曲阜市2023初三年级数学上册期中综合考试卷(含答案解析)

曲阜市2023初三年级数学上册期中综合考试卷(含答案解析)

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．下列是一元二次方程有（）个．

①4x2=0；②ax2+bx+c=0；③3（x﹣1）2=3x2+2x；④ ﹣1=0．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

2．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

3．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是（）

A． （x+4）2=7 B． （x+4）2=25 C． （x+4）2=﹣9 D． （x+4）2=﹣7

4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A． k＞﹣1 B． k＞﹣1且k≠0 C． k＜1 D． k＜1且k≠0

5．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则 + 的值为（）

A． 4 B． 6 C． 8 D． 10

6．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）

A． x=﹣ B． x=1 C． x=2 D． x=3

7．已知二次函数y=（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）

A． 有最小值0，有最大值3 B． 有最小值﹣1，有最大值0

C． 有最小值﹣1，有最大值3 D． 有最小值﹣1，无最大值

8．把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣3x+5，则（）

A． b=3，c=7 B． b=6，c=3 C． b=﹣9，c=﹣5 D． b=﹣9，c=21

9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（）

A． （20﹣x）（32﹣x）=540 B． （20﹣x）（32﹣x）=100 C． （20+x）（32﹣x）=540 D． （20+x）（32﹣x）=540

10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；③2a+b＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数（）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11．等腰三角形的两边长分别是方程3x2﹣7x+4=0的两个根，则此三角形的周长为．

12．设a，b是方程x2+x﹣2023=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为．

13．在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED的位置，使得DE∥AB，则∠DAB等于．

14．已知a＜﹣3，点A（a，y1），B（a+1，y2）都在二次函数y=2x2+3x图象上，那么y1、y2的大小关系是．

15．如图是抛物线y=ax2+2ax+2图象的一部分，（﹣3，0）是图象与x轴的一个交点，则不等式ax2+2ax+2＞0的解集是．

16．如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为．

三、解答题（本题有7小题，共52分）：

17．用适当的方法解下列方程：

（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0；

（2）x2﹣2x﹣2=0．

18．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．

①画出“基本图形”关于原点O对称的四边形A1B1C1D1，并填出A1，B1，C1，D1的坐标；

②画出“基本图形”绕B点顺时针旋转90°所成的四边形A2B2C2D2

A1（，）B1（，）

C1（，）D1（，）

19．为解方程x4﹣5x2+4=0，我们可以将x2视为一个整体，然后设x2=y，则x4=y2，

原方程化为y2﹣5y+4=0．①

解得y1=1，y2=4

当y=1时，x2=1．∴x=±1

当y=4时，x2=4，∴x=±2．

∴原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2

解答问题：

（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想．

（2）解方程：（x2﹣2x）2+x2﹣2x﹣6=0．

20．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．

（1）求出m的值和抛物线与x轴的交点．

（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

（3）x取什么值时，y＞0？

21．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，3），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．当点P运动到点（ ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标．

22．某商场将进价为2023元的冰箱以2023元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利2023元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

23．（10分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

曲阜市2023初三年级数学上册期中综合考试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．下列是一元二次方程有（）个．

①4x2=0；②ax2+bx+c=0；③3（x﹣1）2=3x2+2x；④ ﹣1=0．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解答： 解：①4x2=0符合一元二次方程的定义，正确；

②ax2+bx+c=0方程二次项系数可能为0，故错误；

③3（x﹣1）2=3x2+2x整理后不含二次项，故错误；

④ ﹣1=0不是整式方程，故错误，

故选：A．

点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 中心对称图形．

分析： 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答： 解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是中心对称图形，故B选项错误；

C、不是中心对称图形，故C选项错误；

D、是中心对称图形，故D选项正确．

故选D．

点评： 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．

3．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是（）

A． （x+4）2=7 B． （x+4）2=25 C． （x+4）2=﹣9 D． （x+4）2=﹣7

考点： 解一元二次方程-配方法．

专题： 配方法．

分析： 配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

解答： 解：∵x2+8x+9=0

∴x2+8x=﹣9

∴x2+8x+16=﹣9+16

∴（x+4）2=7

故选A．

点评： 解决本题容易出现的错误是移项忘记变号，并且配方时是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A． k＞﹣1 B． k＞﹣1且k≠0 C． k＜1 D． k＜1且k≠0

