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2023初三数学上学期期中二次函数测试题(含答案解析) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.已知二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代 数式1－a－b的值为（ ） A．－3 B．－1C．2D．5 2.下列函数解析式中，一定为二次函数的是() A.y=3x-1 B.y=a +bx+c C.s=2 -2t+1D.y= 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. ＜0， ＞0 C. ＜0， ＜0 D. ＞0， ＜0 4. 设二次函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，若函数 的图象与 轴仅有一个交点，则（ ） A.B.C.D. 5.将二次函数 化为 的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线 轴交点的纵坐标为（） A.-3 B.-4 C.-5 Ｄ.-1 7.已知二次函数 ，当 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当 取 时，函数值为（） A.B. C. D.c 8.已知二次函数 ，当 取任意实数时，都有 ，则 的取值范围是（ ） A． B．C． D． 9. 二次函数y= +x+c的图象与x轴有两个交点A（ ，0），A（ ，0），且 ，点P(m，n)是图象上一点，那么下列判断正确的是（） A.当n 0时，m 0B.当n 时，m＞ C.当n 0时，D.当n 时，m＞ 10. 如图为二次函数 +bx+c（a≠0）的图象，则下列说法:①a0；②2a+b=0；③a+b+c0；④当-13时，y0.其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.在平面直角坐标系 中，直线 为常数）与抛物线 交于 两点，且 点在 轴左侧， 点的坐标为（0，－4），连接 ， .有以下说法： ① ；②当 时， 的值随 的增大而增大； ③当 － 时， ；④△ 面积的最小值为4 .其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号） 12.把抛物线 的图象先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得图象的解析式是 则 . 13.已知抛物线 的顶点为 则 ， . 14.如果函数 是二次函数，那么k的值一定是 . 15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是y=60x 1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行m才能停下来. 16.二次函数 的图象是由函数 的图象先向 （左、右）平移 个单位长度，再向 （上、下）平移 个单位长度得到的. 17.如图，已知抛物线 经过点（0，－3），请你确定一个 的值，使该抛物线与 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的 的值是 ． 18.如图所示，已知二次函数 的图象经过（-1，0）和（0，-1）两点，则化简代数式 = . 三、解答题（共46分） 19.（6分）已知抛物线的顶点为 ，与y轴的交点为 求抛物线的解析式. 20.（6分）已知抛物线的解析式为 (1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，求m的值. 21.（8分）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为 （单位：米），现以 所在直线为 轴，以抛物线的对称轴为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为 .已知 米，设抛物线解析式为 . （1）求 的值； （2）点 （-1， ）是抛物线上一点，点 关于原点 的对称点为 ，连接 ， ， ，求△ 的面积. 22.（8分）已知：关于 的方程 (1)当 取何值时，二次函数 的对称轴是直线 ； (2)求证： 取任何实数时，方程 总有实数根. 23.（8分）如图，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a，m是常数，且a0，m0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE． (1)用含m的代数式表示a. (2)求证： 为定值. (3)设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 24. （10分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为 （米），与桌面的高度为 （米），运行时间为 （秒），经多次测试后，得到如下部分数据： （秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … （米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 … （米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … （1）当 为何值时，乒乓球达到最大高度？ （2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后， 与 满足 . ①用含 的代数式表示 ； ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求 的值. 2023初三数学上学期期中二次函数测试题(含答案解析)参考答案及评分标准 1.B 解析：把点（1，1）的坐标代入 ，得 2 .C 解析：选项A是一次函数；选项B当a=0，b≠0时是一次函数，当a≠0时是二次函数，所以选项B不一定是二次函数；选项C一定是二次函数；选项D不是二次函数. 3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为， ∴ 这条抛物线的顶点坐标为. 观察函数的图象发现它的顶点在第一象限， ∴ . 4. B 解析：∵ 一次函数=dx+e（d≠0）的图象经过点（）， ∴ dx1+e=0， ∴ e=-dx1，∴ =d（x-）. ∵ y=y2+ y 1， ∴ y =a（x- x1）（x-x2）+d（x-x1）=（x-x1）. 又∵ 二次函数的图象与一次函数=dx+e（d≠0）的图象只有一个交点（）， 函数y=y2+y1的图象与x轴仅有一个交点， ∴ 函数y=y2+y1是二次函数，且它的顶点是（），∴ 设y=a， ∴ （x-x1）= a. ∵ x1≠x2，∴ = a（x- x 1）. 