江西省2023初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)

江西省2023初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)

一、选择题.（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A． 3（x+1）2=2（x+1） B． C． ax2+bx+c=0 D． x2+2x=x2﹣1

2．（3分）方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）

A． x=2.5 B． x=3 C． x=2.5或x=3 D． 非上述答案

3．（3分）若函数y=a 是二次函数且图象开口向上，则a=（）

A． ﹣2 B． 4 C． 4或﹣2 D． 4或3

4．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2023张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）

A． x（x+1）=2023 B． x（x﹣1）=2023×2 C． x（x﹣1）=2023 D． 2x（x+1）=2023

5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）

A． y1＜y2 B． y1=y2 C． y1＞y2 D． 不能确定

6．（3分）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）

A． B． C． D．

二、填空题.（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

7．（3分）把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：，二次项为，一次项系数为，常数项为．

8．（3分）方程x（x+1）=0的解是．

9．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是．

10．（3分）若|b﹣1|+ =0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是．

11．（3分）抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是．

12．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则 + =．

13．（3分）抛物线y=2x2﹣4x+3开口向；对称轴是，顶点坐标是．

14．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．

三、（本大题共4小题，15小题12分，其余各小题6分，共30分）

15．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程

（1）（2x﹣1）2=9 （2）（x+1）（x+2）=2x+4

（3）4x2﹣8x+1=0 （4）x2+3x﹣4=0

（5）2x2﹣10x=3 （6）x2+4x=2．

16．（6分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．

（1）（x1﹣2）（x2﹣2）

（2）x +x ．

17．（6分）（2023?安徽）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？

18．（6分）已知二次函数y=2x2

（1）将其向下平移2个单位得到的抛物线解析式为什么？

（2）通过列表，描点，画出（1）中抛物线的图象．

四、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

19．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2023元，每件衬衫应降价多少元？

20．（6分）如图，抛物线y=ax2﹣5x+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

（3）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

21．（6分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=﹣2x与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．

（1）求m，c的值；

（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22．（9分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0

（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

23．（9分）阅读下列例题：

解方程x2﹣|x|﹣2=0

解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．

当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．

∴x1=2，x2 =﹣2是原方程的根．

请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．

六、（本大题共12分）

24．（12分）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．

（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；

（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

江西省2023初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题.（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A． 3（x+1）2=2（x+1） B． C． ax2+bx+c=0 D． x2+2x=x2﹣1

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 一元二次方程有四个特点：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的最高次数是2；

（3）是整式方程．

（4）二次项系数不为0．

解答： 解：

A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；

B、方程不是整式方程，故错误；

C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；

D、是一元一次方程，故错误．

故选：A．

点评： 判断一个方程是否是一元二次方程：

首先要看是否是整式方程；

然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

这是一个需要识记的内容．

2．（3分）方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）

A． x=2.5 B． x=3 C． x=2.5或x=3 D． 非上述答案

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

专题： 因式分解．

分析： 此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．

解答： 解：移项得：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，

∴（x﹣3）（2x﹣5）=0，

解得x﹣3=0或2x﹣5=0，

∴x1=3，x2=2.5．

故选C．

点评： 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．

3．（3分）若函数y=a 是二次函数且图象开口向上，则a=（）

A． ﹣2 B． 4 C． 4或﹣2 D． 4或3

考点： 二次函数的定义．

分析： 根据二次函数的定义得到a2﹣2a﹣6=2，由抛物线的开口方向得到a＞0，由此可以求得a的值．

解答： 解：∵函数y=a 是二次函数且图象开口向上，

∴a2﹣2a﹣6=2，且a＞0，

解得 a=4．

故选：B．

点评： 本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．

4．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2023张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）

A ． x（x+1）=2023 B． x（x﹣1）=2023×2 C． x（x﹣1）=2023 D． 2x（x+1）=2023

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 其他问题．

分析： 如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．

解答： 解：∵全班有x名同学，

∴每名同学要送出（x﹣1）张；

又∵是互送照片，

∴总共送的张数应该是x（ x﹣1）=2023．

故选C．

点评： 本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．

5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）

A． y1＜y2 B． y1=y2 C． y1＞y2 D． 不能确定

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

专题： 压轴题．

分析： 利用二次函数的性质即可解答．

解答： 解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x=﹣3，a＜0，

又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，

则y1＞y2．

故选C．

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，学会比较图象上点的坐标的大小．

6．（3分）一次函数 y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．

专题： 数形结合．

分析： 对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．

解答： 解：A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；

B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；

C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；

D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．

故选A．

点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．

二、填空题.（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

7．（3分）把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．

考点： 一元二次方程的一般形式．

分析： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

解答： 解：把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．

点评： 去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．

8．（3分）方程x（x+1）=0的解是0或﹣1．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

专题： 计算题．

分析： 本方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以直接得方程x（x+1）=0的根是0，﹣1．

