金华四中2023初三年级数学上学期期中重点试卷(含答案解析)

金华四中2023初三年级数学上学期期中重点试卷(含答案解析)

一．选择题（每小题 3分，共30分.）．

1．若反比例函数y=﹣ 的图象经过点A（2，m），则m的值是()

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．

考点：待定系数法求反比例函数解析式．

专题：计算题；待定系数法．

分析：直接把点的坐标代入解析式即可．

解答： 解：把点A代入解析式可知：m=﹣ ．

故选C．

点评：主要考查了反比例函数的求值问题．直接把点的坐标代入解析式即可求出点坐标中未知数的值．

2．抛物线y=（x﹣2）2﹣2的顶点坐标是()

A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2） D．（﹣2，2）

考点：二次函数的性质．

分析：因为y=（x﹣2）2﹣2是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．

解答： 解：∵抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣2，

∴二次函数图象的顶点坐标是（2，﹣2）．

故选A．

点评：根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．

3．在反比例函数y= 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是()

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

考点： 反比例函数的性质．

专题：函数思想．

分析：对于函数 来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．

解答： 解：反比例函数 的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，

∴1﹣k＜0，

∴k＞1．

故选：D．

点评：本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式 中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．

4．矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为()

A． B． C． D．

考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象．

分析：首先由矩形的面积公 式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．

解答： 解：由矩形的面积4=xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y= （x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．

故选B．

点评：反比例函数y= 的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．

5．若点P1（﹣1，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3），都在函数y=x2﹣2x+3的图象上，则()

A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3

考点：二次函数图象上点的坐标特征．

专题：计算题．

分析：抛物线y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，可知抛物线对称轴为x=1，开口向上，p1，p2在对称轴左边，y随x的增大而减小，p3为最低点故可判断y1，y2，y3的大小．

解答： 解：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，

∴抛物线对称轴为x=1，开口向上，

在对称轴的左边，y随x的增大而减小，

又∵1＞﹣1＞﹣2，

∴y2＞y1＞y3．故选C．

点评：本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．

6．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是()

A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1

考点：二次函数的图象．

分析：根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．

解答： 解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=﹣1，

根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），

又图象开口向下，

∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．

故选：B．

点评：主要考查了二次函数图象的对称性．要会利用对称轴和与x轴的一个交点坐标求与x轴的另一个交点坐标．

7．（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为()

A． B． C． D．

考点：概率公式；二次函数图象上点的坐标特征．

专题：压轴题．

分析：因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．

解答： 解：点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线y=﹣x2+4x上的共有（1，3）、（2，4）、（3，3）3种可能，其概率为 ．

故选B．

点评：本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．

8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+b+c=0；④a＞0．其中正确的有()

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①∵对称轴在y轴的右侧，

∴a、b异号，

∴ab＜0．

又∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0．

故①错误；

②：如图所示，抛物线开口方向向上，则a＞0．

又∵0＜﹣ ＜1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0．

故②正确；

③把点（1，0）代入函数解析式得到：a+b+c=0，故③正确；

④抛物线开口方向向上，则a＞0．

故④正确．

综上所述，正确的个数是3个．

故选：C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系的知识：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

9．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k和函数y=﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）的图象可能是()

A． B． C． D．

考点：二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象．

分析：分两种情况进行讨论：k＞0与k＜0进行讨论即可．

解答： 解：当k＞0时，函数y=kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y=﹣kx2+4x+4的开口向下，对称轴在y轴的右侧；

当k＜0时，函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y=﹣kx2+4x+4的开口向上，对称轴在y轴的左侧，故D正确．

故选D．

点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要熟练掌握．

10．如图，已知A、B是反比例函数 （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为()

A． B． C． D．

考点：反比例函数综合题；动点问题的函数图象．

专题：压轴题 ；动点型．

分析：当点P在OA上运动时，此时S 随t的增大而增大，当点P在AB上运动时，S不变，当点P在BC上运动时，S随t的增大而减小，根据以上判断做出选择即可．

解答： 解：①当点P在OA上运动时，OP=t，S=OM?PM=tcosα?tsinα，α角度固定，因此S是以y轴为对称轴的二次函数，开始向上；

②当点P在AB上运动时，设P点坐标为（x，y），则S=xy=k，为定值，

∴故B、D选项错误；

③当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，

∴故C选项错误．

故选：A．

点评：本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象．

二．填空题（每小题4分，共24分）

11．写一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限： ．

考点：反比例函数的性质．

专题：开放型．

分析：反比例函数y= （k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是1．（正数即可，答案不唯一）

