长江中学2023初三数学上学期期中重点考试卷(含答案解析)

长江中学2023初三数学上学期期中重点考试卷(含答案解析)

一、选择题（每题3分）

1．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）

A． y=1+ x2B． y=（2x+1）2 C． y=（x﹣1）2 D． y=2x2

2．将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为（）

A． 1 B． 2C． 3D． 4

3．根据下表中关于二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴（）

x … ﹣1 0 1 2 …

y … ﹣1 ﹣2 …

A． 只有一个交点

B． 有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C． 有两个交点，且它们均在y轴同侧

D． 无交点

4．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）

A． B． C． D．

5．一个密码锁有五位数字组成，每一位数字都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9之中的一个，小明只记得其中的三个数字，则他一次就能打开锁的概率为（）

A．B． C．D．

6．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）

A． y1＜y2 B． y1=y2 C． y1＞y2 D． 不能确定

7．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

A． y=﹣2x2 B． y=2x2 C． y=﹣ x2 D． y= x2

8．如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）

A． h=m B． k=n C． k＞n D． h＞0，k＞0

9．已知二次函数y=x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）

A． 先往左上方移动，再往左下方移动

B． 先往左下方移动，再往左上方移动

C． 先往右上方移动，再往右下方移动

D． 先往右下方移动，再往右上方移动

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（）

A． ①②③⑤ B． ①③④ C． ①②③④ D． ①②③④⑤

二、填空题（每题3分）

11．抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是．

12．抛物线y=2x2+4x的对称轴为．

13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是．

14．在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线 ，该双曲线位于第一、三象限的概率是．

15．已知二次函数y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=﹣1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y=．

16．二次函数 的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2023在二次函数 位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2023B2023A2023都为等边三角形，则△A2023B2023A2023的边长=．

三、解答题

17．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的顶点坐标．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象经过B、C两点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．

19．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸取出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌，（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；

（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．

20．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果 每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每 星期的销量为y件．

（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星 期的销量较大？每星期的最大利润是多少？

21．如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

22．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

23．已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．已知抛物线y=kx2+2kx﹣3k，交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

长江中学2023初三数学上学期期中重点考试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分）

1．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）

A． y=1+ x2 B． y=（2x+1）2 C． y=（x﹣1）2 D． y=2x2

考点： 待定系数法求二次函数解析式．

分析： 抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．

解答： 解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2．

故选D．

点评： 本题考查抛物线的形状与a的关系，比较简单．

2．将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 压轴题．

分析： 把两个函数都化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，对比一下确定a的值．

解答： 解：y=x2+x=（x+ ）2﹣ ． y=x2﹣3x+2=（x﹣ ）2﹣ ．所以a= =2．

故选B．

点评： 此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．

3．根据下表中关于二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴（）

x … ﹣1 0 1 2 …

y … ﹣1 ﹣2 …

A． 只有一个交点

B． 有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C． 有两个交点，且它们均在y轴同侧

D． 无交点

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 数形结合．

分析： 利用二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值．

解答： 解：根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x=0，x=2时，y的值都等于﹣ ＜0，

又根据二次函数的图象对称性可得：x=1是二次函数y=ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，

再根据表中的数据，可以判断出y=0时，x＜﹣1或x＞2，

因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．

故选B．

点评： 本题难度中等，考查二次函数与一元二次方程的关系．解决本题时能够画出图形，利用图象理解起来更为方便，数形结合是数学上一种重要的方法思想．

4．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．

分析： 根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；

解答： 解：当a＞0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；

当a＜0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；

当x=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．

正确的只有C．

故选C．

点评： 应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

5．一个密码锁有五位数字组成，每一位数字都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9之中的一个，小明只记得其中的三个数字，则他一次就能打开锁的概率为（）

A． B． C． D．

考点： 概率公式．

分析： 密码锁有五位数字组成，每一位数字都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9之中的一个，密码共202300种情况，小明只记得其中的三个数字，即有2个数字不准确共2023种情况；则他一次就能打开锁的概率为 = ．