解答： 解：x（x+1）=0

x=0或x+1=0

x1=0，x2=﹣1

故本题的答案是x1=0，x2=﹣1

点评： 因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．

9．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是﹣6．

考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．

分析： 根据根与系数的关系：x1+x2=﹣ ，x1?x2= ，此题选择两根和即可求得．

解答： 解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，

∴2+x1=﹣4，

∴x1=﹣6，

∴该方程的另一个根是﹣6．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．

10．（3分）若|b﹣1|+ =0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．

考点： 根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．

专题： 计算题．

分析： 首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．

解答： 解：∵|b﹣1|+ =0，

∴b﹣1=0， =0，

解得，b=1，a=4；

又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，

∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，

即16﹣4k≥0，且k≠0，

解得，k≤4且k≠0；

故答案为：k≤4且k≠0．

点评： 本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．

11．（3分）抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是y=﹣2x2﹣4x+5．

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 几何变 换．

分析： 先得到抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点 平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣1，7），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

解答： 解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的对应点的坐标为（﹣1，7），所以平移后的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2+7=﹣2x2﹣4x+5．

故答案为y=﹣2x2﹣4x+5．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

12．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则 + = ．

考点： 根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析： 根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，再把原式通分得 ，然后利用整体代入的方法计算．

解答： 解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=2，

所以原式= = ．

故答案为 ．

点评： 本题 考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．

13．（3分）抛物线y=2x2﹣4x+3开口向上；对称轴是x=1，顶点坐标是（1，1）．

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．

解答： 解：∵y=2x2﹣4x+3，

而2＞0，

∴开口方向向上，

∵y=2x2﹣4x+3=2（x2﹣2x+1）﹣2+3=2（x﹣1）2+1，

∴对称轴是x=1，顶点坐标是（1，1）．

故答案为：上，x=1，（1，1）．

点评： 此题主要考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k）；此题还考查了配方法求顶点式．

14．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．

考点： 二次函数与不等式（组）．

分析： 由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（﹣1，0），又y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．

解答： 解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）

而对称轴x=1

∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）

当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方

此时x＜﹣1或x＞3

故答案为：x＜﹣1或x＞3．

点评： 解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．

三、（本大题共4小题，15小题12分，其余各小题6分，共30分）

15．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程

（1）（2x﹣1）2=9 （2）（x+1）（x+2）=2x+4

（3）4x2﹣8x+1=0 （4）x2+3x﹣4=0

（5）2x2﹣10x=3 （6）x2+4x=2．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一 元二次方程-公式法．

分析： （1）利用直接开平方法解方程；

（2）先移项得到（x+1）（x+2）﹣2（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程；

（3）利用配方法解方程；

（4）利用因式分解法解方程；

（5）先化为一般式，然后利用公式法解方程；

（6）利用配方法解方程．

解答： 解：（1）2x﹣1=±3，

所以x1=2，x2=﹣1；

（2）（x+1）（x+2）﹣2（x+ 2）=0，

（x+2）（x+1﹣2）=0，

所以x1=﹣2，x2=1；

（3）4x2﹣8x+4=3，

4（x﹣1）2=3，

2（x﹣1）=± ，

所以x1=1+ ，x2=1﹣ ；

（4）（x+4）（x﹣1）=0，

所以x1=﹣4，x2=1；

（5）2x2﹣10x﹣3=0，

△=（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）=124

x= =

所以x1= ，x2= ；

（6）x2+4x+4=6，

（x+2）2=6，

x+2=±

所以x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ ．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程．

16．（6分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．

（1）（x1﹣2）（x2﹣2）

（2）x +x ．

考点： 根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析： 根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1x2=﹣ ．

（1）把代数式变形得到原式=x1x2﹣2（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算；

（2）利用完全平方公式把原式变形为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．

解答： 解：根据题意得x1+x2=﹣2，x1x2=﹣

（1）原式=x1x2﹣2（x1+x2）+4=﹣ ﹣2×（﹣2）+4= ；

（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣2）2﹣2×（﹣ ）=7．

点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx +c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．

17．（6分）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题；压轴题．

分析： 本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值 ，然后将不合题意的舍去即可．

解答： 解：设道路为x米宽，

由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570，

整理得：x2﹣36x+35=0，

解得：x=1，x=35，

经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．

答：道路为1m宽．

点评： 对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．

18．（6分）已知二次函数y=2x2

（1）将其向下平移2个单位得到的抛物线解析式为什么？

（2）通过列表，描点，画出（1）中抛物线的图象．

考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的图象．

专题： 几何变换．

分析： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下平移2个单位得（0，﹣2），然后根据顶点式写出抛物线解析式；

（2）利用描点法画二次函数图象．

解答： 解：（1）二次函数y=2x2向下平移2个单位得到的抛物线解析式为y=2x2﹣2；

（2）列表：

X … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …

Y … 6 0 ﹣2 0 6 …

描点，

连线，如图．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换 ：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

四、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

19．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2023元，每件衬衫应降价多少元？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 销售问题．

