通辽十一中2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)

通辽十一中2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．4的算术平方根是（）

A． ﹣4 B． 4 C． ﹣2 D． 2

2．我国经济飞速发展，2023年的GDP为63.6万亿元，用科学记数法表示63.6万亿元为（）

A． 0.636×106亿元 B． 6.36×105亿元

C． 6.36×104亿元 D． 63.6×105亿元

3．下列计算结果正确的是（）

A． ﹣3x2y?5x2y=2x2y B． ﹣2x2y3?2x3y=﹣2x5y4

C． 35x3y2÷5x2y=7xy D． （﹣2x﹣y）（2x+y）=4x2﹣y2

4．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2023年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）

居民 1 3 2 4

月用电量（度/户） 40 50 55 60

A． 中位数是55 B． 众数是60 C． 平均数是54 D． 方差是29

5．用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）

A． 1 B． 2

6．下列一元二次方程没有实数根的是（）

A． x2﹣9=0 B． x2﹣x﹣1=0 C． ﹣x2+3x﹣ =0 D． x2+x+1=0

7．已知?ABCD的周长为40，AB=BC﹣2，则对角线AC的取值范围为（）

A． 2＜AC＜20 B． 2＜AC＜40 C． 10＜AC＜20 D． 5＜AC＜21

8．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y= 上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（）

A． 有最大值﹣4.5 B． 有最大值4.5 C． 有最小值4.5 D． 有最小值﹣4.5

9．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

10．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα= ．下列给出的结论中，正确的有（）

①△ADE∽△ACD；

②当BD=6时，△ABC与△DCE全等；

③△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；

④0＜CE≤6.4．

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

二、填空题（每题3分，共21分）

11．分解因式：ax2﹣4a=．

12．函数y= 的自变量x的取值范围．

13．已知关于x的一元二次方程x2+（3﹣k）x﹣3k=0有一个实数根是1，则这个方程的另一个实数根是．

14．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．

15．不等式组 的解集是．

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=．

17．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，A、B、P是⊙O上的点，则tan∠APB=．

三、解答题（共9小题，69分）

18．计算：|1﹣2sin60°|+ +（﹣tan30°）﹣1．

19．先化简，再求值： ，其中x=3．

20．甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足|m﹣n|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”．画树状图（或列表）求甲、乙两人“心有灵犀”的概率．

21．已知：平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；

（1）求证：BH=AB；

（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．

22．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 （即AB：BC= ），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．

23．2023年10月，雾霾天气笼罩中国中东部大部分地区，北京及全国多个城市PM2.5严重超标，多地空气质量达严重污染，环境治理已成为民生中的热点问题，小强为了了解本市空气质量情况，从“中国环境保护网”数据中心查询到本市2023年全年的空气质量级别资料，用简单随机抽样的方法选取60天，并得出如下所示的统计表和扇形统计图：

空气质量级别 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染

天数 10 a 4 b 3 2

请你根据所给信息解答下列问题：

（1）求a，b的值；

（2）这次抽样中，“空气质量不低于良”的频率为；

（3）画出本市60天空气质量情况条形统计图；

（4）根据这次抽样结果，请你估计2023年全年（共365天）空气质量为优良的天数是多少？

24．已知某商品每件的成本为20元，第x天（x≤90）的售价和销量分别为y元/件和（180﹣2x）件，设第x天该商品的销售利润为w元，请根据所给图象解决下列问题：

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于2023元？

25．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．

（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；

（2）求证： = ；

（3）若BC= AB，求tan∠CDF的值．

26．（12分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；

（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

通辽十一中2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．4的算术平方根是（）

A． ﹣4 B． 4 C． ﹣2 D． 2

考点： 算术平方根．

分析： 根据算术平方根的定义解答即可．

解答： 解：∵22=4，

∴4的算术平方根是2，

即 =2．

故选D．

点评： 本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．我国经济飞速发展，2023年的GDP为63.6万亿元，用科学记数法表示63.6万亿元为（）

