浙江省余姚市2023初三数学上册期中试卷(含答案解析)

浙江省余姚市2023初三数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．若2y﹣7x=0（xy≠0），则x：y等于（）

A． 7：2 B． 4：7 C． 2：7 D． 7：4

2．已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=5，BC=12，则Rt△ABC的外接圆的半径为（）

A． 12 B． C． 6 D．

3．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）

A． 直线 B． 直线 C． y轴 D． 直线x=2

4．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）

A． B． C． 1 D．

5．已知二次函数y=（a+2）x2有最大值，则有（）

A． a＜0 B． a＞0 C． a＜﹣2 D． a＞﹣2

6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A． B． C． D．

7．如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为（）

A． 10πcm B． 20πcm C． 30πcm D． 40πcm

8．如图△ABC的内接圆于⊙O，∠C=45°，AB=4，则⊙O的半径为（）

A． 2 B． 4 C． D． 5

9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，BC=2，那么DE=（）

A． B． C． D．

10．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为3，则此圆的半径为（）

A． 5 B． 2 C． 10或4 D． 5或2

11．下列命题中，真命题的个数是（）

①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形必为矩形；③90°的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．

A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②b2﹣4ac＞0，③2a+b＞0，④a+b+c＜0，⑤ax2+bx+c+2=0的解为x=﹣0，其中正确的有（）个．

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

二、填空题（每题4分，共24分）

13．已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项是．

14．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为．

15．如果一个正多边形的内角是140°，则它是边形．

16．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB=2，则AP=．

17．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是．

18．如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为 上两点，且∠MEB=∠NFB=45°，则EM+FN=．

三、解答题（共8题，共78分）

19．作图题：请用直尺和圆规将线段分成3：2的两段．要求：不写作法，但需保留作图痕迹．

20．已知二次函数y=x2﹣2x﹣8．

（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴及与坐标轴交点的坐标；

（2）并画出函数的大致图象，并求使y＞0的x的取值范围．

21．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．

（1）求弧BE所对的圆心角的度数．

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

22．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．

（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．

23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．

24．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

25．阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以 把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格 中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴 正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

浙江省余姚市2023初三数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．若2y﹣7x=0（xy≠0），则x：y等于（）

A． 7：2 B． 4：7 C． 2：7 D． 7：4

考点： 等式的性质．

专题： 计算题．

分析： 本题需利用等式的性质对等式进行变形，从而解决问题．

解答： 解：根据等式性质1，等式两边同加上7x得：2y=7x，

∵7y≠0，

∴根据等式性质2，两边同除以7y得， = ．

故选：C．

点评： 本题考查的是等式的性质：

等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；

等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等．

2．已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=5，BC=12，则Rt△ABC的外接圆的半径为（）

A． 12 B． C． 6 D．

考点： 三角形的外接圆与外心．

分析： 根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先求斜边长，再求半径．

解答： 解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=Rt∠，AC=5，BC=12，

∴AB= = =13，

∵直角三角形的外心为斜边中点，

∴Rt△ABC的外接圆的半径为 ．

故选D．

点评： 本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用．关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．

3．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）

A． 直线 B． 直线 C． y轴 D． 直线x=2

考点： 二次函数的性质．

分析： 已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．

解答： 解：∵抛物线y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），

∴对称轴是直线x=0（y轴），

故选C．

点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法．

4．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）

A． B． C． 1 D．

考点： 概率公式．

专题： 应用题．

分析： 本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．

解答： 解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是 ．

故选A．

点评： 明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

5．已知二次函数y=（a+2）x2有最大值，则有（）

A． a＜0 B． a＞0 C． a＜﹣2 D． a＞﹣2

考点： 二次函数的最值．

分析： 本题考查二次函数的性质：当二次项系数小于0时会取得最大值．

解答： 解：因为二次函数y=（a+2）x2有最大值，

所以a+2＜0，

解得a＜﹣2．

故选C．

点评： 考查二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A． B． C． D．

考点： 相似三角形的判定．

专题： 压轴题；网格型．

分析： 三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形，可求出三边的长，即可得出．

解答： 解：原三角形的边长为： ，2， ．

A中三角形的边长为：1， ， ．

B中三角形的边长为：1， ， ．

在 ，即相似；

C中三角形的边长为： ， ，3．

D中三角形的边长为：2， ， ．

故选B．

点评： 本题考查相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形．

7．如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为（）

A． 10πcm B． 20πcm C． 30πcm D． 40πcm

考点： 弧长的计算．

分析： 传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的转动轮转过120°角的扇形的弧长，根据弧长公式可得．

