天津一中2023初三数学上学期前阵子试卷(含答案解析)

天津一中2023初三数学上学期前阵子试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 8

2．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

A． k＞﹣1 B． k＜1且k≠0 C． k≥﹣1且k≠0 D． k＞﹣1且k≠0

3．（3分）抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）

A． （3，1） B． （3，﹣1） C． （﹣3，1） D． （﹣3，﹣1）

4．（3分）已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）

A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=1，x2= 2 C． x1=1，x2=0 D． x1=1，x2=3

5．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）

A． y=（x﹣2）2 B． y=（x﹣2）2+6 C． y=x2+6 D． y=x2

6．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）

A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196

C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196

7．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）

A． ﹣10 B． 4 C． ﹣4 D． 10

8．（3分）已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（）

A． 当k=0时，方程无解

B． 当k=1时，方程有一个实数解

C． 当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解

D． 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

9．（3分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）

A． B． C． D．

10．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）

A． a＞0 B． b2﹣4ac≥0

C． x1＜x0＜x2 D． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0

11．（3分）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：

①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．

其中正确的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

12．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）

A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．（3分）方程x2﹣2x﹣2=0的解是．

14．（3分）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是．

15．（3分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3 x+8=0，则△ABC的周长是．

16．（3分）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=．

17．（3分）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=．

18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：

①PO2=PA?PB；

②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；

③当k= 时，BP2=BO?BA；

④△PAB面积的最小值为 ．

其中正确的是．（写出所有正确说法的序号）

三、解答题（共66分）

19．（9分）解下列关于x的一元二次方程

（1）x2﹣10x+9=0

（2）x2﹣3x﹣1=0．

20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

21．（9分）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积为1.44m2？（设窗框宽为xm ）

22．（9分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利2023元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

23．（10分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．

24．（10分） 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣ ），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经 过三点A、B、O（O为原点）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．

（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；

（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；

（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

天津一中2023初三数学上学期前阵子试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 8

考点： 根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析： 利用根与系数的关系来求方程的另一根．

解答： 解：设方程的另一根为α，则α+2=6，

解得α=4．

故选C．

点评： 本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

2．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

A． k＞﹣1 B． k＜1且k≠0 C． k≥﹣1且k≠0 D． k＞﹣1且k≠0

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

专题： 计算题．

分析： 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．

解答： 解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0，

解得：k＞﹣1且k≠0．

故选D

点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

3．（3分）抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）

A． （3，1） B． （3，﹣1） C． （﹣3，1） D． （﹣3，﹣1）

考点： 二次函数的性质．

分析： 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．

解答： 解：由y=3（x+3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，1），

故选C．

点评： 考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

4．（3分）已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）

A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=1，x2=2 C． x1=1，x2=0 D． x1=1，x2=3

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 关于x的一元二次方程x2﹣3x +m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．

解答： 解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），

∴该抛物线的对称轴是：x= ．

又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），

∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），

∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．

故选B．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根．

5．（3分）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）

A． y=（x﹣2）2 B． y=（x﹣2）2+6 C． y=x2+6 D． y=x2

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．

解答： 解：将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x﹣1+1）2+3，即y=x2+3；

再向下平移3个单位为：y=x2+3﹣3，即y=x2．

故选D．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

6．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）

A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196

C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 增长率问题．

分析： 主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．

解答： 解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，

∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．

故选C．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

7．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）

A． ﹣10 B． 4 C． ﹣4 D． 10

考点： 根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析： 利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值．