A． 0.636×106亿元 B． 6.36×105亿元

C． 6.36×104亿元 D． 63.6×105亿元

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：63.6万=63 2023=6.36×105，

故选：B．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值

3．下列计算结果正确的是（）

A． ﹣3x2y?5x2y=2x2y B． ﹣2x2y3?2x3y=﹣2x5y4

C． 35x3y2÷5x2y=7xy D． （﹣2x﹣y）（2x+y）=4x2﹣y2

考点： 整式的除法；单项式乘单项式；平方差公式．

专题： 计算题．

分析： A、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；

B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；

C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．

解答： 解：A、﹣3x2y?5x2y=﹣15x4y2，故A选项错误；

B、﹣2x2y3?2x3y=﹣4x5y4，故B选项错误；

C、35x3y2÷5x2y=7xy，故C选项正确；

D、（﹣2x﹣y）（2x+y）=﹣（2x+y）2=﹣4x2﹣4xy﹣y2，故D选项错误．

故选：C．

点评： 此题考查了整式的除法，单项式乘除单项式，以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2023年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）

居民 1 3 2 4

月用电量（度/户） 40 50 55 60

A． 中位数是55 B． 众数是60 C． 平均数是54 D． 方差是29

考点： 众数；加权平均数；中位数；方差．

分析： 根据众数、平均数、众数和方差的概念，求出该组数据的众数、平均数、众数和方差，然后选择错误选项．

解答： 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：40，50，50，50，55，55，60，60，60，60，

则众数为：60，

中位数为：55，

平均数为： =54，

方差为： =39．

故选D．

点评： 本题考查了众数、中位数、平均数和方差的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．

5．用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）

A． 1 B． 2

考点： 圆锥的计算．

分析： 根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长，根据周长公式求出半径即可．

解答： 解：扇形的弧长=

=2π，

圆锥的底面半径为：2π÷2π=1．

故选：B．

点评： 考查了扇形的弧长公式、圆的周长公式，理解圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长是解题的关键．

6．下列一元二次方程没有实数根的是（）

A． x2﹣9=0 B． x2﹣x﹣1=0 C． ﹣x2+3x﹣ =0 D． x2+x+1=0

考点： 根的判别式．

分析： 分别求出各个一元二次方程的根的判别式，再作出判断即可．

解答： 解：A、x2﹣9=0有两个相等的根，此选项错误；

B、x2﹣x﹣1=0，△=5，方程有两个不相等的实数根，此选项错误；

C、﹣x2+3x﹣ =0，△=9﹣4×（﹣1）×（﹣ ）=0，方程有两个相等的实数根，此选项错误；

D、x2+x+1=0，△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根，此选项正确；

故选D．

点评： 此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

7．已知?ABCD的周长为40，AB=BC﹣2，则对角线AC的取值范围为（）

A． 2＜AC＜20 B． 2＜AC＜40 C． 10＜AC＜20 D． 5＜AC＜21

考点： 平行四边形的性质；三角形三边关系．

分析： 由平行四边形的性质和已知条件得出AB+BC=20，再由BC﹣AB=2，由三角形的三边关系定理，即可得出结果．

解答： 解：如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∵?ABCD的周长为40，

∴AB+BC=20，

∵AB=BC﹣2，

∴BC﹣AB=2，

在△ABC中，由三角形的三边关系定理得：

BC﹣AB＜AC＜BC+AB，

∴对角线AC的取值范围为2＜AC＜20；

故选：A．

点评： 本题考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

8．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y= 上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（）

A． 有最大值﹣4.5 B． 有最大值4.5 C． 有最小值4.5 D． 有最小值﹣4.5

考点： 二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析： 可先求得N点坐标，再把M和N的坐标分别代入所满足的函数解析式，整理可求得ab和a+b的值，代入可求得二次函数解析式，可求得其最值．