解答： 解：P（一次开锁）= = ．

故选D．

点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

6．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）

A． y1＜y2 B． y1=y2 C． y1＞y2 D． 不能确定

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

专题： 压轴题．

分析： 利用二次函数的性质即可解答．

解答： 解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x=﹣3，a＜0，

又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，

则y1＞y2．

故选C．

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，学会比较图象上点的坐标的大小．

7．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

A． y=﹣2x2 B． y=2x2 C． y=﹣ x2 D． y= x2

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

专题： 压轴题．

分析： 由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．

解答： 解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；

那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．

则﹣2=4a

即得a=﹣ ，

那么y=﹣ x2．

故选：C．

点评： 根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．

8．如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）

A． h=m B． k=n C． k＞n D． h＞0，k＞0

考点： 二次函数的图象．

专题： 压轴题．

分析： 借助图象找出顶点的位置，判断顶 点横坐标、纵坐标大小关系．

解答： 解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），

因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k=n不正确．

故选：B．

点评： 本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．

9．已知二次函数y=x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）

A． 先往左上方移动，再往左下方移动

B． 先往左下方移动，再往左上方移动

C． 先往右上方移动，再往右下方移动

D． 先往右下方移动，再往右上方移动

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 压轴题；探究型．

分析： 先分别求出当b=﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．

解答： 解：当b=﹣1时，此函数解析式为：y=x2+x+1，顶点坐标为：（﹣ ， ）；

当b=0时，此函数解析式为：y=x2+1，顶点坐标为：（0，1）；

当b=1时，此函数解析式为：y=x2﹣x+1，顶点坐标为：（ ， ）．

故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．

故选C．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．

10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（）

A． ①②③⑤ B． ①③④ C． ①②③④ D． ①②③④⑤

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由二次函数的图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=﹣1，则再结合图象判断各结论．

解答： 解：由图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=﹣1，

①x=1时，a+b+c＜0，正确；

②x=﹣1时，a﹣b+c＞1，正确；

③abc＞0，正确；

④4a﹣2b+c＜0，错误，x=﹣2时，4a﹣2b+c＞0；

⑤x=﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣ =﹣1，b=2a，c﹣a＞1，正确．

故选A．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

二、填空题（每题3分）

11．抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．

考点： 二次函数的性质．

分析： 利用抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k直接求出顶点坐标即可．

解答： 解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），

∴y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．

故答案为（ 1，1 ）．

点评： 本题考查了二次函数的性质，顶点式y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）和对称轴直线x=h．

12．抛物线y=2x2+4x的对称轴为x=﹣1．

考点： 二次函数的性质．

分析： 先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．

解答： 解：∵抛物线的解析式为y=2x2+4x，

∴a=2，b=4，

∴其对称轴是直线x=﹣ =﹣ =﹣1．

故答案为：x=﹣1．

点评： 本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=﹣ ．

13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是y=﹣x2﹣2x+3．

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 压轴题．

分析： 利用抛物线的性质．

解答： 解：可先从抛物线y=x2﹣2x﹣3上找三个点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）．它们关于原点对称的点是（0，3），（﹣1，4），（1，0）．可设新函数的解析式为y=ax2+bx+c，则c=3，a﹣b+c=4，a+b+c=0．解得a=﹣1，b=﹣2，c=3．故所求解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．

点评： 解决本题的关键是得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于原点对称的点．

14．在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线 ，该双曲线位于第一、三象限的概率是 ．

考点： 概率公式；反比例函数的性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据概率求法直接列举出所有符合要求点的坐标，再根据只有（1，2），（2，1）符合xy=k＞0，得出答案即可．

解答： 解：∵在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，

∴符合要求的点有（﹣1，1），（﹣1，2），（1，2），（1，﹣1），（2，1），（2，﹣1），

∴该双曲线位于第一、三象限时，xy=k＞0，

只有（1，2），（2，1）符合xy=k＞0，

∴该双曲线位于第一、三象限的概率是：2÷6= ，

故答案为： ．

点评： 此题主要考查了概率公式的应用以及反比例函数的性质，根据概率公式得出符合要求的点的坐标是解决问题的关键．

15．已知二次函数y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a=﹣1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y= ．

考点： 二次函数的性质．

专题： 压轴题．

分析： 已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．

解答： 解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1），

设x=2a①，y=a﹣1②，

①﹣②×2，消去a得，x﹣2y=2，

即y= x﹣1．

点评： 本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．

16．二次函数 的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2023在二次函数 位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2023B2023A2023都为等边三角形，则△A2023B2023A2023的边长=2023．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： 先计算出△A0B1A1；△A1B2A2；△A2B3A2的边长 ，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A2023B2023A2023的边长．