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

分析： 根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴ ，即 ，

解得k＞﹣1且k≠0．

故选B．

点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．

5．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则 + 的值为（）

A． 4 B． 6 C． 8 D． 10

考点： 根与系数的关系．

分析： 先根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，再根据 + = ，然后代入数值计算即可．

解答： 解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，

∴x1+x2=﹣6，x1x2=3，

∴ + = = =10．

故选D．

点评： 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及代数式求值的方法，属于基础题型，比较简单．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

6．若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）

A． x=﹣ B． x=1 C． x=2 D． x=3

考点： 二次函数的性质．

专题： 函数思想．

分析： 由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．

解答： 解：因为抛物线与x轴相交于点（2，5）、（4，5），

根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，

所以，对称轴x= =3；

故选D．

点评： 本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．

7．已知二次函数y=（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）

A． 有最小值0，有最大值3 B． 有最小值﹣1，有最大值0

C． 有最小值﹣1，有最大值3 D． 有最小值﹣1，无最大值

考点： 二次函数的最值．

分析： 根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．

解答： 解：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3．

故选C．

点评： 此题主要考查了根据函数图象判断函数的最值问题，结合图象得出最值是利用数形结合，此知识是部分考查的重点．

8．把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣3x+5，则（）

A． b=3，c=7 B． b=6，c=3 C． b=﹣9，c=﹣5 D． b=﹣9，c=21

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 压轴题．

分析： 可逆向求解，将y=x2﹣3x+5向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线即为y=x2+bx+c，进而可判断出b、c的值．

解答： 解：y=x2﹣3x+5=（x﹣ ）2+ ，将其向上平移2个单位，得：y=（x﹣ ）2+ ．

再向左平移3个单位，得：y=（x+ ）2+ =x2+3x+7．

因此b=3，c=7．

故选A．

点评： 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

9．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（）

A． （20﹣x）（32﹣x）=540 B． （20﹣x）（32﹣x）=100 C． （20+x）（32﹣x）=540 D． （20+x）（32﹣x）=540

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

分析： 本题根据题意表示出种草部分的长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，再根据题目中的等量关系建立起式子就可以了．

解答： 解：由题意，得

种草部分的长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，

∴由题意建立等量关系，得

（20﹣x）（32﹣x）=540．

故A答案正确，

故选A．

点评： 本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．

10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；③2a+b＞0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数（）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的位置及x=﹣1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：由二次函数的图象可得a＜0，b＞0，c＞0，对称轴0＜﹣ ＜1，

①由a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，故选项错误；

②由于对称轴交x轴的正半轴，即﹣ ＞0所以方程ax2+bx=0的两根之和大于0；故选项正确；

③由a＜0，b＞0，对称轴0＜﹣ ＜1，则2a+b＜0；故选项错误；

④由函数图象可以看出x=﹣1时二次函数的值为负，故选项正确．

故选C．

点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值．

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11．等腰三角形的两边长分别是方程3x2﹣7x+4=0的两个根，则此三角形的周长为 或 ．

考点： 等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

分析： 利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．

解答： 解：3x2﹣7x+4=0，

（3x﹣4）（x﹣1）=0，

所以x1= ，x2=1，

当2是腰时，三角形的三边分别为 、 、1，能组成三角形，周长为 ；

当3是腰时，三角形的三边分别为1、1、 ，能组成三角形，周长为 ．

故答案为： 或 ．

点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．

12．设a，b是方程x2+x﹣2023=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2023．

考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．

分析： 根据根与系数的关系，可先求出a+b的值，然后代入所求代数式，又因为a是方程x2+x﹣2023=0的根，把a代入方程可求出a2+a的值，再代入所求代数式可求值．

解答： 解：根据题意得a+b=﹣1，ab=﹣2023，

∴a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a﹣1，

又∵a是x2+x﹣2023=0的根，

∴a2+a﹣2023=0，

∴a2+a=2023，

∴a2+2a+b=2023﹣1=2023．

点评： 根据根与系数的关系、以及方程根的定义可求此题．

13．在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED的位置，使得DE∥AB，则∠DAB等于30°．

考点： 旋转的性质．

专题： 计算题．

分析： 先利用平行线的性质得∠ACE=∠CAB=75°，再根据旋转的性质得AC=AE，∠DAB=∠EAC，则∠AEC=∠ACE=75°，接着利用三角形内角和定理可计算出∠CAE=30°，于是得到∠DAB=30°．