解答： 解： =20π．

故选B．

点评： 本题的关键是理解传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的转动轮转过120°角的扇形的弧长．

8．如图△ABC的内接圆于⊙O，∠C=45°，AB=4，则⊙O的半径为（）

A． 2 B． 4 C． D． 5

考点： 圆周角定理；等腰直角三角形．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 可连接OA、OB，根据圆周角定理，易知：∠AOB=90°，即△AOB是等腰直角三角形；已知了斜边AB的长，可求出直角边即半径的长．

解答： 解：如图，连接OA、OB，

由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=90°；

∵OA=OB，

∴△AOB是等腰直角三角形；

则OA=AB?sin45°=4× =2 ．

故选A．

点评： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，BC=2，那么DE=（）

A． B． C． D．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 先求出 ，再判定出△ADE和△ABC相似，然后利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答： 解：∵AD：DB=1：2，

∴ = = ，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

即 = ，

解得DE= ．

故选C．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，是基础题，先求出对应边AD、AB的比值是解题的关键．

10．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为3，则此圆的半径为（）

A． 5 B． 2 C． 10或4 D． 5或2

考点： 点与圆的位置关系．

分析： 由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．

解答： 解：设⊙O的半径为r，

当点P在圆外时，r= =2；

当点P在⊙O内时，r= =5．

综上可知此圆的半径为5或2．

故选D．

点评： 本题考查的是点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．

11．下列命题中，真命题的个数是（）

①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形必为矩形；③90°的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．

A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

考点： 垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；确定圆的条件．

分析： 根据垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理、过不在同一直线上的三个点定理即可对每一种说法的正确性作出判断．

解答： 解：∵平分弦（不能是直径）的直径垂直于弦，①故错误；

∵圆内接四边形对角互补，平行四边形对角相等，

∴圆的内接平行四边形中，含有90°的内角，即为矩形，②故正确；

∵有圆周角定理的推论可知：90°的圆周角所对的弦是直径，③故正确；

∵经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，④故错误；

∵有圆周角定理可知：同弧或等弧所对的圆周角相等．⑤故正确，

∴真命题的个数为3个，

故选C．

点评： 本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理和过不在同一直线上的三个点定理，准确掌握各种定理是解题的关键．

12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②b2﹣4ac＞0，③2a+b＞0，④a+b+c＜0，⑤ax2+bx+c+2=0的解为x=﹣0，其中正确的有（）个．

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号，可得出b小于，由抛物线与y轴交于负半轴，得到c小于0，可得出abc大于0，判断出选项①错误；由抛物线与x轴交于两点，得到根的判别式大于0；利用对称轴公式表示出对称轴，由图象得到对称轴小于1，再由a大于0，利用不等式的基本性质变形即可得到2a+b的正负；由图象可得出当x=1时对应二次函数图象上的点在x轴下方，即将x=1代入二次函数解析式，得到a+b+c的正负；由图象可得出方程ax2+bx+c=﹣2的解有两个，不只是x=0，选项⑤错误．

解答： 解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，且抛物线与y轴交于负半轴，

∴a＞0，b＜0，c＜0，

∴abc＞0，故选项①错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故选项②正确；

∵对称轴为直线x=﹣ ＜1，且a＞0，

∴2a+b＞0，故选项③正确；

由图象可得：当x=1时，对应的函数图象上的点在x轴下方，

∴将x=1代入得：y=a+b+c＜0，故选项④正确；

由图象可得：方程ax2+bx+c=﹣2有两解，其中一个为x=0，故选项⑤错误 ，

综上，正确的选项有：②③④共3个．

故选B．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定；b的符合由a的符合与对称轴的位置确定；c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定；抛物线与x轴交点的个数决定了b2﹣4ac的与0的关系；此外还有注意对于x=1、﹣1、2等特殊点对 应函数值正负的判断．

二、填空题（每题4分，共24分）

13．已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项是4．

考点： 比例线段．

分析： 设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，c2=ab，代入数据可直接求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．