解答： 解：作B1A⊥y轴于A，B2B⊥y轴于B，B3C⊥y轴于C．

设等边△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3中，AA1=a，BA2=b，CA2=c．

①等边△A0B1A1中，A0A=a，

所以B1A=atan60°= a，代入解析式得 ×（ a）2=a，

解得a=0（舍去）或a= ，于是等边△A0B1A1的边长为 ×2=1；

②等边△A2B1A1中，A1B=b，

所以BB2=btan60°= b，B2点坐标为（ b，1+b）

代入解析式得 ×（ b）2=1+b，

解得b=﹣ （舍去）或b=1，

于是等边△A2B1A1的边长为1×2=2；

③等边△A2B3A3中，A2C=c，

所以CB3=btan60°= c，B3点坐标为（ c，3+c）代入解析式得 ×（ c）2=3+c，

解得c=﹣1（舍去）或c= ，

于是等边△A3B3A2的边长为 ×2=3．

于是△A2023B2023A2023的边长为2023．

故答案为：2023．

点评： 此题主要考查了二次函数和等边三角形的性质的综合应用，将其性质结合在一起，增加了题目的难度，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识．

三、解答题

17．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的顶点坐标．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．

分析： 此题考查了待定系数法求a、b、c的值，根据题意可得三元一次方程组，解方程组即可求得待定系数的值；利用配方法或公式法求顶点坐标即可．

解答： 解：（1）设这 个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c；

由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得 ；

解这个方程组，得a=2，b=2，c=﹣4；

∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．

（2）y=2x2+2x﹣4=2（x2+x﹣2）=2（x+ ）2﹣ ，

∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ）．

点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，方程组的解法，同时还考查了抛物线顶点坐标的求法．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象经过B、C两点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．

考点： 二次函数综合题．

专题： 综合题；压轴题．

分析： （1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答；

（2）令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y＞0，二次函数图象在x轴的上方写出x的取值范围即可．

解答： 解：（1）∵正方形OABC的边长为2，

∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），

∴ ，

解得 ，

∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+2；

（2）令y=0，则﹣ x2+ x+2=0，

整理得，x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴二次函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），

∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．

点评： 本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单．

19．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸取出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌，（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；

（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇 数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．

考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．

专题： 计算题；压轴题．

分析： （1）先列表展示所有可能的结果数为16，再找出两次摸取纸牌上数字之和为5的结果数，然后根据概率的概念计算即可；

（2）从表中找出两次摸出纸牌上数字之和为奇数的结果数和两次摸出纸牌上数字之和为偶数的结果数，分别计算这两个事件的概率，然后判断游戏的公平性．

解答： 解：根据题意，列表如下：

甲

乙 1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

.3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．

（1）两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）= = ；

（2）这个游戏公平，理由如下：

∵两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P（B）= = ，

两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P（C）= = ，

∴两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平．

点评： 本题考查了关于游戏公平性的问题：先利用图表或树形图展示所有可能的结果数，然后计算出两个事件的概率，若它们的概率相等，则游戏公平；若它们的概率不相等，则游戏不公平．

20．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星 期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．

（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？

考点： 二次函数的应用；一次函数的应用．

分析： 根据题意可得到函数关系式，并 得到x的取值范围．再得到总利润的函数式，两个式子结合起来，可得到定价．

解答： 解：（1）由题意，y=150﹣10x，0≤x≤5且x为正整数；

（2）设每星期的利润为w元，

则w=（40+x﹣30）y

=（x+10）（150﹣10x）

=﹣10（x﹣2.5）2+2023.5

∵x为非负整数，

∴当x=2或3时，利润最大为2023元，

又∵销量较大，

∴x=2，即当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为2023元．

答：当售价为42元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，每星期的最大利润为2023元．

点评： 利用了二次函数的性质，以及总利润=售价×销量．

21．如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

考点： 二次函数综合题．

专题： 代数综合题；压轴题．

分析： （1）在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CD∥AB且CD=AB=4，且C的纵坐标与D相同，

运用平行四边形的性质，结合图形得出；

（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再在次抛物线基础上平移，即抛物线的对称轴不变．根据抛物线的性质特点，可设平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+8+k，平移后抛物线经过D点，将D（0，8）代入解析式，求出即可．

