高邮市2023初三数学上学期期中试卷(含答案解析)

高邮市2023初三数学上学期期中试卷(含答案解析)

一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A． x2+2x=x2﹣1 B． C． ax2+bx+c=0 D． 3（x+1）2=2（x+1）

2．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）

A． 65° B． 25° C． 15° D． 35°

3．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）

A． 6 B． 5 C． 4 D． 3

4．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）

A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°

5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（）

A． ﹣4 B． ﹣1 C． 1 D． 4

6．（3分）在△ABC中，O为内心，∠A=70°，则∠BOC=（）

A． 140° B． 135° C． 130° D． 125°

7．（3分）下列语句：①相等的圆周角所对的弧是等弧；②经过三个点一定可以作一个圆；③等腰直角三角形的外心不在这个三角形顶角的角平分线上；④等边三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等，正确的个数为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

8．（3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是（）

A． r= B． r＞ C． 3＜r＜4 D．

二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

9．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=．

10．（3分）已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是．

11．（3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=．

12．（3分）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=．

13．（3分）如图，量角器上的C、D两点所表示的读数分别是80°、50°，则∠DBC的度数为．

14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于B，连接AC交⊙O于D，若BC=8cm，DO⊥AB，则⊙O的半径OA=cm．

15．（3分）若α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则α2+β2=．

16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE=．

17．（3分）如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为AB、CD与⊙O的交点，若AE=3cm，AD=4cm，DF=5cm，则⊙O的直径等于．

18．（3分）已知等腰直角三角形ABC的腰长为4，半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，则半圆的半径为．

三、解答题 （本题共10个小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）解下列方程：

（1）x2﹣4 x+8=0；

（2）3x（x﹣1）=2（1﹣x）．

20．（8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．

21．（8分）每位同学都能感受到日出时美丽的景色．右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度．

22．（8分）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．若点D在⊙O的外且∠DAC=∠BAC，求证：直线AD是⊙O的切线．

23．（10分）如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题：

（1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）

（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．

（3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有 条．

24．（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元．

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．

25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．

（1）求证：∠A=∠BCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

26．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0．

（1）用含m的代数式表示这个方程的实数根．

（2）若Rt△ABC的两边a、b恰好是这个方程的两根，另一边长c=5，求m的值．

27．（12分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面积；

（2）求∠OCP的最大度数；设∠OCP=α，当线段CP与圆O只有一个公共点（即P点）时，求α的范围（直接写出答案）；

（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线．

28．（12分）阅读材料：

已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．

∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC?r+ AC?r+ AB?r= （a+b+c）r．

∴r= ．

（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；

（2）理解应用：如图（3），在四边形ABCD中，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O1与△ABD切点分别为E、F、G，设它们的半径分别为r1和r2，若∠ADB=90°，AE=4，BC+CD=10，S△DBC=9，r2=1，求r1的值．

高邮市2023初三数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A． x2+2x=x2﹣1 B． C． ax2+bx+c=0 D． 3（x+1）2=2（x+1）

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解答： 解：A、原方程可化为：2x+1=0，是一元一次方程，错误；

B、是分式方程，错误；

C、方程二次项系数可能为0，错误；

D、原方程可化为：3x2+4x+ 1=0，符合一元二次方程定义，正确．

故选D．

点评： 本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断．

2．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）

A． 65° B． 25° C． 15° D． 35°

考点： 圆周角定理．

专题 ： 压轴题．

分析： 先根据邻补角的定义求出∠BOC，再利用圆 周角定理求解．

解答： 解：∵∠AOC=130°，

∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣130°=50°，

∴∠D= ×50°=25°．

故选B．

点评： 本题利用了圆周角定理和邻补角的概念求解．

3．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）

A． 6 B． 5 C． 4 D． 3

考点： 垂径定理；勾股定理．

分析： 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．

解答： 解：过O作OC⊥AB于C，

∵OC过O，

∴AC=BC= AB=12，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= =5．

故选：B．

点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．

4．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）

A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°

考点： 切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．

专题： 几何图形问题．

分析： 连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．

解答： 解：如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC=90°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB=25°，

∴∠AOC=50°，

∴∠C=40°．

故选：C．

点评： 本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．

5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（）

A． ﹣4 B． ﹣1 C． 1 D． 4

考点： 根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析 ： 直接根据根与系数的关系求解．

解答： 解：根据韦达定理得x1?x2=1．

故选：C．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1?x2= ．

6．（3分）在△ABC中，O为内心，∠A=70°，则∠BOC=（）

A． 140 ° B． 135° C． 130° D． 125°

考点： 三角形的内切圆与内心．

分析： 根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形的内心，求出∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），代入求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和定理求出∠BOC即可．