解答： 解：设线段a，b的比例中项为c，

∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，

∴c2=ab=2×8，

即c2=16，

∴c=4（负数舍去）．

故答案为：4．

点评： 本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．

14．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为y=3（x+2）2+3．

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析 ： 根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．

解答： 解：∵抛物线y=3x2向上平移3个单位，向左平移2个单位，

∴平移后的抛物线的顶点坐标是（﹣2，3），

∴平移后的抛物线解析式为y=3（x+2）2+3．

故答案为：y=3（x+2）2+3．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变换求解更加简便．

15．如果一个正多边形的内角是140°，则它是9边形．

考点： 多边形内角与外角．

分析： 多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，因为所给多边形的每个内角均相 等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．

解答： 解：设正边形的边数是n，由内角和公式，得

（n﹣2）×180°=n×140°．

解得n=9，

故答案为：9．

点评： 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

16．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB=2，则AP= ．

考点： 黄金分割．

专题： 计算题．

分析： 根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP= AB，代入数据即可得出AP的长．

解答： 解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，

且AP是较长线段；

则AP=2× = ﹣1．

点评： 理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较长的线段=原线段的 ．

17．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是（4，0）或（3，2）．

考点： 坐标与图形性质；相似三角形的判定．

专题： 压轴题；网格型．

分析： △ABC和△OAB相似，并且AB= ，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，当△BCA∽△OAB时和当△ABC∽△OBA时，根据相似三角形的性质求得AC，BC的值后，分别以A，B为圆心，AC，BC为半径作圆，两圆的交点即为C，易得到点C的坐标．

解答： 解：△ABC和△OAB相似，并且AB= ，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，

当△BCA∽△OAB时， = = ，

即 = = ，

解得AC=5，BC=2 ，

分别以A，B为圆心，5，2 为半径作圆，两圆的交点C的坐标是（3，2）；

同理当△ABC∽△OBA时，圆心坐标是（4，0）．

故本题答案为：（4，0）或（3，2）．

点评： 分两种情况进行讨论，理解圆心是圆的弦的垂直平分线的交点是解决本题的关键．

18．如图，已知⊙O的直径AB=1 2，E、F为AB的三等分点，M、N为 上两点，且∠MEB=∠NFB=45°，则EM+FN=2 ．

考点： 垂径定理；勾股定理．

分析： 延长ME交⊙O于点G，由三等分可求得AE和BF，且OA=OB=OM，由平行可得出EG=NF，可把EM+FN化为MG，再利用勾股定理求得MH，从而求得MG，可得出答案．

解答： 解：延长ME交⊙O于点G，

∵AE=FB，EG∥NF，

∴EG=NF，MG=ME+NF，

过点O作OH⊥MG于点H，连接OM，

∴AE=EF=FB=4，AO=OB=6，

∴OE=2，

又∵∠HEO=45°，

∴OH=

∵OM=6，

∴MH=

∴MG=2

即EM+FN=2 ．

故答案为：2 ．

点评： 本题主要考查垂径定理及勾股定理，把EM+FN转化为MG是解题的关键．

三、解答题（共8题，共78分）

19．作图题：请用直尺和圆规将线段分成3：2的两段．要求：不写作法，但需保留作图痕迹．

考点： 平行线分线段成比例；作图—复杂作图．

分析： 设线段两端点为A、B，过点A作射线AC，连接在射线AC上截取线段AD、DE，使得AD：DE=3：2，连接EB，过D作DF∥EB，交AB于点F，由平行线 分线段成比例可知AF：FB=3：2．

解答： 解：如图，设线段两端点为A、B，

过点A作射线AC，在射线AC上截取线段AD、DE，使得AD：DE=3：2，

连接EB，过D作DF∥EB，

交AB于点F，

由平行线分线段成比例可知AF：FB=3：2．

点评： 本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．

20．已知二次函数y=x2﹣2x﹣8．

（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴及与坐标轴交点的坐标；

（2）并画出函数的大致图象，并求使y＞0的x的取值范围．

考点： 二次函数的性质；二次函数的图象．

专题： 探究型．

分析： （1）先把二次函数的解析式化为顶点式的形式，可直接得出其对称轴方程及顶点坐标，再令x=0求出y的值即可得出抛物线与y轴的交点，令y=0求出x的值即可得出抛物线与x轴的交点；

