苏州市2023初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)

苏州市2023初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．程x2﹣5x=0的解是（）

A． x1=0，x2=﹣5 B． x=5 C． x1=0，x2=5 D． x=0

2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）

A． （x+2）2=1 B． （x﹣2）2=1 C． （x+2）2=9 D． （x﹣2）2=9

3．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12=0，则a2+b2的值为（）

A． ﹣3 B． 4 C． ﹣3或4 D． 3或﹣4

4．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A． k＜﹣2 B． k＜2 C． k＞2 D． k＜2且k≠1

5．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）

A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个

6．若m是方程x2﹣2023x﹣1=0的根，则（m2﹣2023m+3）（m2﹣2023m+4）的值为（）

A． 16 B． 12 C． 20 D． 30

7．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）

A． B． C． D．

8．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）

A． 135° B． 122.5° C． 115.5° D． 112.5°

9．圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）

A． 4 B． 8 C． 12 D． 16

10．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）

A． 6 cm B． 12cm C． 6 cm D． 4 cm

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是．

12．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．

13．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为．

14．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=．

15．如图，在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为cm．

16．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（度）．

17．已圆的半径为r=5，圆心到直线l的距离为d，当d满足时，直线l与圆有公共点．

18．已等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则它的外接圆半径等于．

三、解答题（共9小题，满分76分）

19．解方程

（1）（x﹣3）（x+7）=﹣9

（2）x2﹣3x﹣10=0

（3）6x2﹣x﹣2=0．

（4）（x+3）（x﹣3）=3．

20．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，求实数a的取值范围．

21．若a，b，c分别是三角形的三边，判断方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况．

22．如图，以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：

（1）∠AOC=∠BOD； （2）AC=BD．

23．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，D为垂足， 求证：∠ACD=∠BCE．

24．已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+ ﹣ =0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？

25．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5 cm，求⊙O的半径R．

26．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5 辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）

27．如图，点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC的 外接圆于点E．

①求证：IE=BE；

②线段IE是哪两条线段的比例中项，试加以证明．

苏州市2023初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．程x2﹣5x=0的解是（）

A． x1=0， x2=﹣5 B． x=5 C． x1=0，x2=5 D． x=0

考点：解一元二次方程-因式分解法．

专题： 压轴题．

分析： 在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法．

解答： 解：直接因式分解得x（x﹣5）=0，

解得x1=0，x2=5．

故选：C．

点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

2．（3分）（2023? 临沂）用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）

A． （x+2）2=1 B． （x﹣2）2=1 C． （x+2）2=9 D． （x﹣2）2=9

考点： 解一元二次方程-配方法．

专题： 配方法．

分析： 配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

解答： 解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．

点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．

3．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12=0，则a2+b2的值为（）

A． ﹣3 B． 4 C． ﹣3或4 D． 3或﹣4

考点： 换元法解一元二次方程．

分析： 根据换元法，可得一元二次方程，根据因式分解，可得方程的解．

解答： 解：设a2+b2=x，原方程为

x2﹣x﹣12=0．因式分解，得

（x﹣4）（x+3）=0．

x﹣4=0或x+3=0，

解得x=4，x=﹣3（不符合题意，要舍去），

a2+b2=x=4，

故选：B．

点评： 本题考查了换元法解一元二次方程，换元是解题关键，注意不符合题意的要舍去．

4．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A． k＜﹣2 B． k＜2 C． k＞2 D． k＜2且k≠1

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答： 解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，

