连云港市2023初三数学上册期中试卷(含答案解析)

连云港市2023初三数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题：（本题共8个小题，每题3分，共24分）（把选择题答案填写在下面的表格中）

1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是()

A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9

2．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是()

A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O 内 D．不能确定

3．如图，点A、D、G、M在半圆上 ，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是()

A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

4．如图，已知∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB=50°，则圆心角∠AOB是()

A．40° B．50° C．80° D．100°

5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是()

A．6 B．5 C．4 D．3

6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2023张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()

A．x（x+1）=2023 B．x（x﹣1）=2023×2 C．x（x﹣1）=2023 D．2x（x+1）=2023

7．设α、β是方程x2+x﹣2023=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为()

A．2023 B．2023 C．2023 D．2023

8．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()

A．点P B．点Q C．点R D．点M

二、填空题：（本题共9个小题，每题4分，共36分）（把填空题答案填下面相应的横线上）

9．方程 是一元二次方程，则m=__________．

10．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为__________度．

11．已知弧AB、CD是同圆的两段弧，且弧AB为弧CD的2倍，则弦AB与CD之间的关系为：AB__________2CD（填“＞”“﹦”或“＜”）

12．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是__________．

13．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__________．

14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=__________．

15．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为__________ 米．

16．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，﹣4）、C（2，﹣3）__________确定一个圆（填“能”或“不能”）．

17．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E从A点出发沿着A→B方向运动，连接EF、CE，则EF+CE最小值是__________．

三、解答题：（本题共8个小题，共计63分）

18．选用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣6x=7

（2）2x2﹣6x﹣1=0

（3）3x（x+2）=5（x+2）

19．如图，AB是⊙O的直径，AC=AB，⊙O交BC于D．DE⊥AC于E，DE是⊙O的切线吗？为什么？

20．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．

22．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利2023元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

23．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是 上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度不变的边？若存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；

（3）求：S△ODE﹣S△CDE的值．

24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．

（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC=x，请用x表示线段AD的长；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．

（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，

①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．

②G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG+HC的最小值，并将此最小值用x表示．

连云港市2023初三数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案

一、选择题：（本题共8个小题，每题3分，共24分）（把选择题答案填写在下面的表格中）

1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是()

A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9

考点：解一元二次方程-配方法．

分析：先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．

解答： 解：移项得：x2﹣4x=5，

配方得：x2﹣4x+22=5+22，

（x﹣2）2=9，

故选D．

点评：本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．

2．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A 与⊙O的位置关系是()

A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O 内 D．不能确定

考点：点与圆的位置关系．

分析：若半径为r，点到圆心的距离为d．当d＜r时，点在圆内．

解答： 解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，

∴d＜r，

∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，

故选：C．

点评：此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

3．如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是()

A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

考点：矩形的性质；圆的认识．

分析：连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的性质得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，即可得出a=b=c．

解答： 解：连接OA、OD、OM，如图所示：

则OA=OD=OM，

∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，

∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，

∴a=b=c；

故选：B．

点评：本题考查了矩形的性质、同圆的半径相等的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

4．如图，已知∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB=50°，则圆心角∠AOB是()

A．40° B．50° C．80° D．100°

考点：圆周角定理．

专题：压轴题．

分析：根据同弧所对圆心角是圆周角2倍，可得∠AOB=2∠ACB=100°．

解答： 解：∵∠ACB=50°，

∴∠AOB=2∠ACB=100°．

故选D．

点评：此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是()

A．6 B．5 C．4 D．3

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．

解答： 解：过O作OC⊥AB于C，

∵OC过O，

∴AC=BC= AB=12，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= =5．

故选：B．

点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．

6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2023张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()

A．x（x+1）=2023 B．x（x﹣1）=2023×2 C．x（x﹣1）=2023 D．2x（x+1）=2023

考点：由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：其他问题．

分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．

解答： 解：∵全班有x名同学，

∴每名同学要送出（x﹣1）张；

又∵是互送照片，

∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2023．

故选C．

点评：本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．

7．设α、β是方程x2+x﹣2023=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为()

A．2023 B．2023 C．2023 D．2023

考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．

分析：先根据一元二次方程的解的定义得到α2+α﹣2023=0，即α2+α=2023，则α2+2α+b可化为α2+α+α+β=2023+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=﹣2，再利用整体代入的方法计算即可．