（2）根据题意画出函数图象，直接根据函数图象可得出y＞0的x的取值范围．

解答： 解：（1）∵二次函数y=x2﹣2x﹣8可化为y=（x﹣1）2﹣9 ，

∴顶点坐标（1，﹣9），对称轴直线x=1，

∵令x=0，则y=﹣8，

∴抛物线与y坐标轴交点的坐标（0，﹣8），

∵令y=0，则x2﹣2x﹣8=0，解得x1=4，x2=﹣2，

∴抛物线与x坐标轴交点的坐标（4，0），（﹣2，0）；

（2）如图所示：

由图可知，x＜﹣2或x＞4时y＞0．

点评： 本题考查的是二次函数的性质及二次函数的图象，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．

21．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．

（1）求弧BE所对的圆心角的度数．

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

考点： 扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系．

分析： （1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；

（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积 可求得阴影部分的面积．

解答： 解：（1）连接OE，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠EAB=45°，

∴∠EOB=2∠EAB=90°；

（2）由（1）∠EOB=90°，

且AB=4，则OA=2，

∴S扇形AOE= =π，S△AOE= OA2=2，

∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，

又∵S△ACD= AD?CD= ×4×4=8，

∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．

点评： 本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．

22．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．

（1）该顾客至少可得到10元购物券，至多可得到50元购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．

考点： 列表法与树状图法．

专题： 分类讨论．

分析： （1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；

（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．

解答： 解：（1）10，50；

（2）解法一（树状图）：

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，

因此P（不低于30元）= ；

解法二（列表法）：

第二次

第一次 0 10 20 30

0 ﹣﹣ 10 20 30

10 10 ﹣﹣ 30 40

20 20 30 ﹣﹣ 50

30 30 40 50 ﹣﹣

（以下过程同“解法一”）

点评： 本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．

考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

专题： 几何综合题．

分析： （1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；

（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；

解答： 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，

∴CE=DE=8，

设OB=x，

又∵BE=4，

∴x2=（x﹣4）2+82，

解得：x=10，

∴⊙O的直径是20．

（2）∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，

∴∠D= ∠BOD，

∵AB⊥CD，

∴∠D=30°．

点评： 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．

24．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

考点： 一元二次方程的应用；二次函数的应用．

专题： 几何图形问题；压轴题．

分析： （1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式．

（2）根据（1）的函数关系式，将S=45代入其中，求出x的值即可．

（3）可根据（1）中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案．

解答： 解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米

这时面积S=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x．

（2）由条件﹣3x2+24x=45化为x2﹣8x+15=0

解得x1=5，x2=3

∵0＜24﹣3x≤10得 ≤x＜8

∴x=3不合题意，舍去

即花圃的宽为5米．

（3）S=﹣3x2+24x=﹣3（x2﹣8x）=﹣3（x﹣4）2+48（ ≤x＜8）

∴当 时，S有最大值48﹣3（ ﹣4）2=46

故能围成面积比45米2更大的花圃．围法：24﹣3× =10，花圃的长为10米，宽为 米，这时有最大面积 平方米．

点评： 本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．

25．阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

考点： 相似形综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．

（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．

（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．

解答： 解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°．

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°．

∴∠ADE=∠BEC．（2分）

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC．

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE= ∠BCD=30°，

∴BE= CE= AB．

在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，

∴ ，

∴ ．

点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．

（1）求直线CD的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）利用待定系数法求出直线解析式；

（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；

（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质 可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．

如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．

解答： 解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．

设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），

将C（0，1），D（1，0）代入得： ，

解得：b=1，k=﹣1，

∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，

将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a= ．

∴y= （x﹣2）2+3= x2+2x+1．

（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，

∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，

∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，

∴点E的坐标为（4，1）．

如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），

∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．

又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，

∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，

∴△CEQ∽△CDO．

（4）存在．

如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．

由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；

而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，

由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，

即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）

如答图③所示，连接C′E，

∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，

∴△QC′E为等腰直角三角形，

∴△CEC′为等腰直角三角形，

∴点C′的坐标为（4，5）；

∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．

过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″= = = ．

综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为 ．

点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键．