解答： 解：∵反比例函数的图象在一、三象限，

∴k＞0，

只要是大于0的所有实数都可以．例如：2．

故答案为：y= 等．

点评：此题主要考查了反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．

12．已知点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在反比例函数y= （k＜0）的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系y2＞y2＞y3．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．

专题：计算题．

分析：利用反比例函数的增减性判断即可．

解答： 解：∵反比例函数y= （k＜0），

∴反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，

∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）都在反比例函数y= （k＜0）的图象上，且﹣4＜﹣2＜3，

∴ y2＞y2＞y3．

故答案为：y2＞y2＞y3．

点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．

13．将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=（x﹣2）2+1 ．

考点：二次函数的三种形式．

专题：常规题型．

分析：将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=（x﹣h）2+k的形式．

解答： 解：y=x2﹣4x+5，

y=x2﹣4x+4﹣4+5，

y=x2﹣4x+4+1，

y=（x﹣2）2+1．

故答案为：y=（x﹣2）2+1．

点评：本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=a（x﹣h）2+k；两根式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

14．如图，点M是反比例函数y= （a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=5，则此反比例函数解析式为y=﹣ ．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

分析：根据反比例函数k的几何意义可得|a|=5，再根据图象在二、四象限可确定a=﹣5，进而得到解析式．

解答： 解：∵S阴影=5，

∴|a|=5，

∵图象在二、四象限，

∴a＜0，

∴a=﹣5，

∴反比例函数解析式为y=﹣ ，

故答案为：y=﹣ ．

点评：此题主要考查了反比例函数k的几何意义，关键是掌握y= （k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

15．如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上，点B的坐标为B（ ，5），D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是y=﹣ ．

考点：待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．

专题：代数几何综合题；压轴题．

分析：此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．

根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．

解答： 解：过E点作EF⊥OC于F

由条件可知：OE=OA=5， ，

所以EF=3，OF=4，

则E点坐标为（﹣4，3）

设反比例函数的解析式是y=

则有k=﹣4×3=﹣12

∴反比例函数的解析式是y= ．

故答案为y= ．

点评：主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．

本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．

16．（1）将抛物线y1=2x2向右平移2个单位，得到抛 物线y2的图象，则y2=2（x﹣2）2或2x2﹣8x+8；

（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=1，3或 ．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题；动点型．

分析：（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出y2的图象；

（2）由（1）可得出抛物线y2的对称轴，也就得出了P点的横坐标；将x=t分别代入y=x和抛物线y2的解析式中，可求出A、B的坐标，若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则AB=AP（或BP）即A、B两点纵坐标差的绝对值等于点A（或B）与点P横坐标差的绝对值，由此可列出关于t的方程求出t的值．

解答： 解：（1）抛物线y1=2x2向右平移2个单位，得：y=2（x﹣2）2=2x2﹣8x+8；

故抛物线y2的解析式为y2=2x2﹣8x+8．

（2）由（1）知：抛物线y2的对称轴为x=2，故P点横坐标为2；

当x=t时，直线y=x=t，故A（t，t）；

则y2=2x2﹣8x+8=2t2﹣8t+8，故B（t，2t2﹣8t+8）；

若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则有AB=AP或AB=BP，

此时AB=|2t2﹣8t+8﹣t|，AP=|t﹣2|，

可得：|t﹣2 |=|2t2﹣8t+8﹣t|；

当2t2﹣8t+8﹣t=t﹣2时，如图1，t2﹣5t+5=0，解得t1= ；

当2t2﹣8t+8﹣t=2﹣t时，如图2，t2﹣4t+3=0，解得t2=1，t3=3；

故符合条件的t值为：1或3或 ．

点评：此题主要考查了二次函数的图象的平移、函数图象交点、等腰直角三角形的判定和性质等．

三．解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共66分）

17．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于M、N两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数解析式求出点B的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；