解答： 解：（1）在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD=AB=4，点D的坐 标是（0，8），

∴点C的坐标为（4，8）（1分）

设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，

则AH=BH=2，（2分）

∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8）．

（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（4，8），

可设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+8，（5分）

把A（2，0）代入上式，

解得a=﹣2．（6分）

设平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+8+k，

把（0，8）代入上式得k=32，（7分）

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+40，（8分）

即y=﹣2x2+16x+8．

点评： 考查二次函数顶点，对称轴的性质，以及抛物线上下平移时的特征．

22．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题；动点型．

分析： （1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．

（2）求三角形PBE的面积 ，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD﹣GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．

解答： （1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．

又∵PB=PE，

∴BF=FE，

∴GP=FE，

∴△EFP≌△PGD（SAS）．

∴PE=PD．

②∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．

∴∠DPE=90度．

∴PE⊥PD．

（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形，

四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，

∵AP=x，∴PM= x，

∴BF=PM= ，PF=1﹣ ．

∴S△PBE= BE×PF=BF?PF= x?（1﹣ x）=﹣ x2+ x．

即y=﹣ x2+ x．（0＜x＜ ）．

②y=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+

∵a=﹣ ＜0，

∴当x= 时，y最大值= ．

点评： 本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．

23．已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（ ， ），使得四边形ABPM为等腰梯形．

解答： 解：（1）∵Rt△AOB≌Rt△COD，

∴AB=OD，OB=CD，

∴点A（1，2），

∴OD=AB=2，OB=CD=1，

∴C（2，1），

∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O（0，0），

∴可得c=0，

∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A，C，

∴ ，

解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x，

∴对称轴是直线x= ，顶点坐标为（ ， ）；

（2）存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形，理由如下：

设点P的横坐标为t，

∵PN∥CD，

∴△OPN∽△OCD，

可得PN= ，∴P（t， ），

∵点M在抛物线上，

∴M（t，﹣ t2+ t），

过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，

AG=yA﹣yM=2﹣（﹣ t2+ t）= t2﹣ t+2，BH=PN= ，

当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，

∴ t2﹣ t+2= ，

化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2= ，

∴点P的坐标为（ ， ）．

∴存在点P（ ， ），使得四边形ABPM为等腰梯形．

点评： 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．

24．已知抛物线y=kx2+2kx﹣3k，交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐 标；若不存在，说明理由．

考点： 二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： （1）根据二次函数的最值得到 且k＜0，求出k即可；

（2）①当∠C=90°时，作PC⊥BC交抛物线于P点，并做PD⊥y轴于D点，设P（x，﹣x2﹣2x+3），根据△OBC∽△DCP，得到 ，代入求出即可；②当∠B=90°时，作PB⊥BC交抛物线于P点，并作PE⊥x轴于点E，设P（x，﹣x2﹣2x+3），根据△OBC∽△EPB，得到 ，代入求出即可；③当∠P=90°时，点P应在以BC为直径的圆周上，根据图象得出结论．

解答： 解：（1）∵y有最大值4，

∴y=kx2+2kx﹣3k=k（x+1）2﹣4k，

∴﹣4k=4，

解得k=﹣1，

∴y=﹣x2﹣2x+3，

答：抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3．

（2）根据直角的可能性分三种情况：

①当∠C=90°时，作PC⊥BC交抛物线于P点，并做PD⊥y轴于D点，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），

∵△OBC∽△DCP，

∴ ，

即 ，

∴x1=0（舍去）， ，

∴ ；

②当∠B=90°时，作PB⊥BC交抛物线于P点，并作PE⊥x轴于点E，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），

∵△OBC∽△EPB ，

∴ ，

即 ，

∴x1=1（舍去）， ，

∴ ；

③当∠P=90°时，点P应在以BC为直径的圆周上，

如图，与抛物线无交点，故不存在，

综上所述，这样的点P有两个： ，P2（﹣ ，﹣ ），

答：在抛物线上存在点P，使△PBC是直角三角形，P点坐标是（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．

点评： 本题主要考查对二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，解一 元二次方程，用待定系数法求二次函数的解析式，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质求出符合条件的所有情况是解此题的关键．