庄河二中2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

庄河二中2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题

1．方程：① ，②2x2﹣5xy+y2=0，③7x2+1=0，④ 中一元二次方程是（）

A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和③

2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（）

A． x=2 B． x=﹣2 C． x1=2，x2=﹣2 D． x1= ，x2=﹣

3．方程x2﹣3x﹣2=0的根的情况是（）

A． 方程有两个相等的实数根 B． 方程有两个不相等的实数根

C． 方程没有实数根 D． 方程的根的情况无法确定

4．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴是（）

A． 直线x=﹣2 B． 直线x=2 C． 直线x=﹣3 D． 直线x=3

5．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A． y=3（x﹣1）2﹣2 B． y=3（x+1）2﹣2 C． y=3（x+1）2+2 D． y=3（x﹣1）2+2

6．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y= x2，y=﹣ x2的共同特点是（）

A． 关于y轴对称，开口向上

B． 关于y轴对称，y随x的增大而增大

C． 关于y轴对称，y随x的增大而减小

D． 关于y轴对称，顶点是原点

7．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的常数项为0，则a的值等于（）

A． 1或﹣1 B． 2 C． 1 D． 0

8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列四个结论中：

①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．

错误的个数有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

二、填空题

9．方程x（x﹣2）=0的根是．

10．如果x=2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，则b=．

11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是．

12．某县2023年农民人均年收入为7 800元，计划到2023年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程．

13．抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴是直线．

14．边长为2的正方形，如果边长增加x，则面积S与x之间的函数关系式是S=．

15．若二次函数y=2x2经过平移后顶点的坐标为（﹣2，3），则平移后的解析式为．

16．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为．

三、解答题

17．解方程：

（1）（x﹣2）2=1；

（2）2x2﹣4x﹣1=0．

18．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用22m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

19．已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6，完成下列各题：

（1）将函数关系式用配方法化为y=a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；

（2）它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S△ABC．

四、解答题

20．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利2023元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

21．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．

（1）求m的值和抛物线的解析式；

（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）

22．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y= x2+3x+1的一部分，如图所示．

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

五．解答题

23．如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A﹣B﹣C﹣D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．

（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；

（2）设P点运动时间为t（秒）．

①当t=5时，求出点P的坐标；

②若△OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．

24．△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为他们的公共直角顶点，连AD，BE，F为线段AD的中点，连CF．

（1）如图1，当D点在BC上时，试探索BE与CF的关系，并证明；

（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．

25．如图，二次函数 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．

（1）求直线AC的解析式；

（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；

（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；

（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．

庄河二中2023初三年级数学上册期中测试卷(含答案解析)与试题解析

一、选择题

1．方程：① ，②2x2﹣5xy+y2=0，③7x2+1=0，④ 中一元二次方程是（）

A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和③

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解答： 解：①不是整式方程，故错误；

②含有2个未知数，故错误；

③正确；

④正确．

则是一元二次方程的是③④．故选C．

点评： 一元二次方程必须满足四个条件：首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．

2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（）

A． x=2 B． x=﹣2 C． x1=2，x2=﹣2 D． x1= ，x2=﹣

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．

分析： 观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即x2=4，即原题转化为求4的平方根．

解答： 解：移项得：x2=4，

∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．

故选：C．

点评： （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．方程x2﹣3x﹣2=0的根的情况是（）

A． 方程有两个相等的实数根 B． 方程有两个不相等的实数根

C． 方程没有实数根 D． 方程的根的情况无法确定

考点： 根的判别式．

分析： 直接根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．

解答： 解：∵方程x2﹣3x﹣2=0中，△=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

4．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴是（）

A． 直线x=﹣2 B． 直线x=2 C． 直线x=﹣3 D． 直线x=3

考点： 二次函数的性质．

分析： 直接根据顶点式的特点可直接写出对称轴．

解答： 解：因为抛物线解析式y=（x﹣2）2+3是顶点式，顶点坐标为（2，3），所以对称轴为直线x=2．

故选B．

点评： 主要考查了求抛物线的对称轴的方法．

5．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A． y=3（x﹣1）2﹣2 B． y=3（x+1）2﹣2 C． y=3（x+1）2+2 D． y=3（x﹣1）2+2

