富阳市2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

富阳市2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．（）

1．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）

A． （2，﹣3） B． （﹣2，3） C． （2，3） D． （﹣2，﹣3）

2．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是（）

A． 直线x=﹣2 B． 直线x=2 C． 直线x=﹣1 D． 直线x=1

3．若在同一直角坐标系中，作y=3x2，y=x2﹣2，y=﹣2x2+1的图象，则它们（）

A． 都关于y轴对称 B． 开口方向相同

C． 都经过原点 D． 互相可以通过平移得到

4．抛物线y=﹣x2+2x﹣2经过平移得到y=﹣x2，平移方法是（）

A． 向右平移1个单位，再向下平移1个单位

B． 向右平移1个单位，再向上平移1个单位

C． 向左平移1个单位，再向下平移1个单位

D． 向左平移1个单位，再向上平移1个单位

5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（）

A． B． C． D．

6．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）

A． y=﹣（x﹣1）2﹣2 B． y=﹣（x+1）2﹣2 C． y=﹣（x﹣1）2+2 D． y=﹣（x+1）2+2

7．若二次函数y=ax2+bx+a2﹣2（a，b为常数）的图象如下，则a的值为（）

A． ﹣2 B． ﹣ C． 1 D．

8．已知函数y=3x2﹣6x+k（k为常数）的图象经过点A（0.8，y1），B（1.1，y2），C（ ，y3），则有（）

A． y1＜y2＜y3 B． y1＞y2＞y3 C． y3＞y1＞y2 D． y1＞y3＞y2

9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．

其中正确的结论有（）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

10．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

A． B．

C． D．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．

11．抛物线y= 的开口方向，对称轴是，顶点坐标是．

12．将抛物线y=﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的解析式是．

13．把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是．

14．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 ．则他将铅球推出的距离是m．

15．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，点P的坐标为．

16．如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．则a=，点E的坐标是．

三、全面答一答（本题有8小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．

17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标分别为﹣1和2，且经过点（3，8），求这个抛物线的解析式．

18．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．

（1）求C的坐标；

（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．

19．如图，A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点都在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．

（1）求m和a，b的值；

（2）请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．

20．已知抛物线y=x2﹣2x﹣8．

（1）试说明该抛物线与x轴一定有两个交点．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），且它的顶点为P，求△ABP的面积．

21．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x … ﹣1 0 1 2 3 4 …

y … 10 5 2 1 2 5 …

（1）求该二次函数的关系式；

（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

22．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：

方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

23．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

富阳市2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．（）

1．（3分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）

A． （2，﹣3） B． （﹣2，3） C． （2，3） D． （﹣2，﹣3）

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题．

分析： 已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标．

解答： 解：∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式，

∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）．

故选D．

点评： 本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．

2．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是（）

A． 直线x=﹣2 B． 直线x=2 C． 直线x=﹣1 D． 直线x=1

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．

解答： 解：对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2，

即直线x=2．

故选B．

点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．

3．若在同一直角坐标系中，作y=3x2，y=x2﹣2，y=﹣2x2+1的图象，则它们（）

A． 都关于y轴对称 B． 开口方向相同

C． 都经过原点 D． 互相可以通过平移得到

考点： 二次函数的性质．

分析： 从三个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴x=0，对称轴为y轴．

解答： 解：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，

故对称轴x=﹣ =0，对称轴为y轴，都关于y轴对称．

故选A．

点评： 本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，需要熟练掌握二次函数性质是解题关键．

4．抛物线y=﹣x2+2x﹣2经过平移得到y=﹣x2，平移方法是（）

A． 向右平移1个单位，再向下平移1个单位

B． 向右平移1个单位，再向上平移1个单位

C． 向左平移1个单位，再向下平移1个单位

D． 向左平移1个单位，再向上平移1个单位

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 由抛物线y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1得到顶点坐标为（1，﹣1），而平移后抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．