解答： 解：∵CE∥AB，

∴∠ACE=∠CAB=75°，

∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AED的位置，

∴AC=AE，∠DAB=∠EAC

∴∠AEC=∠ACE=75°，

∴∠CAE=30°，

∴∠DAB=30°．

故答案为30°．

点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

14．已知a＜﹣3，点A（a，y1），B（a+1，y2）都在二次函数y=2x2+3x图象上，那么y1、y2的大小关系是y1＞y2．

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

专题： 计算题．

分析： 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=﹣ ，则可判断点A和点B都在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质比较y1、y2的大小．

解答： 解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣ ，

∵a＜﹣3，点A（a，y1），B（a+1，y2），

∴点A和点B都在对称轴的左侧，

而a＜a+1，

∴y1＞y2．

故答案为y1＞y2．

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

15．如图是抛物线y=ax2+2ax+2图象的一部分，（﹣3，0）是图象与x轴的一个交点，则不等式ax2+2ax+2＞0的解集是﹣3＜x＜1．

考点： 二次函数与不等式（组）．

分析： 求出抛物线的对称轴，再求出抛物线与x轴的另一交点坐标，然后判断出抛物线图象开口向下，再写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．

解答： 解：对称轴为直线x=﹣ =﹣1，

∵（﹣3，0）是图象与x轴的一个交点，

∴图象与x轴的另一个交点为（1，0），

令x=0，则y=2，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），

∴抛物线图象开口向下，

∴ax2+2ax+2＞0的解集是﹣3＜x＜1．

故答案为：﹣3＜x＜1．

点评： 本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称轴，二次函数的对称性，难点在于判断出抛物线图象开口向下．

16．如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为（ ， ）．

考点： 待定系数法求二次函数解析式．

分析： 首先求得A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线OB的解析式，然后解OB的解析式与二次函数的解析式组成的方程组即可求解．

解答： 解：A的坐标是（1，0）、C坐标是（0，1），设出解析式是y=a（x﹣1）2，把C的坐标代入得：a（﹣1）2=1，

解得：a=1，

则抛物线的解析式是：y=（x﹣1）2；

∵B的坐标是（1，1），

设OB解析式的解析式是y=kx，则k=1，则OB的解析式是y=x．

根据题意得： ，

解得： （舍去），或 ．

则D的坐标是：（ ， ）．

故答案为：（ ， ）．

点评： 本题是正方形与待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，正确求得二次函数的解析式是关键．