令x=x1， 则= a（x1-x1）， ∴ =0， 即 .故选B. 5. D 解析： . 6.C 解析：令，得 7.D 解析：由题意可知所以 所以当 8.B 解析：因为当取任意实数时，都有，又二次函数的图象开口向上，所以图象与轴没有交点，所以 9. C 解析：如图，抛物线y=+x+c的对称轴是直线x=，当n 0时，点P位于x轴下方，m可能小于0，也可能大于0，但是，故选项A错误，选项C正确；当n时，点P位于x轴上方，此时m＜或m＞，故选项B，D错误. 10. C 解析：根据函数图象开口向下可得a＜0，所以①错误；当-1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；因为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），所以对称轴为直线x=1，所以-=1，因此2a +b=0，所以②正确；当x=1时，y=a+b+c＞0，所以③正确.所以②③④正确. 11.③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用. 设点A的坐标为（），点B的坐标为（）. 不妨设，解方程组 得 ∴ (，-），B（3，1）. 此时，∴ . 而=16，∴ ≠，∴ 结论①错误. 当=时，求出A(-1，-)，B（6，10）， 此时()(2)=16. 由①时， ()()=16. 比较两个结果发现的值相等.∴ 结论②错误. 当-时，解方程组得出A（-2，2），B（，-1）， 求出12，2，6， ∴ ，即结论③正确. 把方程组消去y得方程， ∴ . ∵ =?||OP?||=×4×|| =2=2， ∴ 当时，有最小值4，即结论④正确. 12.11 解析： 把它向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得 即 ∴ ∴ ∴ 13.-1 解析： 故 14. 0 解析：根据二次函数的定义，得，解得. 又∵ ，∴ ． ∴ 当时，这个函数是二次函数． 15. 600 解析:y=60x 1.5x2= 1.5（x 20）2+600，当x=20时，y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m才能停下来. 16.左 3 下 2 解析：抛物线是由先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的. 17.（答案不唯一） 解析：由题意可知要想抛物线与轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，只需异号即可，所以 18. 解析：把（-1，0）和（0，-1）两点坐标分别代入中，得 ，， ∴ . 由图象可知，抛物线对称轴，且， ∴，∴ . ∴ =，故本题答案为． 19.解:∵ 抛物线的顶点为 ∴ 设其解析式为① 将点的坐标代入①得∴ 故所求抛物线的解析式为即 20.(1)证明：∵ ∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根. ∴ 抛物线与轴必有两个不同的交点. (2)解:令则解得 21.分析：（1）求出点A或点B的坐标，将其代入，即可求出a的值； （2）把点代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用求△BCD的面积. 解：（1）∵ ，由抛物线的对称性可知， ∴ （4，0）.∴ 0＝16a-4.∴ a. （2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F. 第21题图 ∵ a=，∴ -4.当-1时，m=×-4=-，∴ C（-1，-）. ∵ 点C关于原点O的对称点为D， ∴ D（1，）.∴ . ∴ ×4×+×4×=15. ∴ △BCD的面积为15平方米. 点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解. 22.(1)解：∵ 二次函数的对称轴是直线， ∴，解得 经检验是原方程的解. 故时，二次函数的对称轴是直线. （2）证明：①当时，原方程变为，方程的解为； ②当时，原方程为一元二次方程，， 当?方程总有实数根，∴ 整理，得 即 ∵ 时，总成立. ∴ 取任何实数时，方程总有实数根. 23.（1）解：将点C（0，－3）的坐标代入二次函数y=a（x2－2mx－3m2）， 则－3=a（0－0－3m2）， 解得 a= . （2）证明：如图， 过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N． 由a（x2－2mx－3m2）=0， 解得 x1=－m，x2=3m， ∴ A（－m，0），B（3m，0）． ∵ CD∥AB， ∴ 点D的坐标为（2m，－3）． ∵ AB平分∠DAE， ∴∠DAM=∠EAN. ∵ ∠DMA=∠ENA=90°， ∴ △ADM∽△AEN． ∴ . 设点E的坐标为 ， ∴ = ， ∴ x=4m，∴ E（4m，5）. ∵ AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m， ∴ ，即为定值． （3）解：如图所示， 记二次函数图象的顶点为点F，则点F的坐标为（m，－4）， 过点F作FH⊥x轴于点H． 连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G． ∵ tan∠CGO= ，tan∠FGH= ，∴ = ， ∴ OG=3m． 此时，GF= = =4 ， AD= = =3 ，∴ = ． 由（2）得 = ，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5， ∴ 以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形， 此时点G的横坐标为 3m． 24. 解：以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向，建立平面直角坐标系. (1)由表格中的数据，可得当t为0.4时，乒乓球达到最大高度. (2)由表格中的数据，可画出y关于x的图象，根据图象的形状，可判断y是x的二次函数. 可设y=a+0.45. 将(0，0.25)代入，可得a=-，∴ y=-+0.45. 当y=0时，=，=-(舍去)，即乒乓球与端点A的水平距离是米. (3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为(). 代入y=a得a+k=0，化简整理，得k=- ②由题意可知，扣杀路线在直线y=上.由①，得y= aa. 令a，整理，得20a-(120a+2)x+175a=0. 当Δ＝-4×20a×175a=0时，符合题意. 解方程，得=，=. 当=时，求得x=-，不符合题意，舍去. 当=时，求得x=，符合题意. 答：当a=时，能恰好将球扣杀到点A. | 