解答： 解：

∵M、N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），

∴N点坐标为（﹣a，b），

∵点M在双曲线y= 上，

∴2ab=1，解得ab= ，

∵点N在直线y=x+3上，

∴b=﹣a+3，解得a+b=3，

∴二次函数解析式为y=﹣ x2+3x，

∴当x=﹣ =3时，函数有最大值，ymax=﹣ ×9+9=4.5．

故选B．

点评： 本题主要考查二次函数的最值，根据点的对称及点的坐标与函数解析式的关系求得ab和a+b的值是解题的关键．

9．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 轴对称-最短路线问题；矩形的性质．

专题： 压轴题；探究型．

分析： 作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长．

解答： 解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，

∴BE=CE=CE′=4，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴ = ，即 = ，解得CF=2，

∴DF=CD﹣CF=6﹣2=4．

故选D．

点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE′的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

10．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα= ．下列给出的结论中，正确的有（）

①△ADE∽△ACD；

②当BD=6时，△ABC与△DCE全等；

③△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；

④0＜CE≤6.4．

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

分析： ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．

②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得．

③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．

④依据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答： 解：①∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠ADE=∠B

∴∠ADE=∠C，

∴△ADE∽△ACD；

故①正确，

②作AG⊥BC于G，

∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα= ，

∴BG=ABcosB，

∴BC=2BG=2ABcosB=2×10× =16，

∵BD=6，

∴DC=10，

∴AB=DC，

在△ABD与△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（ASA）．

故②正确，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED，

∵∠AED=90°，

∴∠ADC=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∴∠ADE=∠B=α且cosα= ，AB=10，

BD=8．

当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，

∵∠CDE=90°，

∴∠BAD=90°，

∵∠B=α且cosα= ．AB=10，

∴cosB= = ，

∴BD=12.5．

故③正确．

④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，

设BD=y，CE=x，

∴ = ，

∴ = ，

整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，

即（y﹣8）2=64﹣10x，

∴0＜x≤6.4．

故④正确．

正确的有①②③④．

故选：D．

点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等．

二、填空题（每题3分，共21分）

11．分解因式：ax2﹣4a=a（x+2）（x﹣2）．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答： 解：ax2﹣4a，

=a（x2﹣4），

=a（x+2）（x﹣2）．

点评： 本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12．函数y= 的自变量x的取值范围x＞1．

考点： 函数自变量的取值范围．

分析： 根据二次根式被开放数大于等于0和分式的分母不为0回答即可．

解答： 解：由题意得：x﹣1≥0，且x﹣1≠0．

解得：x＞1．

故答案为：x＞1．

点评： 本题主要考查的函数自变量的取值范围问题，明确二次根式被开放数大于等于0和分式的分母不为0是解题的关键．

13．已知关于x的一元二次方程x2+（3﹣k）x﹣3k=0有一个实数根是1，则这个方程的另一个实数根是﹣3．

考点： 根与系数的关系；根的判别式．

专题： 计算题．

分析： 先根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程1+3﹣k﹣3k=0求出k的值，则原方程化为x2+2x﹣3=0，设另一个根为t，根据根与系数的关系得到则1?t=﹣3，然后解此方程即可．