解答： 解：根据题意得：m+n=3，mn=a，

∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，

∴a﹣3+1=﹣6，

解得：a=﹣4．

故选C

点评： 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

8．（3分）已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（）

A． 当k=0时，方程无解

B． 当k=1时，方程有一个实数解

C． 当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解

D． 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

考点： 根的判别式；一元一次方程的解．

分析： 利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可．

解答： 解：关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，

A、当k=0时，x﹣1=0，则x=1，故此选项错误；

B、当k=1时，x2﹣1=0方程有两个实数解，故此选项错误；

C、当k=﹣1时，﹣x2+2x﹣1=0，则（x﹣1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；

D、由C得此选项错误．

故选：C．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判断方程根的情况是解题关键．

9．（3分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象．

专题： 压轴题．

分析： 分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．

解答： 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位/秒，则：

（1）当点P在A→B段运动时，PB=1﹣t，S=π（1﹣t）2（0≤t＜1）；

（2）当点P在B→A段运动时，PB=t﹣1，S=π（t﹣1）2（1≤t≤2）．

综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t﹣1）2（0≤t≤2），

这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．

故选B．

点评： 本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．

10．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）

A． a＞0 B． b2﹣4ac≥0

C． x1＜x0＜x2 D． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 压轴题．

分析： 根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．

解答： 解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；

B、∵x1＜x2，

∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；

C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，

若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；

D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，

所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，

∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．

故选：D．

点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．

11．（3分）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：

①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．

其中正确的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数的性质．

专题： 压轴题．

分析： 若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．

解答： 解：∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，

解得：x=0或x=2，

∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；

∴①错误；

∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；

∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；

∴②正确；

∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，

∴③正确；

∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；

当M=2，2x=2，x=1；

x＞2时，y2＞y1；

当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+ ，x2=2﹣ （舍去），

∴使得M=2的x值是1或2+ ，

∴④错误；

∴正确的有②③两个．

故选：B．

点评： 此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．

12．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）

A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题．

分析： 由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；

由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；

由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；

由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；

由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．

解答： 解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），

∴c=1，a﹣b+c=0．

①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣ ＞0，

∴a与b异号，∴ab＜0，正确；

②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，

∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；

④∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵ab＜0，∴b＞0．

∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，

∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，

∴0＜b＜1，正确；

③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，

∴a+b+c=2b＞0．

∵b＜1，c=1，a＜0，

∴a+b+c=a+b +1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，

∴0＜a+b+c＜2，正确；

⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，

由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；

综上所述，正确的结论有①②③④．

故选B．

点评： 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．（3分）方程x2﹣2x﹣2=0的解是x1= +1，x2=﹣ +1．

考点： 解一元二次方程-配方法．

分析： 首先把常数﹣2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．

解答： 解：x 2﹣2x﹣2=0，

移项得：x2﹣2x=2，

配方得：x2﹣2x+1=2+1，

（x﹣1）2=3，

两边直接开平方得：x﹣1= ，

则x1= +1，x2=﹣ +1．

故答案为：x1= +1，x2=﹣ +1．

点评： 此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

14．（3分）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是x＜1．

考点： 二次函数的性质．

分析： 抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．

解答： 解：∵a=﹣1＜0，

∴二次函数图象开口向下，

又对称轴是直线x=1，

∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．

故答案为：x＜1．

点评： 本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣ ，在对称轴左边，y随x的增大而增大．

15．（3分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3 x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10．

考点： 根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据题意得k≥0且（3 ）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，

所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．

解答： 解：根据题意得k≥0且（3 ）2﹣4×8≥0，

解得k≥ ，

∵整数k＜5，

∴k=4，

∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，

∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，

∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．

∴△ABC的周长为6或12或10．

故答案为：6或12或10．．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．

16．（3分）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=9．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣ 时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣ ﹣3，n），B（﹣ +3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣ ﹣3）2+b（﹣ ﹣3）+c=﹣ b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．

解答： 解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

∴当x=﹣ 时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．

又∵点A（m，n），B（m+6，n），

∴点A、B关于直线x=﹣ 对称，

∴A（﹣ ﹣3，n），B（﹣ +3，n）

将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣ ﹣3）2+b（﹣ ﹣3）+c=﹣ b2+c+9

∵b2=4c，

∴n=﹣ ×4c+c+9=9．

故答案是：9．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．

△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

17．（3分）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=3或﹣3．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