解答： 解：∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，

∵点O是△ABC的内心，

∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=125°．

故选D．

点评： 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的内心，角平分线定义等知识点的应用，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较典型，主要训练了学生的推理能力和计算能力．

7．（3分）下列语句：①相等的圆周角所对的弧是等弧；②经过三个点一定可以作一个圆；③等腰直角三角形的外心不在这个三角形顶角的角平分线上；④等边三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等，正确的个数为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．

分析： 由圆周角定理，可得在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；由确定三角形的条件可知经过不在同一直线上三个点一定可以作一个圆；由三角形的外心与内心的知识可知等腰直角三角形的外心在这个三角形顶角的角平分线上，等边三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．

解答： 解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧，故错误；

②经 过不在同一直线上三个点一定可以作一个圆；故错误；

③等腰直角三角形的外心在这个三角形顶角的角平分线上；故错误；

④等边三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；正确．

故选A．

点评： 此题考查了圆周角定理、确定圆的条件以及三角形外心与外心的知识．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．

8．（3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是（）

A． r= B． r＞ C． 3＜r＜4 D．

考点： 直线与圆的位置关系．

分析： 要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可．

解答： 解：如图，

∵BC＞AC，

∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，

由勾股定理知，AB= =5．

∵S△ABC= AC?BC= CD?AB= ×3×4= ×5?CD，

∴CD= ，

即R的取值范围是 ＜r≤3．

故选D．

点评： 本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．特别注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上．

二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

9．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=1．

考点： 一元二次方程的解．

分析： 把x=2代入方程x2+mx﹣6=0得到一个关于m的一元一次方程，求出方程的解即可．

解答： 解：把x=2代入方程x2+mx﹣6=0，

得：4+2m﹣6=0，

解方程得：m=1．

故答案为：1．

点评： 本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元二次方程的解等知识点的理解和掌握，能得到方程4+2m﹣6=0是解此题的关键．

10．（3分）已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是在圆外．

考点： 点与圆的位置关系．

分析： 要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

解答： 解：∵⊙O的直径为6，

∴⊙O的半径为3，

∵点M到圆心O的距离为4，

∴4＞3，

∴点M在⊙O外．

故答案为：在圆外．

点评： 本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而 得出结论．

11．（3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=4．

考点： 切线的性质；勾股定理．

专题： 计算题．

分析： 先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长．

解答： 解：∵PA切⊙O于A点，

∴OA⊥PA，

在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，

∴PA= =4．

故答案为：4．

点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．

12．（3分）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠B AD=72°．

考点： 正多边形和圆．

分析： 利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．

解答： 解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，

∴∠E= ×540°=108°，∠BAE=108°

又∵EA=ED，

∴∠EAD= ×（180°﹣108°）=36°，

∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，

故答案是：72°．

点评： 本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键．

13．（3分）如图，量角器上的C、D两点所表示的读数分别是80°、50°，则∠DBC的度数为15°．

考点： 圆周角定理．

分析： 首先连接OC，OD，即可求得∠COD的度数，又由圆周角定理，即可求得∠DBC的度数．

解答： 解：连接OC，OD，

∵量角器上的C、D两点所表示的读数分别是80°、50°，

∴∠AOC=50°，∠AOD=80°，

∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=30°，

∴∠DBC= ∠COD=15°．

故答案为：15°．

点评： 此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于B，连接AC交⊙O于D，若BC=8cm，DO⊥AB，则⊙O的半径OA=4cm．

考点： 切线的性质．

分析： 欲求OA，已知BC=8cm，则可根据等腰直角三角形转化未知边为已知，从而求解．

解答： 解：由切线的性质知BC⊥AB；

∵DO⊥AB，

∴OD∥BC，

又∵O点为AB的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

所以OA=OD= BC=4cm．

点评： 本题综合考查了切线的性质和三角形中位线的性质．

15．（3分）若α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则α2+β2=6．

考点： 根与系数的关系．

分析： 欲求α2+β2的值，先把此代数式变形为（α+β）2﹣2αβ=22的形式，代入数值计算即可．

解答： 解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，

∴α+β=2，αβ=﹣1，

∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣1）=6．

故答案为：6．

点 评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE=70°．

考点： 圆内接四边形的性质；圆周角定理．

专题： 探究型．

分析： 先根据圆周角定理求出∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数，由补角的定义即可得出结论．

解答： 解：∵∠BOD与∠BAD是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOD=140°，

∴∠BAD= ∠BOD= ×140°=70°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣70°=110°，

∵∠DCE+∠BCD=180°，

∴∠DCE=180°﹣∠BCD=180°﹣110°=70°．

故答案为：70°．

点评： 本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接 四边形的对角互补．

17．（3分）如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为AB、CD与⊙O的交点，若AE=3cm，AD=4cm，DF=5cm，则⊙O的直径等于10．