解得：k＜2，且k≠1．

故选：D．

点评： 此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．

5．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）

A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 应用题．

分析： 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数= ．即可列方程求解．

解答： 解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，

x（x﹣1）÷2=21，

解得x=7或﹣6（舍去）．

故应邀请7个球队参加比赛．

故选C．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

6．若m是方程x2﹣2023x﹣1=0的根，则（m2﹣2023m+3）（m2﹣2023m+4）的值为（）

A． 16 B． 12 C． 20 D． 30

考点： 一元二次方程的解．

分析： 首先把m代入x2﹣2023x﹣1=0，得出m2﹣2023m=1，再进一步整体代入求得数值即可．

解答： 解：∵m是方程x2﹣2023x﹣1=0的根，

∴m2﹣2023m=1，

∴（m2﹣2023m+3）（m2﹣2023m+4）

=（1+3）×（1+4）

=20．

故选：C．

点评：此题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意整体代入的思想．

7．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）

A． B． C． D．

考点： 垂径定理；勾股定理．

分析： 根据垂径定理可得AC=BC= AB，在Rt△OBC中可求出OB．

解答： 解：∵OC⊥弦AB于点C，

∴AC=BC= AB，

在Rt△OBC中，OB= = ．

故选B．

点评： 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．

8．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）

A． 135° B． 122.5° C． 115.5° D．112.5°

考点： 圆周角定理．

分析： 首先利用等腰三角形的性质求得∠AOB的度数，然后利用圆周角定理即可求解．

解答： 解：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=22.5°，

∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．

∴∠C= （360°﹣135°）=112.5°．

故选D．

点评： 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键．

9．圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）

A． 4 B． 8 C． 12 D． 16

考点： 切线长定理．

分析： 直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．

解答： 解：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，

∴梯形对边和为：8+8=16，

则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．

故选：D．

点评： 此题主要考查了切线长定理，利用圆外切四边形的性质得出是解题关键．

10．如 图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）

A． 6 cm B． 12cm C． 6 cm D． 4 cm

考点： 正多边形和圆．

分析： 根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．

解答： 解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，

∴∠AOB=∠BOC=60°，

∴OA=OB=AB=OC=BC，

∴四边形ABCO是菱形，

∵AB=6cm，∠AOB=60°，

∴cos∠BAC= ，

∴AM=6× =3 （cm），

∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，

∴AM=MC= AC，

∴AC=2AM=6 （cm）．

故选C．

点评： 本题考查了正多边形和圆的知识．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是2．

考点： 根的判别式．

专题： 计算题．

分析： 根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．

解答： 解：根据题意得：△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0，

则b的值为2．

故答案为：2

点评： 此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

12．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 几何图形问题．

分析： 设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．

解答： 解：设道路的宽为xm，由题意得：

（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，

故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．

13．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 增长率问题．

分析： 解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．

解答： 解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，

125（1﹣x）2=80，

解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；

故答案为：20%

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．

14．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=9．

考点： 根与系数的关系．

分析： 根据x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子变形为αβ+3（α+β）+9，最后把α+β和αβ的值代入，计算即可．

解答： 解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，

∴α+β=1，αβ=﹣3，

∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9；

故答案为：9．

点评： 此题考 查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

15．如图，在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为8cm．

考点： 切线的性质．

分析： 本题应根据垂径定理和勾股定理求解．

解答： 解：大圆的弦AB与小圆相切于点C，

∴OC⊥AB，

由垂径定理知，AC=BC，

由勾股定理得，AC=4，

∴AB=2AC=8．

点评： 本题利用了切线的性质，垂径定理，勾股定理求解．

16．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为55（度）．

考点： 切线的性质．

分析： 首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．

解答： 解：连接OA，OB，

∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

即∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，

∴∠C= ∠AOB=55°．

故答案为：55．

点评： 此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

17．已圆的半径为r=5，圆心到直线l的距离为d，当d满足0≤d≤5时，直线l与圆有公共点．

考点： 直线与圆的位置关系．

分析： 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离．

解答： 解：根据题意，可知圆的半径为5．

∵直线l与圆有公共点，∴直线与圆相交或相切，∴d满足0≤d≤5，

故答案为：0≤d≤5．

点评： 主要考查了直线与圆的位置关系与数量之间的联系以及直线和圆的位置关系的概念，难度不大．

18．已等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则它的外接圆半径等于 ．

考点： 三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．

专题： 计算题．

分析： 如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD= BC=6，则AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论得点O在AD上；连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=8，在Rt△OBD中，再利用勾股定理得到（8﹣r）2+62=r2，然后解方程即可得到外接圆半径．

解答： 解：如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，

作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，

∴BD=CD= BC=6，

∴AD垂直平分BC，

∴点O在AD上，

连结OB，设⊙O的半径为r，

在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=6，

∴AD= =8，

在Rt△OBD中，OD=AD﹣OA=8﹣r，OB=r，

∵OD2+BD2=OB2，

∴（8﹣r）2+62=r2，解得r= ，

即它的外接圆半径等于 ．

故答案为 ．

点评： 本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理、勾股定理和等腰三角形的性质．

三、解答题（共9小题，满分76分）

19．解方程

（1）（x﹣3）（x+7）=﹣9

（2）x2﹣3x﹣10=0

（3）6x2﹣x﹣2=0．

（4）（x+3）（x﹣3）=3．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．

分析： （1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（4）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

