湖北省2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

湖北省2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、精心选一选，相信自己的判断（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）．在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）

A． x=2 B． x=0 C． x1=﹣2，x2=0 D． x1=2，x2=0

3．已知x=2是方程（3x﹣m）（x+3）=0的一个根，则m的值为（）

A． 6 B． ﹣6 C． 2 D． ﹣2

4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）

A． m≥﹣2 B． m≥5 C． m≥0 D． m＞4

5．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A（4，2），则点A1的坐标是（）

A． （4，﹣2） B． （﹣4，﹣2） C． （﹣2，﹣3） D． （﹣2，﹣4）

6．如图，已 知△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）

A． 2﹣ B． C． ﹣1 D． 1

7．中国银杏节某纪念品原价168元，连续两次降价a%后，售价为128元，下列所列方程中，正确的是（）

A． 168（1+a%）2=128 B． 168（1﹣a%）2=128 C． 168（1﹣2a%）=128 D．168（1+2a%）=128

8．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（）

A． ﹣8 B． 32 C． 16 D． 40

9．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）

A． y=x2﹣1 B． y=x2+1 C． y=（x﹣1）2 D． y=（x+1）2

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：

x ﹣1 0 1 2 3

y 5 1 ﹣1 ﹣1 1

则该二次函数图象的对称轴为（）

A． y轴 B． 直线x= C． 直线x=2 D． 直线x=

11．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2023的值为（）

A． 2023 B． 2023 C． 2023 D． 2023

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：

①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．

其中正确的有（）

A． ①②③ B． ②④ C． ②⑤ D． ②③⑤

二、细心填一填，试试自己的身手（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．若x2=2，则x=．

14．x如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．

15．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3=0的根是．

16．已知一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两根之和为6，两根之积为﹣8，则此方程为．

17．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是．

18．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；

将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；

将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；

…

如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=．

三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7小题，满分66分，解答应写在答题卡上）

19．按要求解一元二次方 程：

（1）2x2﹣3x+1=0（配方法）

（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）

20．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是．

21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

22．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3=y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

23．如图，在线段 AB上有一点C，若AC：CB=CB：AB，则称点C为AB的黄金分割点，现已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），求BC的长．

24．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．

小明做了如下操作：

将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：

（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；

（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．

25．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，k的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

湖北省2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、精心选一选，相信自己的判断（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）．在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．

故选C．

点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．（3分）（20 14秋?安陆市期中）一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）

A． x=2 B． x=0 C． x1=﹣2，x2=0 D． x1=2，x2=0

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

专题： 计算题．

分析： 方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

解答： 解：分解因式得：x（x﹣2）=0，

可得x=0或x﹣2=0，

解得：x1=2，x2=0．

故选D．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

3．已知x=2是方程（3x﹣m）（x+3）=0的一个根，则m的值为（）

A． 6 B． ﹣6 C． 2 D． ﹣2

考点： 一元二次方程的解．

分析： 将x的值代入已知的方程即可求得未知数m的值．

解答： 解：∵x=2是方程（3x﹣m）（x+3）=0的一个根，

∴（3×2﹣m）（2+3）=0，

解得：m=6，

故选A．

点评： 本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．

4． 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）

A． m≥﹣2 B． m≥5 C． m≥0 D． m＞4

考点：抛物线与x轴的交点．

专题： 数形结合．

分析： 根据题意利用图象直接得出m的取值范围即可．

解答： 解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，

可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，

可见，m≥﹣2，

故选：A．

点评： 此题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合得出是解题关键．

5．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A（4，2），则点A1的坐标是（）

A． （4，﹣2） B． （﹣4，﹣2） C． （﹣2，﹣3） D． （﹣2，﹣4）

考点： 关于原点对称的点的坐标．

专题： 几何图形问题．

分 析： 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．

解答： 解：∵A和A1关于原点对称，A（4，2），

∴点A1的坐标是（﹣4，﹣2），

故选：B．

点评： 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）

A． 2﹣ B． C． ﹣1 D． 1

考点： 旋转的性质．

分析： 连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解．

解答： 解：如图，连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，

∴AB=AB′，∠BAB′=60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∴AB=BB′，

在△ABC′和△B′BC′中，

，

∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），

∴∠ABC′=∠B′BC′，

延长BC′交AB′于D，

则BD⊥AB′，

∵∠C=90°，AC=BC= ，

∴AB= =2，

∴BD=2× = ，

C′D= ×2=1，

∴BC′=BD﹣C′D= ﹣1．

故选：C．

点评： 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．

7．中国银杏节某纪念品原价168元，连续两次降价a%后，售价为128元，下列所列方程中，正确的是（）

A． 168（1+a%）2=128 B． 168（1﹣a%）2=128 C． 168（1﹣2a%）=128 D． 168（1+2a%）=128

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 增长率问题．

分析： 本题可先用a表示第一次降价后纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．

解答： 解：当纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；

当纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．

所以168（1﹣a%）2=128．

故选B．

点评： 本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后纪念品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．