专题： 压轴题；新定义．

分析： 首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b= ，求出x1﹡x2的值即可．

解答： 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，

∴（x﹣3）（x﹣2）=0，

解得：x=3或2，

①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；

②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．

故答案为：3或﹣3．

点评： 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．

18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：

①PO2=PA?PB；

②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；

③当k= 时，BP2=BO?BA；

④△PAB面积的最小值为 ．

其中正确的是③④．（写出所有正确说法的序号）

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： 首先得到两个基本结论：

（I）设A（m，km），B（n，kn），联立两个解析式，由根与系数关系得到：m+n=3k，mn=﹣6；

（II）直线PA、PB关于y轴对称．

利用以上结论，解决本题：

（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；

（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）=16为定值，故错误；

（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2=BO?BA成立，故正确；

（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB=2 ，当k=0时，取得最小值为 ，故正确．

解答： 解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．

联立y= x2﹣2与y=kx得： x2﹣2=kx，即x2﹣3kx﹣6=0，

∴m+n=3k，mn=﹣6．

设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：

，解得a= ，b=﹣4，

∴y=（ ）x﹣4．

令y=0，得x= ，

∴直线PA与x轴的交点坐标为（ ，0）．

同理可得，直线PB的解析式为y=（ ）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（ ，0）．

∵ + = = =0，

∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．

（1）说法①错误．理由如下：

如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，

∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．

连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假设结论：PO2=PA?PB成立，即PO2=PA′?PB，

∴ ，

又∵∠BPO=∠BPO，

∴△POA′∽△PBO，

∴∠POA′=∠PBO，

∴∠AOP=∠PBO．

而∠AOP是△PBO的外角，

∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，

∴说法①错误．

（2）说法②错误．理由如下：

易知： =﹣ ，

∴OB=﹣ OA．

由对称可知，PO为△APB的角平分线，

∴ ，

∴PB=﹣ PA．

∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣ PA﹣（﹣ OA）]=﹣ （PA+AO）（PA﹣OA）=﹣ （PA2﹣AO2）．

如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+ km．

∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16，

∵m+n=3k，∴k= （m+n），

∴PA2﹣AO2=8? （m+n）?m+16= m2+ mn+16= m2+ ×（﹣6）+16= m2．

∴（PA+AO）（PB﹣BO）=﹣ （PA2﹣AO2）=﹣ ? m2=﹣ mn=﹣ ×（﹣6）=16．

即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．

（3）说法③正确．理由如下：

当k= 时，联立方程组： ，得A（ ，2），B（ ，﹣1），

∴BP2=12，BO?BA=2×6=12，

∴BP2=BO?BA，故说法③正确．

（4）说法④正确．理由如下：

S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP?（﹣m）+ OP?n= OP?（n﹣m）=2（n﹣m）=2 =2 ，

∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为 = ．

故说法④正确．

综上所述，正确的说法是：③④．

故答案为：③④．

点评： 本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解 决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．

三、解答题（共66分）

19．（9分）解下列关于x的一元二次方程

（1）x2﹣10x+9=0

（2）x2﹣3x﹣1=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．

分析： （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．

解答： 解：（1）x2﹣10x+9=0，

（x﹣1）（x﹣9）=0，

x﹣1=0，x﹣9=0，

x1=1，x2=9；

（2）x2﹣3x﹣1=0，

b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，

x= ，

x1= ，x2= ．

点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查了学生的计算能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．

20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

考点： 根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．

解答： （1）证明：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解为x= ，即x1=k，x2=k+1，

∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，

综合上述，k的值为5或4．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．

21．（9分）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成 长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积为1.44m2？（设窗框宽为xm ）

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： 设窗户的宽为x米，表示出窗户的长，然后利用矩形的面积公式列出方程求解即可．

解答： 解：设窗户的宽为x米，根据题意得：x? =1.44，

解得：x=0.8或x=1.2．

答：宽为0.8m、长为1.8m或长宽均为1.2m．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够表示出矩形的高，难度不大．

