本溪市2023九年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

本溪市2023九年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题15个小题，每小题4分，共60分）

1．（4分）在方程x2+x=y， x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x2﹣ =4，x（x﹣1）=1中，一元二次方程的个数是（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

2．（4分）如图，在?ABCD中，增加一个条件四边形ABCD就成为矩形，这个条件是（）

A． AB=CD B． ∠A+∠C=180° C． BD=2AB D． AC⊥BD

3．（4分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，∠BAC=60°，则对角线AC的长为（）

A． 3 B． 6 C． 9 D． 12

4．（4分）一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）

A． x﹣6=﹣4 B． x﹣6=4 C． x+6=4 D． x+6=﹣4

5．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，且BE=BD，则∠E的度数为（）

A． 45° B． 60° C． 67.5° D． 75°

6．（4分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形窗框是否为菱形，下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）

A． 测量对角线是否相互垂直 B． 测量两组对边是否分别相等

C． 测量四个角是否相等 D． 测四条边是否相等

7．（4分）把方程﹣2x2+x+8=1化为二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是（）

A． 7 B． ﹣7 C． ﹣8 D． ﹣9

8．（4分）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）

A． AB=BC B． AC=BC C． ∠B=60° D． ∠ACB=60°

9．（4分）用配方法解方程4x2﹣3x=4时应在方程的两边同时加上（）

A． B． C． D．

10．（4分）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）

A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形

11．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）

A． BE=AF B． ∠DAF=∠BEC

C． ∠AFB+∠BEC=90° D． AG⊥BE

12．（4分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，配方后得到的方程为（）

A． （x﹣1）2=m﹣1 B． （x﹣1）2=m+1 C． （x﹣1）2=1﹣m D． （x﹣1）2=m2﹣1

13．（4分）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子m3+2m2+2023的值为（）

A． 2023 B． 2023 C． 2023 D． 2023

14．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）

A． 1 B． C． 4﹣2 D． 3 ﹣4

15．（4分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，BC′交AD于点E，若AB=4，AD=8，则DE的长为（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）

16．（4分）根据如表确定一元二次方程x2+2x﹣9=0的一个解的范围是．

x 0 1 2 3 4

x2+2x﹣9 ﹣9 ﹣6 ﹣1 6 15

17．（4分）点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．

18．（4分）如图，从正方形ABCD上截取宽为2cm的矩形BCEF，剩下矩形AFED的面积为48cm2，则正方形ABCD的边长为cm ．

19．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点，且△PBC为等腰三角形，则△CDP的面积为．

20．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=120°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF，则△AEF的面积为．

三、解答题（本大题8个小题，共70分）

21．（6分）用配方法解方程：3x2+8x+4=0．

22．（6分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AB于E，若AC=8，BD=6，求DE的长．

23．（8分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．

（1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

24．（8分）已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点， 过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：△DOE≌△BOF；

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

25．（10分）有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍多

4cm2．

（1）若设大正方形的边长为xcm，请列出方程，并将其化为一般形式．

（2）完成下表：

x 5 6 7 8 9 10

ax2+bx+c

（3）根据上表求出大正方形的边长．

26．（10分）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm∕s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm∕s的速度向点A匀速运动．经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ？

27．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

28．（12分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．

（1）求证：EB=GD；

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=2，AG= ，求EB的长．

本溪市2023九年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本大题15个小题，每小题4分，共60分）

1．（4分）在方程x2+x=y， x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x2﹣ =4，x（x﹣1）=1中，一元二次方程的个数是（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最 高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解答： 解：x2+x=y方程含有两个未知数，故错误；

x﹣2x2=3，（x﹣1）（x﹣2）=0，x（x﹣1）=1符合一元二次方程的定义，正确；

x2﹣ =4，不是整式方程，故错误．

故选：C．

点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．（4分）如图，在?ABCD中，增加一个条件四边形ABCD就成为矩形，这个条件是（）

A． AB=CD B． ∠A+∠C=180° C． BD=2AB D． AC⊥BD

考点： 矩形的判定．

分析： 根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

解答： 解：根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

可得∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°

故∠B=∠C=90°

增加的条件是∠A+∠C=180°．

故选B．

点评： 考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

3．（4分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，∠BAC=60°，则对角线AC的长为（）

A． 3 B． 6 C． 9 D． 12

考点： 菱形的性质．

分析： 根据菱形的四条边都相等求出边长，再判断出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．

解答： 解：∵菱形的周长为 12，

∴菱形的边长AB=BC=12÷4= 3，

∵∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=3．

故选A．

点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．

4．（4分）一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）

A． x﹣6=﹣4 B． x﹣6=4 C． x+6=4 D． x+6=﹣4

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．

分析： 方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．

解答： 解：（x+6）2=16，

两边直接开平方得：x+6=±4，

则：x+6=4，x+6=﹣4，

故选：D．

点评： 本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．

5．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，且BE=BD，则∠E的度数为（）

A． 45° B． 60° C． 67.5° D． 75°

考点： 正方形的性质．

分析： 根据正方形的对角线平分一组对角线求出∠CBD=45°，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．