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．

解答： 解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）2﹣2，

故选：A．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

6．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y= x2，y=﹣ x2的共同特点是（）

A． 关于y轴对称，开口向上

B． 关于y轴对称，y随x的增大而增大

C． 关于y轴对称，y随x的增大而减小

D． 关于y轴对称，顶点是原点

考点： 二次函数的图象．

分析： 形如y=ax2的抛物线共同特点就是：关于y轴对称，顶点是原点，a正负性决定开口方向．a的绝对值大小决定开口的大小．

解答： 解：因为抛物线y=4x2，y= x2，y=﹣ x2都符合抛物线的最简形式y=ax2，其对称轴是y轴，顶点是原点．

故选D．

点评： 要求掌握形如y=ax2的抛物线性质．

7．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的常数项为0，则a的值等于（）

A． 1或﹣1 B． 2 C． 1 D． 0

考点： 一元二次方程的一般形式．

分析： 根据一元二次方程的定义解答．

解答： 解：∵一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的常数项为0，

∴ ，

解得a=1，

故选C．

点评： 本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列四个结论中：

①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．

错误的个数有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 根据对称轴方程，抛物线开口方向、与y轴交点坐标位置确定a、b、c的负号，根据图象知x=﹣1与x=1时所对应的y的负号进行判断．

解答： 解：如图所示，∵抛物线开口方向向下，

∴a＜0．

又对称轴﹣1＜x=﹣ ＜0，

∴b＜0，且b＞2a，则2a﹣b＜0．

故①正确；

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＜0．

故②正确；

如图所示，当x=1时，y＜0，即 a+b+c＜0．故③正确；

④如图所示，当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故④错误．

综上所述，错误的个数是1．

故选：A．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

二、填空题

9．方程x（x﹣2）=0的根是0，2．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

专题： 计算题．

分析： 根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”来解该题．

解答： 解：x（x﹣2）=0

即：x=o或x﹣2=0

解得x=0或x=2

故答案为：0，2．

点评： 因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

10．如果x=2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，则b=﹣3．

考点： 一元二次方程的解．

分析： 把x=2代入方程x2+bx+2=0得出方程4+2b+2=0，求出方程的解即可．

解答： 解：把x=2代入方程x2+bx+2=0得：4+2b+2=0，

解得：b=﹣3，

故答案为：﹣3．

点评： 本题考查了一元二次方程的解，解此题的关键是能否得出一个关于b的方程．

11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．

考点： 根的判别式．

分析： 根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，得出△=4+4k＜0，再进行计算即可．

解答： 解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=4+4k＜0，

∴k的取值范围是k＜﹣1；

故答案为：k＜﹣1．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

12．某县2023年农民人均年收入为7 800元，计划到2023年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程2023（x+1）2=2023．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 增长率问题．

分析： 主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．

解答： 解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2023（x+1）2=2023．

故答案为：2023（x+1）2=2023．

点评： 本题重点考查列一元二次方程解答有关平均增长率问题．本题易错误为：2023（1+x）×2=2023，其错误的原因是把2023年、2023年人均年收入相对的整体“1”看成2023年的人均年收入．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1﹣x）2=b（a＞b）．

13．抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x=1．

考点： 二次函数的性质．

分析： 利用顶点坐标公式，可求顶点横坐标，即为对称轴．也可以利用配方法求对称轴．

解答： 解：解法1：利用公式法

y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（ ， ），代入数值求得对称轴是直线x=1；

解法2：利用配方法

y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，故对称轴是直线x=1．

故答案为：x=1．

点评： 求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值通常有两种方法：（1）公式法；（2）配方法．

14．边长为2的正方形，如果边长增加x，则面积S与x之间的函数关系式是S=x2+4x+4．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 依据新正方形的面积=新边长2，即可求解．

解答： 解：新正方形的边长是x+2，则面积S=（x+2）2=x2+4x+4．

点评： 根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．

15．若二次函数y=2x2经过平移后顶点的坐标为（﹣2，3），则平移后的解析式为y=2x2+8x+11．

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 几何变换．

分析： 由于平移后抛物线的开口方向和形状没改变，即a的值不变，则可根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