解答： 解：把x=1代入方程得1+3﹣k﹣3k=0，解得k=1，

则原方程化为x2+2x﹣3=0，

设另一个根为t，则1?t=﹣3，解得t=﹣3，

所以这个方程的另一个实数根为﹣3．

故答案为﹣3．

点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了一元二次方程的解．

14．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1＞y2（填“＞”、“＜”或“=”）．

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

分析： 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．

解答： 解：∵a=1＞0，

∴二次函数的图象开口向上，

由二次函数y=（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x=1，

∵x1＞x2＞1，

∴两点均在对称轴的右侧，

∵此函数图象开口向上，

∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

∵x1＞x2＞1，

∴y1＞y2．

故答案为：＞．

点评： 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．

15．不等式组 的解集是﹣ ≤x＜4．

考点： 解一元一次不等式组．

分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解答： 解： ，由①得，x≥﹣ ，由②得，x＜4，

故不等式组的解集为：﹣ ≤x＜4．

故答案为：﹣ ≤x＜4．

点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=3．

考点： 角平分线的性质；勾股定理．

分析： 过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．

解答： 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB= = =10，

∵AD平分∠CAB，

∴CD=DE，

∴S△ABC= AC?CD+ AB?DE= AC?BC，

即 ×6?CD+ ×10?CD= ×6×8，

解得CD=3．

故答案为：3．

点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．

17．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，A、B、P是⊙O上的点，则tan∠APB=1．

考点： 圆周角定理；锐角三角函数的定义．

专题： 网格型．

分析： 先根据圆周角定理得到∠APB= ∠AOB=45°，然后根据特殊角的三角函数值求解．

解答： 解：∵∠AOB=90°，

∴∠APB= ∠AOB=45°，

∴tan∠APB=tan45°=1．

故答案为1．

点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了锐角三角函数的定义．

三、解答题（共9小题，69分）

18．计算：|1﹣2sin60°|+ +（﹣tan30°）﹣1．

考点： 特殊角的三角函数值；负整数指数幂．

分析： 将特殊角的三角函数值代入求解即可．

解答： 解：原式= ﹣1+1﹣

=0．

点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

19．先化简，再求值： ，其中x=3．

考点： 分式的化简求值．

分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

解答： 解：

= ÷（ ﹣ ）

= ÷

= ，

将x=3代入原式得：原式= =1．

点评： 本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．

20．甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足|m﹣n|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”．画树状图（或列表）求甲、乙两人“心有灵犀”的概率．

考点： 列表法与树状图法．

分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与m、n满足|m﹣n|≤1情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，m、n满足|m﹣n|≤1的有10种情况，

∴甲、乙两人“心有灵犀”的概率为： = ．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

21．已知：平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；

（1）求证：BH=AB；

（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．

考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．

专题： 证明题；几何综合题．

分析： （1）根据平行四边形性质推出DC=AB，DC∥AB，得出∠C=∠EBH，∠CDE=∠H，根据AAS证△CDE≌△BHE即可；

（2）根据菱形的性质推出AD=CD，AF=CE，∠A=∠C，推出△ADF≌△CDE，得出∠CDE=∠ADF，根据平行线性质推出∠CDE=∠H，∠ADF=∠G，即可得到答案．

解答： 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB，DC∥AB，

∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H，

又∵E是CB的中点，

∴CE=BE，

在△CDE和△BHE中

，

∴△CDE≌△BHE，

∴BH=DC，

∴BH=AB．

（2）∠G=∠H，

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，

∴∠ADF=∠G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C，

∵E、F分别是CB、AB的中点，

∴AF=CE，

在△ADF和△CDE中

，

∴△ADF≌△CDE，

∴∠CDE=∠ADF，

∴∠H=∠G．

点评： 本题考查了平行线的性质，平行四边形性质，菱形性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要培养了学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度也适中．

22．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 （即AB：BC= ），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题： 应用题．

分析： 通过构造直角三角形分别表示出BC和AM，得到有关的方程求解即可．

解答： 解：如图，过点A作AM⊥DE于点M，交CD于点F，

则四边形ABEM为矩形，

∴AM=BE，EM=AB=2，

设DE=x，

在Rt△CDE中，CE= = ，

在Rt△ABC中，∵ ，AB=2，

∴BC=2 ，

在Rt△AMD中，DM=DE﹣EM=x﹣2，

∴AM= = （x﹣2），

∵AM=BE=BC+CE，

∴ （x﹣2）=2 + ，

解得x=6．

答：树高为6米．

点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系求解．

23．2023年10月，雾霾天气笼罩中国中东部大部分地区，北京及全国多个城市PM2.5严重超标，多地空气质量达严重污染，环境治理已成为民生中的热点问题，小强为了了解本市空气质量情况，从“中国环境保护网”数据中心查询到本市2023年全年的空气质量级别资料，用简单随机抽样的方法选取60天，并得出如下所示的统计表和扇形统计图：

空气质量级别 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染

天数 10 a 4 b 3 2

请你根据所给信息解答下列问题：

（1）求a，b的值；

（2）这次抽样中，“空气质量不低于良”的频率为 ；

（3）画出本市60天空气质量情况条形统计图；

（4）根据这次抽样结果，请你估计2023年全年（共365天）空气质量为优良的天数是多少？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）根据轻度污染所占的百分比，即可求出b的值，a═60﹣10﹣4﹣3﹣2﹣3=38（天）；