三、解答题（本题有7小题，共52分）：

17．用适当的方法解下列方程：

（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0；

（2）x2﹣2x﹣2=0．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．

分析： （1）先整理方程，方程左边可以提公因式x﹣3，因而用因式分解法求解比较简单；

（2）用公式法求解．

解答： 解：（1）原方程可化为：（x﹣3）（x﹣3+2x）=0

（x﹣3）（x﹣1）=0

x1=3，x2=1．

（2）x2﹣2x﹣2=0

∵a=1，b=﹣2，c=﹣2

∴x= = =1 ．

点评： 本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

18．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．

①画出“基本图形”关于原点O对称的四边形A1B1C1D1，并填出A1，B1，C1，D1的坐标；

②画出“基本图形”绕B点顺时针旋转90°所成的四边形A2B2C2D2

A1（﹣4，﹣4）B1（﹣1，﹣3）

C1（﹣3，﹣3）D1（﹣3，﹣1）

考点： 坐标与图形变化-旋转；关于原点对称的点的坐标．

分析： ①根据已坐标系中点关于原点对称的坐标特点，横纵坐标互为相反数，即可得出答案；

②将图形顶点逆时针旋转90度即可得出答案．

解答： 解：①根据已坐标系中点关于原点对称的坐标特点，即可得出答案：

A1（﹣4，﹣4），B1（﹣1，﹣3），

C1（﹣3，﹣3），D1（﹣3，﹣1）；

②如图所示：

点评： 此题主要考查了图形的对称与旋转，实际上就是坐标系里的轴对称，中心对称的问题，要明确关于原点对称，通过画图，图形由部分到整体，体现了对称的美感．

19．为解方程x4﹣5x2+4=0，我们可以将x2视为一个整体，然后设x2=y，则x4=y2，

原方程化为y2﹣5y+4=0．①

解得y1=1，y2=4

当y=1时，x2=1．∴x=±1

当y=4时，x2=4，∴x=±2．

∴原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2

解答问题：

（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．

（2）解方程：（x2﹣2x）2+x2﹣2x﹣6=0．

考点： 换元法解一元二次方程．

专题： 阅读型．

分析： （1）根据换元法的定义得到例题中使用了换元法，把四次降为2次，这体现了转化的数学思想；

（2）设x2﹣2x=t，则原方程化为t2+t﹣6=0，解得t1=﹣3，t2=2，再分别解方程x2﹣2x=﹣3和x2﹣2x=2，然后写出原方程的解．

解答： 解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．

故答案为换元，转化；

（2）设x2﹣2x=t，

原方程化为t2+t﹣6=0，解得t1=﹣3，t2=2，

当t=﹣3时，x2﹣2x=﹣3，即x2﹣2x+3=0，此方程无实数解；

当t=2时，x2﹣2x=2，解得x1=1+ ，x2=1﹣ ，

所以原方程的解为x1=1+ ，x2=1﹣ ．

点评： 本题考查了换元法解一元二次方程：把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

20．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．

（1）求出m的值和抛物线与x轴的交点．

（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

（3）x取什么值时，y＞0？

考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

分析： （1）直接将（0，3）代入求出m的值，进而得出令y=0，求出图象与x轴交点坐标即可；

（2）首先求出抛物线对称轴，再利用函数图象开口向下，进而得出二次函数增减性即可；

（3）利用函数图象进而得出y＞0时，x的取值范围．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点，

∴m=3，

则y=﹣x2+2x+3，

当y=0，则x2﹣2x﹣3=0，

即（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

则抛物线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）；

（2）∵a=﹣1＜0，对称轴为：x=﹣ =1，

∴当x＞1时，y的值随x的增大而减小；

（3）∵当x=1时，y=4，

∴图象的顶点坐标为：（1，4），

如图所示：

，

故﹣1＜x＜3时，y＞0．

点评： 此题主要考查了二次函数图象与x轴交点以及二次函数的性质，画出函数图象是解题关键．

21．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，3），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．当点P运动到点（ ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标．

考点： 旋转的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

分析： 根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠OAB=60°，然后根据对应边的夹角∠OAB为旋转角求出∠PAD=60°，再判断出△APD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得DP=AP，根据点A、P的坐标求出∠OAP=30°，利用勾股定理列式求出AP，从而得到DP，再求出∠OAD=90°，然后写出点D的坐标即可．

解答： 解：∵△AOB是等边三角形，

∴∠OAB=60°，

∵△AOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与AB重合，

∴旋转角=∠OAB=∠PAD=60°，

AD=AP，

∴△APD是等边三角形，

∴DP=AP，∠PAD=60°，

∵A的坐标是（0，3），P（ ，0），

∴∠OAP=30°，AP= =2 ，

∴DP=AP=2 ，

∵∠OAP=30°，∠PAD=60°，

∴∠OAD=30°+60°=90°，

∴点D的坐标为（2 ，3）．

点评： 本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质并判断出△APD是等边三角形是解题的关键．

22．某商场将进价为2023元的冰箱以2023元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利2023元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．

（2）已知函数解析式，设y=2023可从实际得x的值．

（3）利用x=﹣ 求出x的值，然后可求出y的最大值．

解答： 解：（1）根据题意，得y=（2023﹣2023﹣x）（8+4× ），

即y=﹣ x2+24x+2023；

（2）由题意，得﹣ x2+24x+2023=2023．

整理，得x2﹣300x+20230=0．

解这个方程，得x1=100，x2=200．

要使百姓得到实惠，取x=200元．

∴每台冰箱应降价200元；

（3）对于y=﹣ x2+24x+2023=﹣ （x﹣150）2+2023，

当x=150时，

y最大值=2023（元）．

所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是2023元．

点评： 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．

23．（10分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题；开放型．

分析： （1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；

（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；

（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．

解答： 解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得

（2分）

∴ （3分）

∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（4分）

（2）存在（5分）

理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称

∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小

∵y=﹣x2﹣2x+3

∴C的坐标为：（0，3）

直线BC解析式为：y=x+3（6分）

Q点坐标即为

解得

∴Q（﹣1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）

理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）

∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣

若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，

∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC（9分）

= BE?PE+ OE（PE+OC）

= （x+3）（﹣x2﹣2x+3）+ （﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）

=

当x=﹣ 时，S四边形BPCO最大值=

∴S△BPC最大= （10分）

当x=﹣ 时，﹣x2﹣2x+3=

∴点P坐标为（﹣ ， ）．（11分）

点评： 此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．