解答： 解：∵α是方程x2 +x﹣2023=0的根，

∴α2+α﹣2023=0，即α2+α=2023，

∴α2+2α+β=α2+α+α+β=2023+α+β，

∵α，β是方程x2+x﹣2023=0的两个实数根，

∴α+β=﹣1，

∴α2+2α+β=2023﹣1=2023．

故选D．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了一元二次方程的解．

8．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B， C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()

A．点P B．点Q C．点R D．点M

考点：垂径定理．

分析：作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．

解答： 解：连结BC，

作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．

故选B．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

二、填空题：（本题共9个小题，每题4分，共36分）（把填空题答案填下面相应的横线上）

9．方程 是一元二次方程，则m=﹣2．

考点：一元二次方程的定义．

分析：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得m的取值范围．

解答： 解：∵关于x的方程 是一元二次方，

∴ ，

解得：m=﹣2．

故答案为：﹣2．

点评：本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．

10．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为90度．

考点：圆心角、弧、弦的关系．

分析：运用 同圆或等圆中圆心角、弧和所对弦的关系则可解．

解答： 解：∵一条弦把圆分成1：3两部分，

∴整个圆分为四等分，

则劣弧的度数为360°÷4=90°，

∴弦所对的圆心角为90°．

点评：本题考查了同圆或等圆中圆中圆心角、弧和所对弦的关系．

11．已知弧AB、CD是同圆的两段弧，且弧AB为弧CD的2倍，则弦AB与CD之间的关系为：AB＜2CD（填“＞”“﹦”或“＜”）

考点：圆心角、弧、弦的关系．

分析：先画图，再根据弧、弦、圆心角的关系得出∠AOB=2∠COD，取 的中点E，连接AE、BE，根据三角形的三边关系定理可得出AB＜AE+BE，从而得出AB＜2CD．

解答： 解：取 的中点E，连接AE、BE，

∴ = ，

∵ =2 ，

∴∠AOB=2∠COD，

∴ = = ，

∵AE+BE＞AB，

∴2CD＞AB，

∴AB＜2CD，

故答案为＜．

点评：本题考 查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，弧相等所对的圆心角相等，弦相等，还考查了三角形的三边关系定理．

12．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．

考点：根的判别式．

分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

（1）二次项系数不为零；

（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．

解答： 解：根据题意列出不等式组 ，

解之得a＜1且a≠0．

故答案为：a＜1且a≠0．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

13．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是10或8．

考点：三角形的外接圆与外心；勾股定理．

专题：探究型．

分析：直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．

解答： 解：由勾股定理可知：

①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；

②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= =20，

因此这个三角形的外接圆半径为10．

综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．

故答案为：10或8．

点评：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．

14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=3或﹣3．

考点：解一元二次方程-因式分解法．

专题：压轴题；新定义．

分析：首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b= ，求出x1﹡x2的值即可．

解答： 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，

∴（x﹣3）（x﹣2）=0，

解得：x=3或2，

①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；

②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．

故答案为：3或﹣3．

点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．

15．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为0.4米．

考点：垂径定理的应用；勾股定理．

专题：应用题．

分析：利用垂径定理，以及勾股定理即可求解．

解答： 解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．

则OD⊥AB．AC= AB=0.8m．

在直角△OAC中，OC= = =0.6m．

则水深CD=OD﹣OC=1﹣0.6=0.4m．

点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．

16．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，﹣4）、C（2，﹣3）能确定一个圆（填“能”或“不能”）．

考点：确定圆的条件．

专题：计算题．

分析：先设出过A，B两点函数的解析式，把A（3，0）、B（0，﹣4）代入即可求出其解析式，再把C（2，﹣3）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可．

解答： 解：设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b，

由A（3，0）、B（0，﹣4），

得 ，

解得 ．

∴经过A，B两点的直线解析式为y= x﹣4；

当x=2时y= x﹣4=﹣ ≠﹣3，

所以点C（2，﹣3）不在直线AB上，

即A，B，C三点不在同一直线上，

因为“两点确定一条直线”，

所以A，B，C三点可以确定一个圆．

故答案为能．

点评：本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，及三点能确定圆的条件．

17．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E从A点出发沿着A→B方向运动，连接EF、CE，则EF+CE最小值是 ．