解答： 解：在正方形ABCD中，∠CBD=45°，

∵BE=BD，

∴∠E= （180°﹣45°）=67.5°．

故选C．

点评： 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

6．（4分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形窗框是否为菱形，下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）

A． 测量对角线是否相互垂直 B． 测量两组对边是否分别相等

C． 测量四个角是否相等 D． 测四条边是否相等

考点： 菱形的判定．

专题： 应用题．

分析： 根据菱形的判定定理分别进行解答即可得出答案．菱形的判定定理有：（1）邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形的四边形是菱形．

解答： 解：A、对角线是否垂直不能判定形状；

B、所有的平行四边形的对边均相等，故错误；

C、四个角均相等的四边形是矩形，不能判定形状；

D、其中四边形的四条边都相等，能判定菱形．

故选D．

点评： 此题考查了菱形的判定，用到的知识点是菱形的判定定理，难度不大．

7．（4分）把方程﹣2x2+x+8=1化为二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是（）

A． 7 B． ﹣7 C． ﹣8 D． ﹣9

考点： 一元二次方程的一般形式．

分析： 把方程移项得到﹣2x2+x+7=0，再方程两边同时除以﹣1得2x2﹣x﹣7=0，再找常数项即可．

解答： 解：﹣2x2+x+8=1

移项，得﹣2x2+x+7=0，

方程两边同时除以﹣1得2x2﹣x﹣7=0，

常数项是﹣7，

故选：B．

点评： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

8．（4分）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）

A． AB=BC B． AC=BC C． ∠B=60° D． ∠ACB=60°

考点： 菱形的判定；平移的性质．

分析： 首先根据平移的性质得出AB CD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．

解答： 解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，

∴AB CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

当AC=BC时，

平行四边形ACED是菱形．

故选：B．

点评： 此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB CD是解题关键．

9．（4分）用配方法解方程4x2﹣3x=4时应在方程的两边同时加上（）

A． B． C． D．

考点： 解一元二次方程-配方法．

分析： 先方程两边都除以4，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．

解答： 解：4x2﹣3x=4，

x2﹣ x=1，

x2﹣ x+（ ）2=1+（ ）2，

即方程两边都加上 ，

故选D．

点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．

10．（4分）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）

A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形

考点： 旋转的性质；矩形的判定．

分析： 根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．

解答： 解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，

∴AE=CE，DE=EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC=BC，点D是边AB的中点，

∴∠ADC=90°，

∴四边形ADCF矩形．

故选：A．

点评： 本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．

11．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）

A． BE=AF B． ∠DAF=∠BEC

C． ∠AFB+∠BEC=90° D． AG⊥BE

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题；压轴题．

分析： 分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解．

解答： 解：∵ABCD是正方形

∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC

∵BF=CE

∴△ABF≌△BCE

∴AF=BE（第一个正确）

∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）

∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°

∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）

∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°

∴∠CBE+∠AFB=90°

∴AG⊥BE（第四个正确）

所以不正确的是C，故选C．

点评： 此题主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况．

12．（4分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，配方后得到的方程为（）

A． （x﹣1）2=m﹣1 B． （x﹣1）2=m+1 C． （x﹣1）2=1﹣m D． （x﹣1）2=m2﹣1

考点： 解一元二次方程-配方法．

分析： 把常数项﹣m移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．

解答： 解：把方程x2﹣2x﹣m=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=m，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=m+1，

配方得（x﹣1）2=m+1．

故选：B．

点评： 本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

13．（4分）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子m3+2m2+2023的值为（）

A． 2023 B． 2023 C． 2023 D． 2023

考点： 一元二次方程的解．

分析： 把m代入x2+x﹣1=0得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，把m2+m=1代入式子：m3+2m2+2023，再将式子变形为m（m2+m）+m2+2023的 形式，即可求出式子的值．

解答： 解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，

∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，

∴m3+2m2+2023=m（m2+m）+m2+2023=m+m2+2023=1+2023=2023．

故选B．

点评： 考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2+m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

14．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）

A． 1 B． C． 4﹣2 D． 3 ﹣ 4

考点： 正方形的性质．

专题： 压轴题．

分析： 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠D AE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍计算即可得解．