8．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（）

A． ﹣8 B． 32 C． 16 D． 40

考点： 根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析： 根据根与系数的关系得到α+β=﹣2，αβ=﹣6，再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．

解答： 解：根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6，

所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=16．

故选：C．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1?x2= ．

9．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）

A． y=x2﹣1 B． y=x2+1 C． y=（x﹣1）2 D． y=（x+1）2

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 几何变换．

分析： 先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

解答： 解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），

所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．

故选：C．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：

x ﹣1 0 1 2 3

y 5 1 ﹣1 ﹣1 1

则该二次函数图象的对称轴为（）

A． y轴 B． 直线x= C． 直线x=2 D． 直线x=

考点： 二次函数的性质．

专题： 图表型．

分析： 由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．

解答： 解：∵x=1和2时的函数值都是﹣1，

∴对称轴为直线x= = ．

故选：D．

点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．

11．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2023的值为（）

A． 2023 B． 2023 C． 2023 D． 2023

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2023，并求值．

解答： 解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），

∴m2﹣m﹣1=0，

解得 m2﹣m=1．

∴m2﹣m+2023=1+2023=2023．

故选：D．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：

①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．

其中正确的有（）

A． ①②③ B． ②④ C． ②⑤ D． ②③⑤

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 数形结合．

分析： 根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣ =1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣ ，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．

解答： 解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴为直线x=﹣ =1，

∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线对称轴为直线x=1，

∴函数的最大值为a+b+c，

∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧

∴当x=﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以④错误；

∵ax12+bx1=ax22+bx2，

∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，

∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，

∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，

而x1≠x2，

∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣ ，

∵b=﹣2a，

∴x1+x2=2，所以⑤正确．

故选：D．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、细心填一填，试试自己的身手（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．若x2=2，则x=± ．

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．

分析： 直接开平方即可求解．

解答： 解：直接开平方得：x=± ．

故答案为：± ．

点评： 此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解题的关键是符合直接开平方的形式．

14．（3分）（2023?益阳）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是60°．

考点：旋转的性质；等边三角形的性质．

专题：计算题．

分析： 根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．

解答： 解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，

∴旋转角为60°，E，F是对应点，

则∠EAF的度数为：60°．

故答案为：60°．

点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．

15．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3=0的根是x1=﹣1，x2=3．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 利用二次函数图象与x轴交点即为y=0时，x的值，进而得出一元二次方程的根．

解答： 解：∵二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），

∴一元二次方程ax2+bx+3=0的根是：x1=﹣1，x2=3．

故答案为：x1=﹣1，x2=3．

点评： 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用y=0时求出x的值是解题关键．

16．已知一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两根之和为6，两根之积为﹣8，则此方程为x2﹣6x﹣8=0．

考点： 根与系数的关系．

分析： 根据两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数，直接写出一个方程即可，答案不唯一．

解答： 解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为6和﹣8，且二次项系数为1

∴这样的方程为x2﹣6x﹣8=0，

故答案为：x2﹣6x﹣8=0．

点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积是解题的关键．

17．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是（1，0）．

考点： 坐标与图形变化-旋转．

专题： 数形结合．

分析： 先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标．

解答： 解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，点B的对应点B′的坐标为（1，0）．

故答案为：（1，0）．

点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

18．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；

将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；

将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；

…

如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=2．

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 压轴题．

分析： 根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．

解答： 解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），

∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），

∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；

将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；

…

如此进行下去，直至得C13．

∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，

∴C13的解析式为：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39），

当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．

故答案为：2．

点评： 此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．

三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共7小题，满分66分，解答应写在答题卡上）

19．按要求解一元二次方程：

（1）2x2﹣3x +1=0（配方法）

（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

分析： （1）首先将常数项移到等号的右侧，把二次项系数化为1，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