解答： 解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1得到顶点坐标为（1，﹣1），

平移后抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），

∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．

故选D．

点评： 本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．

5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．

分析： 先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，利用排除法即可得出正确答案．

解答： 解：∵二次函数的图象开口向下，

∴反比例函数y= 的图象必在二、四象限，故A、C错误；

∵二次函数的图象经过原点，

∴c=0，

∴一次函数y=bx+c的图象必经过原点，故B错误．

故选D．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．

6．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）

A． y=﹣（x﹣1）2﹣2 B． y=﹣（x+1）2﹣2 C． y=﹣（x﹣1）2+2 D． y=﹣（x+1）2+2

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 几何变换．

分析： 先利用配方法得到抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），再写出点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），由于旋转180°，抛物线开口相反，于是得到抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2﹣2．

解答： 解：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），

所以抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2﹣2．

故选A．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

7．若二次函数y=ax2+bx+a2﹣2（a，b为常数）的图象如下，则a的值为（）

A． ﹣2 B． ﹣ C． 1 D．

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题．

分析： 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而得出a2﹣2的值，然后求出a值，再根据开口方向选择正确答案．

解答： 解：由图象可知：抛物线与y轴的交于原点，

所以，a2﹣2=0，解得a=± ，

由抛物线的开口向上

所以a＞0，

∴a=﹣ 舍去，即a= ．

故选D．

点评： 二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

8．已知函数y=3x2﹣6x+k（k为常数）的图象经过点A（0.8，y1），B（1.1，y2），C（ ，y3），则有（）

A． y1＜y2＜y3 B． y1＞y2＞y3 C． y3＞y1＞y2 D． y1＞y3＞y2

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

分析： 根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向上，由于A（0.8，y1）在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为（1.2，y1），在y轴的右边y随x的增大而增大，可判断y2＜y1＜y3．

解答： 解：∵函数y=3x2﹣6x+k（k为常数），

∴对称轴为x=1，图象开口向上；

∴A（0.8，y1）在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为（1.2，y1），在y轴的右边y随x的增大而增大，

因为1.1＜1.2＜ ，于是y2＜y1＜y3

故选：C．

点评： 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．

9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．

其中正确的结论有（）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题；数形结合．

分析： 观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c=0，即a+c=b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=﹣ =1得到a=﹣ b，而a﹣b+c＜0，则﹣ b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．

解答： 解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；

当x=﹣1时图象在x轴下方，则y=a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②不正确；

对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；

x=﹣ =1，则a=﹣ b，而a﹣b+c=0，则﹣ b﹣b+c=0，2c=3b，所以④不正确；

开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．

故选：A．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=﹣ ，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．

10．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

A． B．

C． D．

考点： 动点问题的函数图象．

专题： 几何图形问题；压轴题．

分析： 此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点， 列出面积随动点变化的函数关系式即可．

解答： 解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴

当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y= = ．

当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y= =

∴y与x之间的函数关系

由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．

故选：A．

点评： 本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．

11．抛物线y= 的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）．

考点： 二次函数的性质．

分析： 形如y=ax2的抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口方向由a的符号决定．

解答： 解：抛物线y= x2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），开口方向上．

故答案为：向上，y轴，（0，0）．

点评： 本题考查了二次函数的性质，牢记形如y=ax2的抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口方向由a的符号决定是解题的关键．

12．将抛物线y=﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+5．

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 几何变换．

分析： 先确定y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（1，5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

解答： 解：y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移5个单位得到的对应点的坐标为（1，5），

所以平移后的抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+5．

故答案为y=﹣（x﹣1）2+5．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即 可求出解析式．

13．把二次函 数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是y=﹣2（x﹣1）2+5．

考点： 二次函数的三种形式．

专题： 配方法．

分析： 利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

解答： 解：y=﹣2x2+4x+3=﹣2（x2﹣2x+1）+2+3=﹣2（x﹣1）2+5．

故答案为y=﹣2（x﹣1）2+5．

点评： 本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法．属于基础题型，比较简单．

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

（2）顶点式：y=a （x﹣h）2+k；

（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

14．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 ．则他将铅球推出的距离是10m．

考点： 二次函数的应用．

分析： 成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．

解答： 解：当y=0时，﹣ x2+ x+ =0，

解之得x1=10，x2=﹣2（不合题意，舍去），

所以推铅球的距离是10米．

点评： 此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．

15．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，点P的坐标为 ．

考点： 二次函数的性质．

分析： 把点A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，从而得到抛物线的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，当与BC平行的直线与抛物线有且只有一个交点时，点D到BC的距离最大，此时△BDC的面积最大，然后联立直线与抛物线解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出x的值，即可得到点D的横坐标，然后代入直线BC的解析式求出点P的纵坐标，即可得解．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3），