解答： 解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，

在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠DAE=∠AED，

∴AD=DE=4，

∵正方形的边长为4，

∴BD=4 ，

∴BE=BD﹣DE=4 ﹣4，

∵EF⊥AB，∠ABD=45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF= BE= ×（4 ﹣4）=4﹣2 ．

故选：C．

点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．

15．（4分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，BC′交AD于点E，若AB=4，AD=8，则DE的长为（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．

解答： 解：

设ED=x，则AE=8﹣x；

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EDB=∠DBC；

由题意得：∠EBD=∠DBC，

∴∠EDB=∠EBD，

∴EB=ED=x；

由勾股定理得：

BE2=AB2+AE2，

即x2=42+（8﹣x）2，

解得：x=5，

故选D．

点评： 该命题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．

二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）

16．（4分）根据如表确定一元二次方程x2+2x﹣9=0的一个解的范围是2＜x＜3．

x 0 1 2 3 4

x2+2x﹣9 ﹣9 ﹣6 ﹣1 6 15

考点： 估算一元二次方程的近似解．

分析： 观察表格可知，随x的值逐渐增大，x2+2x﹣9的值在2～3之间由负到正，故可判断x2+2x﹣9=0时，对应的x的值在2＜x＜3之间．

解答： 解：根据表格可知，x2+2x﹣9=0时，对应的x的值在2＜x＜3之间，

故答案为2＜x＜3．

点评： 本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．

17．（4分）点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为20．

考点： 矩形的性质．

专题： 计算题．

分析： 根据矩形的性质得出DC=AB=5，∠D=∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC，求出AM、OM、BO，即可求出答案．

解答： 解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴DC=AB=5，∠D=∠ABC=90°，

由勾股定理得：AC= =13，

∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，

∴OM= CD= ，BO= AC= ，AM= AD=6，

∴四边形ABOM的周长为：AB+BO+OM+AM=5+ + +6=20，

故答案为：20．

点评： 本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出四边形ABOM的各个边的长度．

18．（4分）如图，从正方形ABCD上截取宽为2cm的矩形BCEF，剩下矩形AFED的面积为48cm2，则正方形ABCD的边长为8cm．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： 首先设出正方形的边长，然后表示出矩形的宽，利用矩形的面积公式进行计算即可．

解答： 解：设正方形的边长为xcm，则AF的长为（x﹣2），

根据题意得：x（x﹣2）=48，

解得：x=8或x=﹣6（舍去），

故答案为：8．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，能够根据设出 的正方形的边长表示出矩形的宽是解答本题的关键．

19．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点，且△PBC为等腰三角形，则△CDP的面积为1．

考点： 正方形的性质；等腰三角形的性质．

分析： 首先利用等腰三角形的性质得出PE=1，进而利用三角形面积求法得出即可．

解答： 解：过点P作PE⊥DC于点E，

∵△PBC为等腰三角形，

∴P在线段BC的垂直平分线上，

∴PE= BC=1，

∴△CDP的面积为： ×2×1=1．

故答案为：1．

点评： 此题主要考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质，得出PE的长是解题关键．

20．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=120°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF，则△AEF的面积为3 ．

考点： 菱形的性质．

分析： 首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．

解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，

∴AB∥CD，BC=CD，

∴∠B=∠D=180°﹣120°=60°，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴AB?AE=AD?AF，∠BAE=∠DAF=30°，

∴AE=AF，

∵∠B=60°，

∴∠BAD=120°，

∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF，∠AEF=60°，

∵AB=4，

∴AE=2 ，

∴EF=AE=2 ，

过A作AM⊥EF，

∴AM=AE?sin60°=3，

∴△AEF的面积是： EF?AM= ×2 ×3=3 ．

故答案为：3 ．

点评： 此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．

三、解答题（本大题8个小题，共70分）

21．（6分）用配方法解方程：3x2+8x+4=0．

考点： 解一元二次方程-配方法．

分析： 首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．

解答： 解：由3x2+8x+4=0，得

移项，得

3x2+8x=﹣4，

化系数为1，得

x2+ x=﹣ ，

配方，得

x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，即（x﹣ ）2= ，

开方，得

x﹣ =± ，

解得 x1=2，x2= ．

点评： 本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

22．（6分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AB于E，若AC=8，BD=6，求DE的长．

考点： 菱形的性质．

分析： 根据菱形性质求出AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，求出AO和BO，根据勾股定理求出AB，根据菱形面积的求法求出即可．

解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，

∵AC=8，BD=6，

∴∠AOB=90°，AO=4，BO=3，由勾股定理得：AB= =5，

由菱形面积公式得： AC×BD=AB×DE，

∴ ×8×6=5×DE，

∴DE=4.8．

点评： 本题考查了勾股定理，菱形的性质的应用，解此题的关键是得出关于DE的方程．

23．（8分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．

（1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 计算题；证明题．

分析： （1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；

（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC= ∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．

