bx+c（a≠0），再得到顶点式y=a（x+ ）2+ ，当a＜0，二次函数有最大值，即x=﹣ 时，y的最大值为 ，然后利用二次函数的性质解决有关问题．也考查了待定系数法求函数的解析式以及一次函数的应用．

26．直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（8，0）．

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是直线在第一象限内的动点（0＜x＜8），试确定点P的坐标，使△OAP的面积为12；

（3）在（2）的条件下，以OP为腰在坐标轴上是否存在点C，使三角形OPC成等腰三角形？

考点：一次函数综合题．

分析：（1）根据待定系数法即可求得；

（2）根据三角形的面积求得P的纵坐标，代入直线解析式求得横坐标，即可求得P的坐标；

（3）分四种情况根据等腰三角形的性质分别讨论即可求得．

解答： 解：（1）∵直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（8，0）．

∴8k+6=0，解得k=﹣ ；

（2）∵点A的坐标为（8，0），

∴OA=8，

∵△OAP的面积为12，

设P的纵坐标为y，

∴ ×8y=12，解得y=3，

代入y=﹣ x+6得，3=﹣ x+6，

解得x=4，

∴P（4，3）；

（3）存在，

∵P（4，3），

∴OP= =5，

①当C点在x轴的正半轴上时，C（8，0）；

②当C点在x轴的负半轴上时，C（﹣5，0）；

③当C点在y轴的正半轴上时，C（0，6）；

④当C点在y轴的负半轴上时，C（0，﹣5）；

故C点的坐标为（8，0）或（﹣5，0）或（0，6）或（0，﹣5）．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．