∴ ，

解得 ，

∴y=﹣x2+2x+3，

令y=0，则﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴点B的坐标为（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得 ，

所以，直线BC的解析式为y=﹣x+3，

过点D作BC的平行直线，设解析式为y=﹣x+d，

联立 ，

消掉y得，﹣x2+2x+3=﹣x+d，

整理得，x2﹣3x﹣3+d=0，

当△=0时，方程有两个相等的实数根，此时点D到BC的距离最大，△BDC的面积最大，

所以，x=﹣ = ，

∵PD∥y轴，

∴点P的横坐标为 ，

此时y=﹣ +3= ，

∴点P的坐标为（ ， ）．

故答案为：（ ， ）．

点评： 本题是二次函数的性质，主要考查了待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与直线解析式），联立两函数解析式求交点坐标，平行直线的解析式的k值相等，相似三角形对应边成比例的性质，二次函数的最大值问题，综合性较强，难度较大．

16．如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．则a= ，点E的坐标是（1+ ，1+ ）．

考点： 二次函数综合题．

专题： 计算题．

分析： 把点A（3，0）代入抛物线 即可求得a的值，正方形OABC可得点C坐标，代入函数解析式求得点D坐标，可知点E横坐标，再利用正方形BDEF的性质得出点E纵坐标问题得解．

解答： 解：把点A（3，0）代入抛物线 ，

解得a= ；

∵四边形OABC为正方形，

∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，

代入y= x2﹣x﹣ ，

解得x1=1+ ，x2=1﹣ （不合题意，舍去），

因此正方形BDEF的边长B为1+ ﹣3= ﹣2，

所以AF=3+ ﹣2=1+ ，

由此可以得出点E的坐标为（1+ ，1+ ）；

故答案为： ，（1+ ，1+ ）．

点评： 此题主要结合图形与图 象，利用正方形的性质以及二次函数图象上点的坐标来进行解答．

三、全面答一答（本题有8小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．

17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标分别为﹣1和2，且经过点（3，8），求这个抛物线的解析式．

考点： 待定系数法求二次函数解析式．

分析： 先设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣2），再将点（3，8）代入，求出a的值，从而得到抛物线的解析式．

解答： 解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣2），

将点（3，8）代入得，8=4a，

解得a=2，

故此抛物线的解析式为：y=2（x+1）（x﹣2），即y=2x2﹣2x﹣4．

点评： 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知 抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

18．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．

（1）求C的坐标；

（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．

分析： （1）根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB=OC．求出点C的坐标为（0，5）；

（2）设二次函数的解析式为y=a x2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入解析式，可求出a、b、c的值．

解答： 解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）

∴AO=1，OB=4，

AB=AO+OB=1+4=5，

∴OC=5，即点C的坐 标为（0，5）；

（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c

由于这个函数图象过点（0，5），可以得到C=5，又由于该图象过点（﹣1，0），（4，0），则：

，

解方程组，得

∴所求的函数解析式为y=﹣ x2+ x+5

∵a=﹣ ＜0

∴当x=﹣ = 时，y有最大值 = = ；

解法2：

设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1）

∵点C（0，5）在图象上，

∴把C坐标代入得：5=a（0﹣4）（0+1），解得：a=﹣ ，

∴所求的二次函数解析式为y=﹣ （x﹣4）（x+1）

∵点A，B的坐标分别是点A（﹣1，0），B（4，0），

∴线段AB的中点坐标为（ ，0），即抛物线的对称轴为直线x=

∵a=﹣ ＜0

∴当x= 时，y有最大值y=﹣ = ．

点评： 解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，顶点坐标为x=﹣ ，y= ．

19．如图，A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点都在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．

（1）求m和a，b的值；

（2）请直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．

考点： 二次函数与不等式（组）．

分析： （1）利用待定系数法求函数解析式解答即可；

（2）根据函数图象写出直线在二次函数图象上方部分的x的取值范围即可．

解答： 解：（1）∵y1=﹣x+m经过点（﹣1，0），

∴﹣（﹣1）+m=0，

∴m=﹣1；

∵A（﹣1，0），B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，

∴ ，

解得 ，

所以，y2=x2﹣2x﹣3，

所以，m=﹣1，a=1，b=﹣2；

（2）由图可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围﹣1＜x＜2．

点评： 本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用二次函数图象求不等式的解集，数形结合求解更简便．