解答： 解：抛物线y=2x2经过平移后顶点的坐标为（﹣2，3），

则平移后的解析式为y=2（x+2）2+3=2x2+8x+11．

故答案为y=2x2+8x+11．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

16．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为8．

考点： 二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；

当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．

解答： 解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；

当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；

由于此时D点横坐标最大，

故点D的横坐标最大值为8；

故答案为：8．

点评： 本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．

三、解答题

17．解方程：

（1）（x﹣2）2=1；

（2）2x2﹣4x﹣1=0．

考点： 解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．

专题： 计算题．

分析： （1）方程利用平方根定义计算即可求出解；

（2）方程利用公式法求出解即可．

解答： 解：（1）开方得：x﹣2=1或x﹣2=﹣1，

解得：x1=3，x2=1；

（2）这里a=2，b=﹣4，c=﹣1，

∵△=16﹣4×2×（﹣1）=24＞0，

∴x= = ．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

18．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用22m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： 根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．

解答： 解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．

根据题意可得，x（50﹣2x）=300，

解得：x1=10，x2=15，

当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞22，

故x1=10（不合题意舍去），

当x=15时，BC=50﹣2×15=20（米）．

答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用22m，舍掉不符合题意的数据．

19．已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6，完成下列各题：

（1）将函数关系式用配方法化为y=a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；

（2）它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S△ABC．

考点： 二次函数的三种形式．

分析： （1）利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；

（2）令y=0解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可；

解答： 解：（1）y=﹣2x2+8x﹣6

=﹣2（x2﹣4x+3）

=﹣2（x2﹣4x+4﹣4+3．

=﹣2（x﹣2）2+2，

∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2．

（2）令﹣2（x﹣2）2+2=0

解得：x1=3，x2=1．

∴A（3，0），B（1，0）

∴AB=3﹣1=2．

∴C（2，2），

∴S△ABC= ×2×2=2．

点评： 本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便．

四、解答题

20．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利2023元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 销售问题；压轴题．

分析： 设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．

解答： 解：设每千克水果应涨价x元，

依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=2023，

整理，得x2﹣15x+50=0，

解这个方程，得x1=5，x2=10．

要使顾客得到实惠，应取x=5．

答：每千克水果应涨价5元．

点评： 解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利×日销售量．

21．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．

（1）求m的值和抛物线的解析式；

（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）

考点： 二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．

分析： （1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c，利用待定系数法解得y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；

（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2﹣3x+2＞x﹣1的图象上x的范围是x＜1或x＞3．

解答： 解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：

0=1+m， ，

∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，

所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；

（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．

点评： 主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力．

22．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y= x2+3x+1的一部分，如图所示．

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

考点： 二次函数的应用．

专题： 压轴题．

分析： （1）将二次函数化简为y=﹣ （x﹣ ）2+ ，即可解出y最大的值．

（2）当x=4时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上．

解答： 解：（1）将二次函数y= x2+3x+1化成y= （x ）2 ，（3分），

当x= 时，y有最大值，y最大值= ，（5分）

因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．（6分）

（2）能成功表演．理由是：

当x=4时，y= ×42+3×4+1=3.4．

即点B（4，3.4）在抛物线y= x2+3x+1上，

因此，能表演成功．（12分）．

点评： 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

五．解答题

23．如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A﹣B﹣C﹣D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．