考点： 垂径定理；勾股定理；矩形的性质．

分析： 连接OF，作FG⊥AB于点G，则EG=DF﹣AE=5﹣3=2cm，设⊙O的半径是R，在直角△OFG中利用勾股定理即可得到一个关于R的方程，解方程求得半径，则圆的直径即可求解．

解答： 解：连接OF，作FG⊥AB于点G．

则EG=DF﹣AE=5﹣3=2cm．

设⊙O的半径是R，

则OF=R，OG=R﹣2．

在直角△OFG中，OF2=FG2+OG2，

即R2=（R﹣2）2+42，

解得：R=5．

则直径是10cm．

故答案是：10．

点评： 本题考查了勾股定理，正确作出辅助线是关键．

18．（3分）已知等腰直角三角形ABC的腰长为4，半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，则半圆的半径为2或﹣4+ ．

考点： 切线的性质；等腰直角三角形．

分析： 有两种情况：①是直径在斜边上，首先连接OD，由切线的性质，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位线，继而求得OD的长．②是直径在腰上，首先连接OD，由切线的性质，易得OD⊥BC，即可根据勾股定理求得OD的长．

解答： 解：①∵半圆的直径在△ABC的斜边上，且半圆的弧与△ABC的两腰相切，切点为D、E，

如图，连接OD，OA，

∵AB与⊙O相切，

∴OD⊥AB，

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，

∴AO⊥BC，

∴OD∥AC，

∵O为BC的中点，

∴OD= AC=2．

②∵半圆的直径在△ABC的腰上，且半圆的弧与△ABC的斜边相切，切点为D，

如图2，连接OD，设半圆的半径为r，

∴OB=4﹣r，

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，

∴∠B=45°，

∴△OBD是等腰直角三角形，

∴OD=BD=r，

∴2r2=（4﹣r）2，解得r=﹣4+4 ，r=﹣4﹣4 （舍去），

故答案为2或﹣4+4 ．

点评： 此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

三、解答题（本题共10个小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）解下列方程：

（1）x2﹣4 x+8=0；

（2）3x（x﹣1）=2（1﹣x）．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

分析： （1）用直接开平方法解答；

（2）用提公因式法解答．

解答： 解：（1）方程可化为（x﹣2 ）2=0，

解得x1=x2=2 ；

（2）移项得3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）=0，

提公因式得（3x+2）（x﹣1）=0，

解得x1=﹣ ，x2=1．

点评： 本题考查了因式分解法和配方法解方程，根据式子的特点找到合适的方法是解题的关键．

20．（8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

分析： 根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．

解答： 解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，

∴△=0，

∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）× =0，

整理得，k2﹣3k+2=0，

即（k﹣1）（k﹣2）=0，

解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．

∴k=2．

点评： 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

21．（8分）每位同学都能感受到日出时美丽的景色．右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度．

考点： 垂径定理的应用；勾股定理．

专题： 探究型．

分析： 连接OA，过点O作OD⊥AB，由垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可计算出太阳在海平线以下部分的高度，根据太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟即可得出结论．

解答： 解：连接OA，过点O作OD⊥AB，

∵AB=8厘米，

∴AD= AB=4厘米，

∵OA=5厘米，

∴OD= =3厘米，

∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8（厘米），

∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，

∴“图上”太阳升起的速度= =0.5厘米/分钟．

点评： 本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

22．（8分）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．若点D在⊙O的外且∠DAC=∠BAC，求证：直线AD是⊙O的切线．

考点： 切线的判定．

专题： 证明题．

分析： 首先得出∠OCA+∠CAE=90°，进而求出∠DAC+∠OAC=90°，即可得出答案．

解答： 证明：∵半径OC垂直于弦AB，

∴∠OCA+∠CAE=90°，

∵CO=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠DAC+∠OAC=90°，

∴OA⊥AD，

即直线AD是⊙O的切线．

点评： 此题主要考查了切线的判定，得出∠DAC+∠OAC=90°是解题关键．

23．（10分）如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题：

（1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）

（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．

（3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有4 条．

考点： 作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理．

分析： （1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而求出即可；

（2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案；

（3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为9cm，的有两条．

解答： 解：（1）如图所示：点O即为所求；

（2）如图所示：AB，CD即为所求；

（3）如图：连接DO，

∵OP=3cm，DO=5cm，

∴在Rt△OPD中，DP= =4（cm），

∴CD=8cm，

∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：4条．

故答案为：4．

点评： 此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解．

24．（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为2.6（1+x）2万元．

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 增长率问题．

分析： （1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；

（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．

解答： 解：（1）由题意，得

第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，

故答案为：2.6（1+x）2；

（2）由题意，得

4+2.6（1+x）2=7.146，

解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．

答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．

点评： 本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．

25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．

（1）求证：∠A=∠BCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

考点： 切线的判定．

专题： 几何综合题．

分析： （1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．

解答： （1）证明：∵AC为直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠DCA=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠D CB+∠ACD=90°，