（2）当一次函数的值＜反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值的x的取值范围．

解答： 解；（1）反比例函数y= 的图象过点M（﹣3，1），

∴k=﹣3，

反比例函数的解析式为y= ，

反比例函数y= 的图象过点N（n，﹣3），

∴ ，n=1，N（1，﹣3），

一次函数y=ax+b的图象过点M（﹣3，1）、N（1，﹣3），

，

解得 ，

故一次函数的解析式为y=﹣x﹣3；

（2）一次函数图象在反比例函数图象下方的部分，

则﹣3＜x＜0或x＞1．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，数形结合法求不等式的解集．

18．已知y与z成正比例，z与x成反比例．当x=﹣4时，z=3，y=﹣4．求：

（1）y关于x的函数解析式；

（2）当z=﹣1时，x，y的值．

考点：待定系数法求反比例函数解析式．

专题：计算题．

分析：（1）根据题意设y=kz，z= ，将x，y与z的值代入计算求出k与m的值，即可确定出y与x的函数解析式；

（2）将z的值代入z与x关系式求出x的值，代入y与x关系式求出y的值即可．

解答： 解：（1）根据题意设y=kz，z= ，

将y=﹣4，z=3代入得：k=﹣ ；将x=﹣4，z=3代入得：m=﹣12，

∴y=﹣ z，z=﹣ ，

则y= ；

（2）当z=﹣1时，x=12，此时y= = ．

点评：此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

19．农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业，他准备用40米长的木栏围一个矩形的养圈，为了节约材料，同时要使矩形面积最大，他利用了自己家房屋一面长25米的墙，设计了如图一个矩形的养圈．

（1）请你求出张大伯设计的矩形羊圈的面积；

（2）请你判断他的设计方案是否使矩形羊圈的面积最大？如果不是最大，应怎样设计？请说明理由．

考点：二次函数的应用．

专题：应用题．

分析：（1）根据张大伯设计的羊圈数据可以知道，矩形的两边长度，根据矩形面积公式算出此时矩形面积．

（2）先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解，便可以解决问题．

解答： 解：（1）由题意可得张大伯设计羊圈的面积为：

S=25×7.5=187.5（平方米），

答：张大伯设计羊圈的面积为187.5平方米．

（2）不是最大．

设矩形的长为x，面积为y，

则

在x的取值范围中

∴当x=20时y最大=200，

此时矩形的长为20米，宽为10米．

故答案为：①张大伯设计羊圈的面积为187.5平方米；

②矩形的长为20米，宽为10米时y最大=200．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要考查了二次函数求最值的方法．

20．如图所示，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．

（1）求m的值；

（2）求点B的坐标；

（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．

考点：二次函数综合题．

专题：代数几何综合题；方程思想．

分析：（1）由二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值；

（2）根据（1）求得二次函数的解析式，然后将y=0代入函数解析式，即可求得点B的坐标；

（3）根据（2）中的函数解析式求得点C的坐标，由二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），可得点D在第一象限，又由S△ABD=S△ABC，可知点D与点C的纵坐标相等，代入函数的解析式即可求得点D的坐标．

解答： 解：（1）∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），

∴﹣9+2×3+m=0，

解得：m=3；

（2）∵二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，

∴当y=0时，﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

∴B（﹣1，0）；

（3）如图，连接BD、AD， 过点D作DE⊥AB，

∵当x=0时，y=3，

∴C（0，3），

若S△ABD=S△ABC，

∵D（x，y）（其中x＞0，y＞0），

则可得OC=DE=3，

∴当y=3时，﹣x2+2x+3=3，

解得：x=0或x=2，

∴点D的坐标为（2，3）．

另法：点D与点C关于x=1对称，

故D（2，3）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了一元二次方程的解法以及三角形的面积问题等知识．此题综合性较强，但难度不大，属于中档题，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，注意数形结合与方程思想的应用．