（2）用优、良的天数除以总天数，即可解答；

（3）根据表格，即可补全统计图；

（4）用365乘以 ，即可解答．

解答： 解：（1）b=60×5%=3（天），a=60﹣10﹣4﹣3﹣2﹣3=38（天）；

（2）这次抽样中，“空气质量不低于良”的频率为： ，故答案为： ；

（3）如图所示：

（4）365× =372，

答：估计2023年全年（共365天）空气质量为优良的天数是372天．

点评： 本题考查统计知识的应用，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．

24．已知某商品每件的成本为20元，第x天（x≤90）的售价和销量分别为y元/件和（180﹣2x）件，设第x天该商品的销售利润为w元，请根据所给图象解决下列问题：

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于2023元？

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；

（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；

（3）根据二次函数值大于或等于2023，一次函数值大于或等于2023，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．

解答： 解：（1）当1≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，

∵当x=1时，y=31，当x=50，y=80，

∴ ，

解得：

∴y=x+30，

∴当1≤x≤50时，w=（x+30﹣20）（180﹣2x）=﹣2x2+160x+2023；

当50＜x≤90时，w=（80﹣20）（180﹣2x）=﹣120x+20230；

（2）w=﹣2x2+180x+2023=﹣2（x﹣40）2+2023，

∴当x=40时取得最大值2023元；

∵w=﹣120x+20230；

∴当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，

当x=50时，y最大=2023，

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是2023元；

（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+2023≥2023，解得20≤x≤60，

因此利润不低于2023元的天数是20≤x＜50，共30天；

当50≤x≤90时，y=﹣120x+20230≥2023，解得x≤55，

因此利润不低于2023元的天数是50≤x≤55，共6天，

所以该商品在销售过程中，共36天每天销售利润不低于2023元．

点评： 本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．

25．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．

（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；

（2）求证： = ；

（3）若BC= AB，求tan∠CDF的值．

考点： 切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

专题： 几何综合题；压轴题．

分析： （1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等；

（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论；

（3）通过设BC=3x，AB=2x，根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值．

解答： （1）解：∠CBD与∠CEB相等，

证明：∵BC切⊙O于点B，

∴∠CBD=∠BAD，

∵∠BAD=∠CEB，

∴∠CEB=∠CBD，

（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，

∴∠EBC=∠BDC，

∴△EBC∽△BDC，

∴ ，

（3）解：∵AB、ED分别是⊙O的直径，

∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，

∵BC切⊙O于点B，

∴AB⊥BC，

∵BC= ，

∴ ，

设BC=3x，AB=2x，

∴OB=OD=x，

∴OC= ，

∴CD=（ ﹣1）x，

∵AO=DO，

∴∠CDF=∠A=∠DBF，

∴△DCF∽△BCD，

∴ ，

∵tan∠DBF= = ，

∴tan∠CDF= ．

点评： 本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，关键在于：（1）熟练运用圆周角定理，切线的性质；（2）根据（1）的结论和已知条件推出△EBC∽△BDC；（3）关键在于通过求证△DCF∽△BCD，根据对应边成比例的性质求出tan∠DBF的值．

26．（12分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；

（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

考点： 二次函数综合题．

专题： 综合题；压轴题．

分析： （1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；

（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；

（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF=∠CBA，然后判断出 是否等于 即可作出判断．

解答： 解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，

由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），

可得 ，

解得： ，

故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得： ，

解得： ，

即直线BC的解析式为y=﹣2x+2．

故可得点E的坐标为（0，2），

从而可得：AE= =2 ，CE= =2 ，

故可得出AE=CE；

（3）相似．理由如下：

设直线AD的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得： ，

即直线AD的解析式为y=x+4．

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得： ，

解得： ，

即点F的坐标为（﹣ ， ），

则BF= = ，

又∵AB=5，BC= =3 ，

∴ = ， = ，

∴ = ，

又∵∠ABF=∠CBA，

∴△ABF∽△CBA．

故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．

点评： 此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，解答本题要求我们仔细审题，将所学知识联系起来，综合解答．