22．（9分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念 品共获利2023元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 销售问题．

分析： 根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．

解答： 解：

由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣]=2023，

即800+（4﹣x）﹣2=2023，

整理得：x2﹣2x+1=0，

解得：x1=x2=1，

∴10﹣1=9．

答：第二周的销售价格为9元．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．

23．（10分）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．

专题： 压轴题．

分析： （1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；

（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；

（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）， B（3，0），C（4，3），

∴ ，

解得 ，

所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；

（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），

∴PP′=1，

阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，

平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，

∴阴影部分的面积=2．

点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．

24．（10分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣ ），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；

（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；

（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＞0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．

解答： 解：（1）将A（﹣2，0），B（1，﹣ ），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a≠0），

可得： ，

解得： ，

故所求抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x；

（2）存在．理由如下：

如答图①所示，

∵y=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+1）2+ ，

∴抛物线的对称轴为x=﹣1．

∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO；

∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，

∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA，

△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，

∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．

设直线AB的解析式为y=kx+t，则有：

，解得： ，

∴直线AB的解析式为y=﹣ x﹣ ，

当x=﹣1时，y=﹣ ，

∴所求点C的坐标为（﹣1，﹣ ）；

（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＞0），

则y=﹣ x2﹣ x ①

如答图②所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=﹣x，PG=y，

由题意可得：S△PAB=S梯形AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP

= （AF+BE）?FE﹣ AF?FP﹣ PE?BE

= （y+ +y）（1+2）﹣ y?（2+x）﹣ （1﹣x）（ +y）

= y+ x+ ②

将①代入②得：S△PAB= （﹣ x2﹣ x）+ x+

=﹣ x2﹣ x+

=﹣ （x+ ）2+

∴当x=﹣ 时，△PAB的面积最大，最大值为 ，

此时y=﹣ × + × = ，

∴点P的坐标为（﹣ ， ）．

点评： 本题考查了坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题；解答本题（3）也可以将直线AB向上平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P的坐标．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．

（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；

（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；

（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；

（2）设A′D与x轴交于点Q，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DQ=OQ=x，则A′Q=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′Q中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可；

（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解．

解答： 解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，

将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入，

得 ，解得 ，

所以抛物线l的解析式为y=﹣x2+2mx+m；

（2）设A′D与x轴交于点Q，过点A′作A′N⊥x轴于点N．

∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，

∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，

∵矩形OABC中，AD∥OC，

∴∠ADO=∠DOQ，

∴∠A′DO=∠DOQ，

∴DQ=OQ．

设DQ=OQ=x，则A′Q=2m﹣x，

在Rt△OA′Q中，∵OA′2+A′Q2=OQ2，

∴m2+（2m﹣x）2=x2，

解得x= m．

∵S△OA′Q= OQ?A′N= OA′?A′Q，

∴A′N= = m，

∴ON= = m，

∴A′点坐标为（ m，﹣ m），

易求直线OA′的解析式为y=﹣ x，

当x=4m时，y=﹣ ×4m=﹣3m，

∴E点坐标为（4m，﹣3m）．

当x=4m时，﹣x2+2mx+m=﹣（4m）2+2m?4m+m=﹣8m2+m，

即抛物线l与直线CE的交点为（4m，﹣8 m2+m），

∵抛物线l与线段CE相交，

∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，

∵m＞0，

∴﹣3≤﹣8m+1≤0，

解得 ≤m≤ ；

（3）∵y=﹣x2+2mx+m=﹣（x﹣m）2+m2+m， ≤m≤ ，

∴当x=m时，y有最大值m2+m，

又∵m2+m=（m+ ）2﹣ ，

∴当 ≤m≤ 时，m2+m随m的增大而增大，

∴当m= 时，顶点P到达最高位置，m2+m=（ ）2+ = ，

故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（ ， ）．

点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系 数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定难度．（2）中求出A′点的坐标是解题的关键．