考点：轴对称-最短路线问题；圆周角定理．

分析：作C关于AB的对称点D，连接AD，作F关于AB的对称点Z，连接BZ，CZ，CZ交AB于E，连接EF，过C作CH⊥ZB，交ZB的延 长线于H，求出BH，CH，在Rt△CZH中，根据勾股定理求出CZ，即可得出CE+EF的最小值．

解答： 如图作C关于AB的对称点D，连接AD，作F关于AB的对称点Z，连接BZ，CZ，CZ交AB于E，连接EF，

则此时CE+EF的值最小，过C作CH⊥ZB，交ZB的延长线于H，则Z在BD上，BF= BZ，EF=EZ

即CE+EF=CE+EZ=CZ，

∵F和Z关于AB对称，

∴∠FBE=∠ZBE=60°，

∴∠CBH=180°﹣60°﹣60°=60°，

∵在Rt△CHB中，BC=2，∠BCH=90°﹣60°=30°，

∴BH= BC=1，由勾股定理得：CH= ，

在Rt△CZH中，由勾股定理得：CZ= = ．

故答案为： ．

点评：本题考查了平面展开﹣最短路线问题，轴对称性质，含30度角的直角三角形，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．

三、解答题：（本题共8个小题，共计63分）

18．选用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣6x=7

（2）2x2﹣6x﹣1=0

（3）3x（x+2）=5（x+2）

考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．

专题：计算题．

分析：（1）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；

（2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；

（3）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．

解答： 解：（1）方程变形得：x2﹣6x﹣7=0，

分解因式得：（x﹣7）（x+1）=0，

解得：x1=7，x2=﹣1；

（2）这里a=2，b=﹣6，c=﹣1，

∵△=36+8=44，

∴x= = ；

（3）方程变形得：（3x﹣5）（x+2）=0，

解得：x1= ，x2=﹣2．

点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

19．如图，AB是⊙O的直径，AC=AB，⊙O交BC于D．DE⊥AC于E，DE是⊙O的切线吗？为什么？

考点：切线的判定．

专题：探究型．

分析：DE是⊙O的切线，接OD，只要证明OD⊥DE即可．

解答： 答：DE是⊙O的切线，理由如下：

证明：连接OD，

∵OD=OB，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠C=∠ODB，

∴OD∥AC，

∴∠ODE=∠DEC；

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°，

∴∠ODE=90°，

即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

20．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？

考点：圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．

分析：首先利用等腰三角形的性质得出∠DBC=∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD=∠DCB，再利用圆周角定理求出∠DAE与∠DAC相等．

解答： 解：∠DAE与∠DAC相等，

理由：∵DB=DC，

∠DBC=∠DCB，

∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，

∴∠EAD=∠DCB，

∴∠DBC=∠EAD，

又∵∠DAC=∠DBC，

∴∠DAE=∠DAC．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，得出∠DBC=∠EAD是解题关键．

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D．求 AD的长．

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长．

解答： 解：过点C作CE⊥AD于点E，

则AE=DE，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB= =5，

∵S△ABC= AC?BC= AB?CE，

∴CE= = = ，

∴AE= = ，

∴AD=2AE= ．

点评：此题考查了垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

22．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利2023元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

考点：一元二次方程的应用．

专题：销售问题．

分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．

解答： 解：由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣]=2023，

整理得：x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1（舍去），

∴10﹣3=7．

答：第二周的销售价格为7元．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．

23．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是 上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度不变的边？若存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；

（3）求：S△ODE﹣S△CDE的值．

考点：圆的综合题．

分析：（1）根据垂径定理由OD⊥BC得BD= ，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；

（2）连接AB，根据等腰直角三角形的性质可得出AB=2 ，再根据垂径定理得到OD⊥BC，OE⊥AC，则DE为△CBA的中位线，然后根据三角形中位线性质即可得到DE= ；

（3）连结OC，由DE∥BA可判断△CDE∽△CBA，根据相似三角形的性质得S△CDE：S△CBA=（CD：CB）2=1：4，即S△CBA=4S△CDE，再利用S△OD B=S△ODC，S△OAE=S△OEC和S△ODE=S四边形ODCE﹣S△CDE进行变形可得到S△ODE﹣S△CDE的值．