∴∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；

解：连接DO，

∵DO=CO，

∴∠1=∠2，

∵DM=CM，

∴∠4=∠3，

∵∠2+∠4=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴直线DM与⊙O相切，

故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．

点评： 此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

26．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0．

（1）用含m的代数式表示这个方程的实数根．

（2）若Rt△ABC的两边a、b恰好是这个方程的两根，另一边长c=5，求m的值．

考点： 根的判别式；根与系数的关系；勾股定理．

分析： （1）根据一元二次方程的求根公 式，列出算式，再进行整理即可；

（2）根据a、b是这个方程的两根，得出a+b=2m+1，ab=m2+m，再根据Rt△ABC另一边长c=5，得出（2m+1）2﹣2（m2+m）=25，然后进行整理求出m的值即可．

解答： 解：（1）∵x= = ，

∴x1=m，x2=m﹣1；

（2）∵若a、b恰好是这个方程的两根，

∴a+b=2m+1，ab=m2+m，

∵Rt△ABC另一边长c=5，

∴a2+b2=c2，

∴（a+b）2﹣2ab=c2，

∴（2m+1）2﹣2（m2+m）=25，

∴m1=3，m2=﹣4（舍去），

∴m的值是3．

点评： 本题考查了根与系数的关系，用到的知识点是求根公式、勾股定理、根与系数的关系，关键是根据勾股定理和根与系数的关系列出关于m的方程，注意把不合题意的解舍去．

27．（12分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面积；

（2）求∠OCP的最大度数；设∠OCP=α，当线段CP与圆O只有一个公共点（即P点）时，求α的范围（直接写出答案）；

（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线．

考点： 圆的综合题．

分析： （1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最大；观察图形，当OP⊥OC时满足要求；

（2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得．再根据α的最大度数即可得出结论；

（3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得PC是⊙O的切线．

解答： （1）解：∵AB=4，

∴OB=2，OC=OB+BC=4．

在△OPC中，设OC边上的高为h，

∵S△OPC= OC?h=2h，

∴当h最大时，S△OPC取得最大值．

观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示：

此时h=半径=2，S△OPC=2×2=4．

∴△OPC的最大面积为4．

（2）解：当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示：

∵sin∠OCP= = = ，

∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度数为30°．

∴设∠OCP=α，当线段CP与圆O只有一个公共点（即P点）时，0＜α≤30°；

（3）证明：图3，连接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，

∵ = ，

∴ = ，

∴AP=BD，

∵CP=DB，

∴AP=CP，

∴∠A=∠C

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，

在△ODB与△BPC中，

，

∴△ODB≌△BPC（SAS），

∴∠D=∠BPC，

∵PD是直径，

∴∠DBP=90°，

∴∠D+∠BPD=90°，

∴∠BPC+∠BPD=90°，

∴DP⊥PC，

∵DP经过圆心，

∴PC是⊙O的切线．

点评： 本题考查的是圆的综合题，涉及到全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直 角三角形是解题的关键．

28．（12分）阅读材料：

已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．

∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC?r+ AC?r+ AB?r= （a+b+c）r．

∴r= ．

（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；

（2）理解应用：如图（3），在四边形ABCD中，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O1与△ABD切点分别为E、F、G，设它们的半径分别为r1和r2，若∠ADB=90°，AE=4，BC+CD=10，S△DBC=9，r2=1，求r1的值．

考点： 圆的综合题．

分析： （1）连接OA，OB，OC，OD，根据所给出的例子即可得出结论；

（2）根据题中所给出的例子得出BD的长，再由AE=4，可得出AD+AB+BD的长，再根据勾股定理求出DG的长，由r1= 即可得出结论．

解答： 解：（1）连接OA，OB，OC，OD，

∵S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△AOD+S△COD= （a+b+c+d）r，

∴r= ；

（2）∵S△DBC=9，r2=1，

∴BC+CD+BD= =18，

∵BC+CD=10，

∴BD=8．

∵⊙O1是△ABD的内切圆，

∴AE=AG=4，BE=BF，DF=DG，

∴DG+BE=BD=8，

∴设DG=x，则BE=8﹣x，

∵∠ADB=90°，

∴AD2+BD2=AB2，即（4+x）2+82=（4+8﹣x）2，解得x=2，

∴AD=AG+DG=4+2=6，

∴S△ABD= AD?BD= ×6×8=24，

∵AD+AB+BD=AG+AE+（DG+BE）+BD=4+4+8+8=24，

∴r1= = =2．

点评： 本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、勾股定理等知识，难度适中．