20．已知抛物线y=x2﹣2x﹣8．

（1）试说明该抛物线与x轴一定有两个交点．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），且它的顶点为P，求△ABP的面积．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2﹣2x﹣8的图象与x轴交点的个数．

解答： 解：（1）解方程x2﹣2x﹣8=0，得x1=﹣2，x2=4．

故抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴有两个交点．

（2）由（1）得A（﹣2，0），B（4，0），故AB=6．

由y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣9=（x﹣1）2﹣9，

故P点坐标为（1，﹣9）；

过P作PC⊥x轴于C，则PC=9，

∴S△ABP= AB?PC= ×6×9=27．

点评： 考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．

21．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x … ﹣1 0 1 2 3 4 …

y … 10 5 2 1 2 5 …

（1）求该二次函数的关系式；

（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．

专题： 图表型．

分析： （1）从表格中取出2组解，利用待定系数法求解析式；

（2）利用顶点坐标求最值；

（3）利用二次函数的单调性比较大小．

解答： 解：（1）根据题意，

当 x=0时，y=5；

当x=1时，y=2；

∴ ，解得 ，

∴该二次函数关系式为y=x2﹣4x+5；

（2）∵y =x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，

∴当x=2时，y有最小值，最小值是1，

（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在函数y=x2﹣4x+5的图象上，

所以，y1=m2﹣4m+5，

y2=（m+1）2﹣4（m+1）+5=m2﹣2m+2，

y2﹣y1=（m2﹣2m+2）﹣（m2﹣4m+5）=2m﹣3，

∴①当2m﹣3＜0，即m＜ 时，y1＞y2；

②当2m﹣3=0，即m= 时，y1=y2；

③当2m﹣3＞0，即m＞ 时，y1＜y2．

点评： 主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的最值的求法即其性质．渗透分类讨论思想．

22．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：

方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）根据利润=（单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；

（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；

（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．

解答： 解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，

则w=（x﹣20）（﹣10x+500）

=﹣10x2+700x﹣20230；

（2）w=﹣10x2+700x﹣20230

=﹣10（x﹣35）2+2023，

所以，当x=35时，w有最大值2023，

即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）方案A：由题可得20＜x≤30，

因为a=﹣10＜0，对称轴为x=35，

抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，

所以，当x=30时，w取最大值为2023元，

方案B：由题意得 ，

解得：45≤x≤49，

在对称轴右侧，w随x的增大而减小，

所以，当x=45时，w取最大值为2023元，

因为2023元＞2023元，

所以选择方案A．

点评： 本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x= 时取得．

23．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩 形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）把点A代入解析式求出c和a，最后根据抛物线的对称轴求出b，即可求出最后结果．

（2）①本题需根据题意列出S与t的关系式，再整理即可求出结果．

②本题需分三种情况：以PB为对角线，当点R在BQ的左边，且在PB下方时；以PQ为对角线，当点R在BQ的左边，且在PB上方时；以BQ为对角线，当点R在BQ的右边，且在PB上方时，然后分别代入抛物线的解析式中，即可求出结果．

解答： 解：（1）∵抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

由题意知点A（0，﹣12），

∴c=﹣12，

又∵18a+c=0，

，

∵AB∥OC，且AB=6cm，

∴抛物线的对称轴是 ，

∴b=﹣4，

所以抛物线的解析式为 ；

（2）① ，（0＜t＜6）

②当t=3时，S取最大值为9（cm2），

这时点P的坐标（3，﹣12），

点Q坐标（6，﹣6）

若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：

（Ⅰ）以PB为对角线，当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，﹣18），将（3，﹣18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，﹣18），

（Ⅱ）以PQ为对角线，当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，﹣6），将（3，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．

（Ⅲ）以BQ为对角线，当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，﹣6），将（9，﹣6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件．

综上所述，点R坐标为（3，﹣18）．

点评： 本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意分类讨论思想和二次函数的图象和性质的综合应用．