21．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．

（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？

考点：二次函数的应用；一次函数的应用．

分析：根据题意可得到函数关系式，并得到x的取值范围．再得到总利润的函数式，两个式子结合起来，可得到定价．

解答： 解：（1）由题意，y=150﹣10x，0≤x≤5且x为正整数；

（2）设每星期的利润为w元，

则w=（40+x﹣30）y

=（x+10）（150﹣10x）

=﹣10（x﹣2.5）2+2023.5

∵x为非负整数，

∴当x=2或3时，利润最大为2023元，

又∵销量较大，

∴x=2，即当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为2023元．

答：当售价为42元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，每星期的最大利润为2023元．

点评：利用了二次函数的性质，以及总利润=售价×销量．

22．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；

（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？

（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？

考点：反比例函数的应用；一次函数的应用．

专题：应用题；压轴题．

分析：（1）根据图象可以得到函数关系式，y=k1x+b（k1≠0），再由图象所经过点的坐标（0，4），（7，46）求出k1 与b的值，然后得出函数式y=6x+4，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知 （k2≠0）过点（7，46），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围．

（2）结合以上关系式，当y=34时，由y=6x+4得x=5，从而求出撤离的最长时间，再由v= 速度．

（3）由关系式y= 知，y=4时，x=80.5，矿工至少在爆炸后80.5﹣7=73.5（小时）才能下井．

解答： 解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，

所以可设y与x的函数关系式为y=k1x+b（k1≠0），

由图象知y=k1x+b过点（0，4）与（7，46），

则 ，

解得 ，

则y=6x+4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7．

（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中）

∵爆炸后浓度成反比例下降，

∴可设y与x的函数关系式为 （k2≠0）．

由图象知 过点（7，46），

∴ ，

∴k2=322，

∴ ，此时自变量x的取值范围是x＞7．

（2）当y=34时，由y=6x+4得，6x+4=34，x=5．

∴撤离的最长时间为7﹣5=2（小时）．

∴撤离的最小速度为3÷2=1.5（km/h）．

（3）当y=4时，由y= 得，x=80.5，

80.5﹣7=73.5（小时）．

∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．

点评：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

23．已知抛物线y= x2+1（如图所示）．

（1）填空：抛物线的顶点坐标是（0，1），对称轴是x=0（或y轴）；

（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；

（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；

（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标，

解答： 解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．

（2）∵△PAB是等边三角形，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=20A=4．

∴PB=4．

解法一：把y=4代入y= x2+1，

得 x=±2 ．

∴P1（2 ，4），P2（﹣2 ，4）．

解法二：∴OB= =2

∴P1（2 ，4）．

根据抛物线的对称性，得P2（﹣2 ，4）．

（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2 ，4）

∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b

∴

解得：

∴解析式为：y= x+2

设存在点N使得OAMN是菱形，

∵点M在直线AP上，

∴设点M的坐标为：（m， m+2）

如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ﹣OA= m+2﹣2= m

∵四边形OAMN为菱形，

∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，

即：m2+（ m）2=22解得：m=±

代入直线AP的解析式求得y=3或1，

当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：

当N在右图1位置时，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M点坐标为（ ，3），

∴N点坐标为（ ，1），即N1坐标为（ ，1）．

当N在右图2位置时，

∵MN=OA=2，M点坐标为（﹣ ，1），

∴N点坐标为（﹣ ，﹣1），即N2坐标为（﹣ ，﹣1）．

当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：

第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣ ，1）；

第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（ ，﹣1）

∴存在N1（ ，1），N2（﹣ ，﹣1）N3（﹣ ，1），N4（ ，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．

点评：本题考查了二次函数 的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年2023届中考的热点问题．

24．已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l： 对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；图象法求一元 二次方程的近似根；勾股定理．

专题：计算题；代数几何综合题；压轴题．

分析：（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；

（2）根据点H、B关于过A点的直线l： 对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；

（3）解方程组 ，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答： 解：（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），

两边都除以a得：

即x2+2x﹣3=0，

解得x1=﹣3，x2=1，

∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），

答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．

证明：∵直线l： ，

当x=﹣3时， ，

∴点A在直线l上．

（2）∵点H、B关于过A点的直线l： 对称，

∴AH=AB=4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则 ， ，

∴顶点 ，

代入二次函数解析式，解得 ，

∴二次函数解析式为 ，

答：二次函数解析式为 ．

（3）直线AH的解析式为 ，

直线BK的解析式为 ，

由 ，

解得 ，

即 ，

则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2 ），

∴HN+MN的最小值是MB，

过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，

则QM=MK， ，AE⊥QK，

∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+ NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB= = =8，

∴HN+NM+MK的最小值为8，

答：HN+NM+MK和的最小值是8．

点评：本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．