∴在△BEC与△DEC中，

∴△BEC≌△DEC（SAS）．

（2）解：∵△BEC≌△DEC，

∴∠BEC=∠DEC= ∠BED．

∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF．

∴∠EFD=60°+45°=105°．

点评： 解答本题要充分利用正方形的特殊性质、全等三角形的判定与性质、以及对顶角相等等知识．

24．（8分）已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：△DOE≌△BOF；

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

专题： 几何综合题．

分析： （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．

解答： （1）证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，

在△EOD和△FOB中

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，

理由：∵△DOE≌△BOF，

∴OE=OF，

又∵OB=OD

∴四边形E BFD是平行四边形，

∵∠EOD=90°，

∴EF⊥BD，

∴四边形BFDE为菱形．

点评： 此题主要考查了平行四边 形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识，得出BE=DE是解题关键．

25．（10分）有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍多

4cm2．

（1）若设大正方形的边长为xcm，请列出方程，并将其化为一般形式．

（2）完成下表：

x 5 6 7 8 9 10

ax2+bx+c ﹣7 0 9 20 33 48

（3）根据上表求出大正方形的边长．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： （1）可设大正方形的边长为xcm，从而可以表示出小正方形的边长，然后根据题意就可建立关于x的方程，再将其化为一般形式即可．

（2）只需将x所对应的值代入x2﹣4x﹣12即可解决问题．

（3）由表可知大正方形的边长就是使得代数式x2﹣4x﹣12的值等于0的x的值．

解答： 解：（1）设大正方形的边长为xcm，则小正方形的边长为（ x+1）cm．

根据题意，得x2=2（ x+1）2+4，

整理得：x2﹣4x﹣12=0．

（2）当x=5时，x2﹣4x﹣12=﹣7；

当x=6时，x2﹣4x﹣12=0；

当x=7时，x2﹣4x﹣12=9；当x=8时，x2﹣4x﹣12=20；

当x=9时，x2﹣4x﹣12=33；当x=10时，x2﹣4x﹣12=48．

故答案分别为：﹣7、0、9、20、33、48．

（3）由表格可知：当x=6时，x2﹣4x﹣12=0．

故由上表能知道大正方形的边长，该边长是6cm．

点评： 本题主要是考查一元二次方程的应用，将问题设计成问题串的形式，指引了思维的方向，有利于问题的解决．

26．（10分）如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm∕s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm∕s的速度向点A匀速运动．经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ？

考点： 一元二次方程的应用；矩形的性质．

专题： 几何图形问题．

分析： 易得AM，AN的长，利用△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 列出等式求解即可．

解答： 解：设经过t秒，S△AMN等于S矩形ABCD的 ，

AM=t，AN=6﹣2t，

，

，

t2﹣3t+2=0，

t1=2，t2=1．

答：经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ．

点评： 考查一元二次方程的应用；得到三角形的面积与矩形面积的关系式是解决本题的关键．

27．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

考点： 矩形的判定；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质；菱形的判定．

专题： 几何综合题．

分析： （1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE=BE，问题得证；

（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC

E，F分别为AB，CD的中点，

∴BE= AB，DF= CD，

∴BE=DF，

∴四边形DEBF是平行四边形

在△ABD中，E是AB的中点，

∴AE=BE= AB=AD，

而∠DAB=60°

∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，

故DE=BE

∴平行四边形DEBF是菱形．

（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：

∵AD∥BC且AG∥DB

∴四边形AGBD是平行四边形

由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，

∴∠ADE=∠DEA=60°，

∠EDB=∠DBE=30°

故∠ADB=90°

∴平行四边形AGBD是矩 形．

点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是弄 清菱形及矩形的判定方法．

28．（12分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．

（1）求证：EB=GD；

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=2，AG= ，求EB的长．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

专题： 几何综合题；压轴题．

分析： （1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB从而△GAD≌△EAB，即EB=GD；

（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE则在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；

（3）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到结果．

解答： （1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90 °+∠EAD

∴∠GAD=∠EAB，

∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，

∴AG=AE，AB=AD，

在△GAD和△EAB中 ，

∴△GAD≌△EAB（SAS），

∴EB=GD；

（2）解：EB⊥GD．

理由如下：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=90°，

∴∠AMB+∠ABM=90°，

又∵△AEB≌△AGD，

∴∠GDA=∠EBA，

∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），

∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠DHM=180°﹣（∠HDM+∠DMH）=180°﹣90°=90°，

∴EB⊥GD．

（3）解：连接AC、BD，BD与AC交于点O，

∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB= ，

在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22，

OA= ，

即OG=OA+AG= + =2 ，

∴EB=GD= ．

点评： 本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长．