解答： 解：（1）∵OD⊥BC，BC=1

∴BD= BC=

∴在Rt△OBD中，OD= = ；

（2）在△DOE中DE的长度不变．

连结AB，如图，

∵∠AOB=90°，OA=OB=2，

∴AB= OA=2 ，

∵OD⊥BC，OE⊥AC，

∴DB=DC，EA=EC，即点D和E分别是线段BC和AC的中点，

∴DE为△CBA的中位线，

∴DE= AB= ；

（3）连结OC，

∵DE∥BA，

∴△CDE∽△CBA，

∴S△CDE：S△CBA=（CD：CB）2=1：4，即S△CBA=4S△CDE，

∵S△ODB=S△ODC，S△OAE=S△OEC，

∴S△OD E=S四边形ODCE﹣S△CDE，

=S△ODC+S△OEC﹣S△CDE

= S△OBC+ S△OAC﹣S△CDE

= S四边形ODCE﹣S△CDE

= S△OAB+ S△CAB﹣S△CDE

= × ×2×2+ ×4S△CDE﹣S△CDE

=1+S△CDE，

∴S△ODE﹣S△CDE=1．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理；学会运用勾股定理和相似比进行几何计算；同时理解等腰直角三角形的性质．

24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为 边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．

（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC=x，请用x表示线段AD的长；

（2）随着C点的变化， 直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．

（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，

①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．

②G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG+HC的最小值，并将此最小值用x表示．

考点：一次函数综合题．

分析：（1）根据等边三角形的性质，可得∠OBA与∠DBC的关系，根据等式的性质，可得∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到对应边AD与OC相等，由OC表示出AD即可；

（2）根据全等三角形的性质，可得∠BAD=∠BOC=60°，根据等边三角形的性质，可得∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等，可得∠OAE=60°，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，根据待定系数法，将点A和E的坐标代入即可确定出解析式；

（3）①根据平行线的性质，可得EF与EA重合，根据三角形的中位线，可得A为OC中点，根据线段中点的性质，可得C的坐标；根据等边三角形的性质，可得DF⊥BC，根据平行线的性质，可得BF与OB垂直，根据切线的判定，可得答案；

②根据等边三角形的“三线合一”，可得DF垂直平分BC，根据轴对称的性呢，可得GB为HC+HG的最小值，根据圆的性质，可得FB，FC及FG相等，根据直角三角形的判定，可得△BCG为直角三角形；根据“三线合一”，可得∠CBG为30°，根据锐角三角函数，可得BG，根据等边三角形的性质，可得BM及AM，根据勾股定理表示出BC的长即可．

解答： 解：（1）∵△OAB和△BCD都为等边三角形，

∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，

∴∠OBC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

，

∴△OBC≌△ABD（SAS），

∴AD=OC=1+x；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：

由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，

又∵∠BAO=60°，

∴∠DAC=60°，

∴∠OAE=60°，又OA=1，

在直角三角形AOE中，tan60°= ，则OE= ，

点E坐标为（0，﹣ ），A（1，0），

设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入，得

，解得： ，

所以直线AE的解析式为y= x﹣ ；

（3）①根据题意画出图形，如图所示1：

∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，则EF与EA所在的直线重合，

∴点F为DE与BC的交点，

又F为BC中点，

∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，

∴当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；

这时直线BO与⊙F相切，理由如下：

∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，

∴DF⊥BC，又EF∥OB，

∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，

故直线BO与⊙F相切；

②根据题意画出图形，如图所示：

，

由点B，点C及点G在圆F的圆周上得：FB=FC=FG，即FG= BC，

∴△CBG为直角三角形，又△BCD为等边三角形，

∴BG为∠CBD的平分线，即∠CBG=30°，

过点B作x轴的垂直，交x轴于点M，由△OAB为等边三角形，

∴M为OA中点，即MA= ，BM=3 ，MC=AC+AM=x+ ．

在直角三角形BCM中，根据勾股定理得：

BC= = ，

∵DF垂直平分BC，

∴B和C关于DF对称，

∴HC=HB，

则HC+HG=BG，此时BG最小，

在直角三角形BCG中，

BG=BCcos30°= ．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了全等三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求函数解析式；（3）①利用了直线与圆的位置关系；②利用了轴对称﹣最短路线问题．