（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；

（2）设P点运动时间为t（秒）．

①当t=5时，求出点P的坐标；

②若△OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．

考点： 二次函数综合题；矩形的性质．

专题： 动点型．

分析： 本题是二次函数的实际应用题，需要由易到难，逐步解答，（1）、（2）①比较简单，解答这两个问题，可以帮助我们理解题意，搞清楚题目数量关系；

②由于动点P的位置有三种可能，需要表达分段函数．

解答： 解：（1）P点从A点运动到D点所需的时间=（3+5+3）÷1=11（秒）

（2）①当t=5时，P点从A点运动到BC上，

过点P作PE⊥AD于点E．

此时A点到E点的时间=10秒，AB+BP=5，

∴BP=2

则PE=AB=3，AE=BP=2

∴OE=OA+AE=10+2=12

∴点P的坐标为（12，3）．

②分三种情况：

i.0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t，AP=t

∴s= ×2t×t=t2

ii.3＜t≤8时，点P在BC上运动，此时OA=2t

∴s= ×2t×3=3t

iii.8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t，AB+BC+CP=t

∴DP=（AB+BC+CD）﹣（AB+BC+CP）=11﹣t

∴s= ×2t×（11﹣t）=﹣t2+11t

综上所述，s与t之间的函数关系式是：

当0＜t≤3时，s=t2；

当3＜t≤8时，s=3t；

当8＜t＜11时，s=﹣t2+11t．

点评： 本题是二次函数与矩形性质的综合题，也是动态几何问题，需要从运动中找规律，分类讨论．

24．△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为他们的公共直角顶点，连AD，BE，F为线段AD的中点，连CF．

（1）如图1，当D点在BC上时，试探索BE与CF的关系，并证明；

（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．

考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质．

专题： 创新题型．

分析： （1）根据题干中给出的条件可以证明Rt△ADC≌Rt△BEC，可以得出CF= BE，且CF⊥BE；

（2）延长CF至点G使FG=FC，连接AG、GD，可证明△AGC≌△CEB同理可得CF= BE，且CF⊥BE．

解答： 解：（1）CF= BE，CF⊥BE．

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点

∴∠C=90°，

在Rt△ADC和Rt△BEC中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

又∵F为线段AD的中点，

∴CF=DF= AD，

∴CF= BE，∠ADC=∠FCD，

∴∠BEC=∠FCD，

∵∠BEC+∠EBC=90°，

∴∠FCD+∠EBC=90°，

∴CF⊥BE．

（2）依然成立，即CF= BE，CF⊥BE，

延长CF至点G使FG=FC，连接AG、GD，

∵F为线段AD的中点，

∴四边形ACDG为平行四边形，

∴AG∥CD，AG=CD，

∠GAC+∠ACD=180°，

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的共同直角顶点，

∴∠ACB=∠DCE=90°，CD=CE，AC=BC，

∴AG=CE，∠BCD+∠DAC+∠DAC+∠ACE=180°，

∴∠BCE+∠ACD=180°，

∴∠GAC=∠BCE，

在△AGC和△CEB中，

，

∴△AGC≌△CEB（SAS），

∴BE=CG，∠ACG=∠CBE

∵∠ACG+∠BCG=90°，

∴∠CBE+∠BCG=90°，

∴CF= BE，CF⊥BE．

点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了垂直的判定．

25．如图，二次函数 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．

（1）求直线AC的解析式；

（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；

（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；

（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

专题： 代数几何综合题；压轴题．

分析： （1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；

（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；

（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；

（4）过G作GH⊥y轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答： 解：（1）y=﹣ x2+2，

x=0时，y=2，

y=0时，x=±2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），

设直线AC的解析式是y=kx+b，

代入得： ，

解得：k=1，b=2，

即直线AC的解析式是y=x+2；

（2）当0≤t＜2时，

OP=（2﹣t），QC=t，

∴△PQC的面积为：S= （2﹣t）t=﹣ t2+t，

当2＜t≤4时，

OP=（t﹣2），QC=t，

∴△PQC的面积为：S= （t﹣2）t= t2﹣t，

∴ ；

（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，

AC=MC=BC时，M点坐标为（0，2﹣2 ）和（0，2+2 ）

当AC=AM=BC 时，M为（0，﹣2）

当AM=MC=BM时M为（0，0）．

∴一共四个点，（0， ），（0， ），（0，﹣2），（0，0）；

（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．

由AP=t，可得AE= ．

∵GH∥OP

∴ 即 = ，解得GH= ，

所以GC= GH= ．

于是，GE=AC﹣AE﹣GC= = ．

即GE的长度不变．

当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．

由AP=t，可得AE= ．

由 即 = ，

∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH，

∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2），

∴2tGH=t（t﹣2），

解得GH= ，

所以GC= GH= ．

于是，GE=AC﹣AE+GC=2 ﹣ t+ = ，

即GE的长度不变．

综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值 ．

点评： 本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．