解答： 解：（1）整理得：x2+4x﹣12=0，

（x+6）（x﹣2）=0，

x+6=0，x﹣2=0，

x1=﹣6，x2=2；

（2）x2﹣3x﹣10=0，

（x﹣5）（x+2）=0，

x﹣5=0，x+2=0，

x1=5，x2=﹣2；

（3）6x2﹣x﹣2=0，

（3x+1）（x﹣2）=0，

3x+1=0，x﹣2=0，

x1=﹣ ，x2=2；

（4）整理得：x2=12，

x=±2 ，

x1=2 ，x2=﹣2 ．

点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

20．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，求实数a的取值范围．

考点： 根的判别式；一元一次方程的解．

分析： 当a=0时，此方程是一元一次方程；当a≠0时，此方程是一元二次方程．根据方程有实数解可知△≥0，求出a的取值范围即可．

解答： 解：当a=0时，此方程是一元一次方程，故方程有解；

当a≠0时，此方程是一元二次方程．

∵方程有实数解，

∴△=[2（a+2）]2﹣4a2≥0，

解得a≥﹣1．

点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．

21．若a，b，c分别是三角形的三边，判断方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况．

考点： 根的判别式；三角形三边关系．

分析： 先求出△=b2﹣4ac的值，再根据三角形的三边关系分别进行判断，即可得出答案．

解答： 解：△=（2c）2﹣4（a+b）（a+b）=4c2﹣4（a+b）2= 4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．

∵a，b，c分别是三角形的三边，

∴a+b＞c．

∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，

∴△＜0，

∴方程没有实数根．

点评： 本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．

22．如图，以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：

（1）∠AOC=∠BOD； （2）AC=BD．

考点： 垂径定理．

专题： 证明题．

分析： （1）过O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知∠AOE=∠BOE，∠COE=∠DOE，由此可得出结论；

（2）根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD．

解答： （1）证明：过O作OE⊥AB，

∵∠OAB与△OCD均为等腰三角形，

∴∠AOE=∠BOE，∠COE=∠DOE，

∴∠AOE﹣∠COE=∠BOE﹣∠DOE，∠AOC﹣∠BOD；

（2）证明：∵OE⊥AB，

∴AE=BE，CE=DE，

∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD．

点评： 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

23．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，D为垂足，求证：∠ACD=∠BCE．

考点： 圆周角定理．

专题： 证明题．

分析： 首先连接BE，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠ACD=90°，根据圆周角定理可得∠E+∠ECB=90°，∠A=∠E，进而可证明∠ACD=∠BCE．

解答： 证明：连接EB，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∵CE是⊙O的直径，

∴∠CBE=90°，

∴∠E+∠ECB=90°，

∵∠A=∠E，

∴∠ACD=∠BCE．

点评： 此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆 周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

24．已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+ ﹣ =0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？

考点： 一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质．

专题： 应用题；压轴题．

分析： （1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；

（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．

解答： 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴△=0，即m2﹣4（ ﹣ ）=0，

整理得：（m﹣1）2=0，

解得m=1，

当m=1时，原方程为x2﹣x+ =0，

解得：x1=x2=0.5，

故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；

（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，

把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，

∴C?ABCD=2×（2+0.5）=5．

点评： 综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利 用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．

25．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边， CD=5 cm，求⊙O的半径R．

考点： 正多边形和圆．

分析： 首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．

解答： 解：连接OB，OC，OD，

∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，

∴∠BOC= ×360°=120°，∠BOD= ×360°=30°，

∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，

∵OC=OD，

∴∠OCD=45°，

∴OC=CD?cos45°=5 × =5（cm）．

即⊙O的半径R=5cm．

点评： 此题考查了正多边形与圆以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

26．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）

考点： 一元二次方程的应用；分段函数．

专题： 销售问题．

分析： （1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；

（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．

解答： 解：（1）由题意，得

当0＜x≤5时

y=30．

当5＜x≤30时，

y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．

∴y= ；

（2）当0＜x≤5时，

（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，

当5＜x≤30时，

[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，

解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．

答：该月需售出10辆汽车．

点评： 本题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解析式是关键．

27．如图，点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于点E．

①求证：IE=BE；

②线段IE是哪两条线段的比例中项，试加以证明．

考点： 三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质．

专题： 综合题；压轴题．

分析： ①连接BI，证∠BIE=∠IBE即可；∠IBE=∠4+∠5，∠BIE=∠2+∠3；观察上述两个式子：I是△ABC的内心，则∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BIE=∠IBE，由此得证；

②由①知：IE=BE，即证BE是哪两条线段的比例中项，可通过找以BE为公共边的相似三角形；由①证得∠5=∠2，易证得△BDE∽△ABE，由此可得出所求的结论．

解答： ①证明：连接BI．

∵I是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4；

∵∠BIE=∠3+∠2，∠EBI=∠4+∠5，且∠5=∠ 1，

∴∠BIE=∠EBI；

∴IE=BE；

②解：考虑有公共边公共角的相似三角形及IE=BE，知：IE是DE和AE的比例中项．

证明如下：

∵∠5=∠1，∠1=∠2；

∴∠5=∠2；

又∵∠E=∠E，

∴△BED∽△AEB；

∴BE：DE=AE：BE；

∴BE2=AE?DE；

又∵IE=BE，

∴IE2=AE?DE．

点评： 此题主要考查了三角形内心的性质、圆周角定理及相似三角形的判定和性质．