（2 ）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

解答： 解：（1）2x2﹣3x+1=0，

x2﹣ x=﹣ ，

x2﹣ x+ =﹣ + ，

（x﹣ ）2= ，

x﹣ =± ，

∴x1=1，x2= ；

（2）x（x﹣2）+x﹣2=0，

分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，

可得x﹣2=0或x+1=0，

解得：x1=2，x2=﹣1．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解的方法和配方的方法是解本题的关键．

20．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是90°．

考点： 作图-旋转变换．

专题： 作图题．

分析： 分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．

解答： 解：如图所示：旋转角度是90°．

故答案为：90°．

点评： 此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键．

21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 代数几何综合题．

分析： （1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

解答： 解：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．

22．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3=y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题．

分析： （1）写出顶点在原点，开口方向向上的两个二次函数解析式即可；

（2）先把A点坐标代入y1可计算出m=1，则y1=2x2﹣4x+3，y2=ax2+bx+7，y3= y1+y2=（a+2）2+（b﹣4）x+10，再求出y1的顶点坐标，根据新定义得到二次函数y3的顶点坐标为（1，1），利用二次函数图象上点的坐标特征和对称轴方程得a+2+b﹣4+10=1，﹣ =1，解得a=7，b=﹣14，则函数y2的表达式为y2=7x2﹣14x+7，然后根据二次函数的性质求当0≤x≤3时，y2的最大值．

解答： 解：（1）二次函数y=x2和y=2x2是“同簇二次函数”；

（2）把A（1，1）代入y1=2x2﹣4mx+2m2+1得2﹣4m+2m2+1=1，解得m=1，

则y1=2x2﹣4x+3，y2=ax2+bx+7，

所以y3=y1+y2=（a+2）2+（b﹣4）x+10，

而y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，即二次函数y1的顶点坐标为（1，1），

因为y3与y1为“同簇二次函数”，

所以二次函数y3的顶点坐标为（1，1），

则a+2+b﹣4+10=1，﹣ =1，解得a=7，b=﹣14，

所以函数y2的表达式为y2=7x2﹣14x+7，则抛物线y2的对称轴为直线x=﹣ =1，

当0≤x≤3时，x=3时，y2的值最大，最大值=7×9﹣14×3+7=28．

点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ．

23．如图，在线段AB上有一点C，若AC：CB=CB：AB，则称点C为AB的黄金分割点，现已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），求BC的长．

考点： 黄金分割．

分析： 根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC= AB，代入数据即可得出BC的值．

解答： 解：∵C为线段AB=1的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段，

∴BC= AB=1× = ．

点评： 本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＜BC），且使BC是AB和AC的比例中项（即AC：CB=CB：AB），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点．其中BC= AB是需要熟记的内容．

24．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．

小明做了如下操作：

将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：

（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；

（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．

考点： 旋转的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．

专题： 几何综合题．

分析： （1）根旋转的性质得AB=DF，BD=FA，由于AB=BD，所以AB=BD=DF=FA，则可根据菱形的判定方法得到四边形ABDF是菱形；

（2）由于四边形ABDF是菱形，则AB∥DF，且AB=DF，再根据旋转的性质易得四边形ABCE为平行四边形，根据平行四边形的性质得AB∥CE，且AB=CE，

所以CE∥FD，CE=FD，所以可判断四边形CDEF是平行四边形．

解答： （1）解：四边形ABDF是菱形．理由如下：

∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，

∴AB=DF，BD=FA，

∵AB=BD，

∴AB=BD=DF=FA，

∴四边形ABDF是菱形；

（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，

∴AB∥DF，且AB=DF，

∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，

∴AB=CE，BC=EA，

∴四边形ABCE为平行四边形，

∴AB∥CE，且AB=CE，

∴CE∥FD，CE=FD，

∴四边形CDEF是平行四边形．

点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的判定和菱形的判定．

25．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，k的 值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

考点： 二次函数综合题．

专题： 几何综合题．

分析： （1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；

（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；

（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．

解答： 解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，

∴A（1，0），B（0，3）．

又∵抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），

∴ ，解得 ，

故a，k的值分别为1，﹣1；

（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．

在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，

在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，

∵AQ=BQ，

∴1+m2=4+（3﹣m）2，

∴m=2，

∴Q点的坐标为（2，2）；

（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．

又∵对称轴x=2是AC的中垂线，

∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．

此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，

∴四边形AMCN为正方形．

在Rt△AFN中，AN= = ，即正方形的边 长为 ．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．