分析： 商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．

解答： 解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2023元．

根据题意得（45﹣x）=2023，

解得x1=10，x2=30．

因尽快减少库存，故x=30．

答：每件衬衫应降价30元．

点评： 需要注意的是：

（1）盈利下降，销售量就提高，每件盈利减，销售量就加；

（2）在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降价越多，卖的也越多，所以取降价多的那一种．

20．（6分）如图，抛物线y=ax2﹣5x+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

（3）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

考点： 二次函数综合题．

专题： 代数综合题；开放型．

分析： （1）把点C的坐标代入抛物线解析式求出a的值，从而得到抛物线解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到A、B的坐标；

（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，即可写出顶点P的坐标；

（3）根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，根据点的平移，把顶点平移为第二象限的点即可．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2﹣5x+4a过点C（5，4），

∴25a﹣5×5+4a=4，

解得a=1，

∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+4，

令y=0，则x2﹣5x+4=0，

解得x1=1，x2=4，

所以，点A（1，0），B（4，0）；

（2）由（1）可知，a=1，

又∵y=x2﹣5x+4=（x﹣ ）2﹣ ，

∴顶点P（ ，﹣ ）；

（3）要使平移后抛物线的顶点落在第二象限，可以先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，

平移后的抛物线解析式为y=（x﹣ +3）2﹣ +3=（x+ ）2+ =x2+x+ + =x2+x+1，

即y=x2+x+1（答案不唯一）．

点评： 本题二次函数的综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点的求解，抛物线顶点坐标的求解，以及抛物线的平移，简单综合题，难度不大，把点C的坐标代入抛物线解析式求出a的值是解题的关键．

21．（6分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=﹣2x与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．

（1）求m，c的值；

（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．

考点： 二次函数的性质．

分析： （1）将点A的坐标（﹣1，m）代入正比例函数的解析式求出m的值，再将求出的点A的坐标代入二次函数的解析式就可以求出c的值；

（2）将求出的二次函数的解析式的一般式化为顶点式就直接求出抛物线的对称轴和顶点坐标．

解答： 解：（1）∵点A（﹣1，m）在函数y=﹣2x的图象上，

∴m=﹣2×（﹣1）=2，

∴点A坐标为（﹣1，2），

∵点A在二次函数图象上，

∴﹣1﹣2+c=2，

解得c=5；

（2）∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+5，

∴y=﹣x2+2x+5=﹣（x﹣1）2+6，

∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，6）．

点评： 本题是一道二次函数和正比例函数的综合试题，考查了利用函数的解析式求点的坐标的值以及二次函数的图象性质，运用了正比例函数和二次函数的有关知识．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22．（9分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0

（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

考点： 根的判别式；等腰三角形的性质．

分析： （1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可．

（2）利用求根公式计算出方程的两根x1=3k﹣1，x2=2，则可设b=2k﹣1，c=2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．

解答： （1）证明：△=[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k），

=k2﹣2k+1，

=（k﹣1）2，

∵无论k取什么实数值，（k﹣1）2≥0，

∴△≥0，

所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0，

因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）=0，

解得：x1=2k，x2=k+1，

∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，

当a、b为腰，则a=b=6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4=16；

当b、c为腰，则k+1=2k，解得k=1，

∴b=c=2，因为6，2，2不构成三角形，∴所以这种情况不成立；

当a、c为腰 k+1=6 则k=5，

∴b=10，

∴三角形的周长为：6+6+10=22．

综上，三角形的周长为16或22．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．

23．（9分）阅读下列例题：

解方程x2﹣|x|﹣2=0

解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．

当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．

∴x1=2，x2=﹣2是原方程的根．

请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；绝对值．

专题： 阅读型．

分析： 参照例题，应分情况讨论，主要是|x﹣1|，随着x取值的变化而变化，它将有两种情况，考虑问题要周全．

解答： 解：（1）设x﹣1≥0原方程变为x2﹣x+1﹣1=0，

x2﹣x=0，

x1=0（舍去），x2=1．

（2）设x﹣1＜0，原方程变为x2+x﹣1﹣1=0，

x2+x﹣2=0，

解得x1=1（舍去），x2=﹣2．

∴原方程解为x1=1，x2=﹣2．

点评： 解本题时，应把绝对值去掉，对x﹣1正负性分类讨论，x﹣1≥0或x﹣1＜0．

六、（本大题共12分）

24．（12分）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4 m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．

（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；

（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

考点： 二次函数的应用．

分析： 已知最高点坐标（4，4），用顶点式设二次函数解析式更方便求解析式，运用求出的解析式就可以解决题目的问题了．

解答： 解：（1）根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：

A（0， ）B（4，4）C（7，3）

设二次函数解析式为y=a（x﹣h）2+k

代入A、B点坐标，得

y=﹣ （x﹣4）2+4 ①

将C点坐标代入①式得左边=右边

即C点在抛物线上

∴一定能投中；

（2）将x=1代入①得y=3

∵3.1＞3

∴盖帽能获得成功．

点评： 本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．