江苏泗洪县中学2023初三数学深层次期中试卷(含答案解析)

江苏泗洪县中学2023初三数学深层次期中试卷(含答案解析)

一、选择题（每题3分，共24分.）

1．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）

A． （x+1）2=6 B． （x+2）2=9 C． （x﹣1）2=6 D． （x﹣2）2=9

2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0的一个根为0，则m为（）

A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． 1或﹣1

3．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）

A． a≥1 B． a＞1且a≠5 C． a≥1且a≠5 D． a≠5

4．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）

A． 4 B． 8 C． D．

5．如图在△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC=（）

A． 140° B． 135° C． 130° D． 125°

6．已知⊙O中，弦AB长为 ，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）

A ． 1 B． 2 C． 3 D． 4

7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是（2，﹣1），则点N的坐标是（）

A． （2，﹣4） B． （2，﹣4.5） C． （2，﹣5） D． （2，﹣5.5）

8．在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（）

A． r＞4 B． 0＜r＜6 C． 4≤r＜6 D． 4＜r＜6

二、填空题（每小题3分，共24分.）

9．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+5=0的两个根，则x1?x2=．

10．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是．

11．已知 圆锥的母线长为30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为．

12．边长为1cm的正六边形面积等于cm2．

13．若⊙O的半径是方程（2x+1）（x﹣4）=0的一个根，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．

14．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为 cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α=度．

15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，⊙A与BC相切于D，与AB相交于E，连结DE，则∠BDE= 度．

16．无论m取什么实数时，点P（m﹣2，2m﹣5）总在直线l上，且点Q（a，a2）也在直线l上，则a的值为 ．

三、解答题（本大题共6题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解下列方程

（1）

（2）（2x﹣1）（x+3）=4．

18．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度．

19．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m=0．

（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；

（2）设这个一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．

20．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于52cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2．”他的说法对吗？请说明理由．

21．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，A D⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若E是 的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

22．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

江苏泗洪县中学2023初三数学深层次期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共24分.）

1．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）

A． （x+1）2=6 B． （x+2）2=9 C． （x﹣1）2=6 D． （x﹣2）2=9

考点： 解一元二次方程-配方法．

专题： 方程思想．

分析： 配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

解答： 解：由原方程移项，得

x2﹣2x=5，

方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得

x2﹣2x+1=6

∴（x﹣1）2=6．

故选：C．

点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0的一个根为0，则m为（）

A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． 1或﹣1

考点： 一元二次方程的解；一元二次方程的定义．

分析： 根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入原方程列出关于m的方程，通过解该方程来求m的值；注意一元二次方程的二次项系数不等于零．

解答： 解：依题意，得

m2﹣1=0，且m﹣1≠0，

解得m=﹣1．

故选：C．

点评： 本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义．注意，一元二次方程的二次项系数不为0，这是考试中经常出现的知识点，需要同学们注意．

3．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）

A． a≥1 B． a＞1且a≠5 C． a≥1且a≠5 D． a≠5

考点： 根的判别式．

专题： 判别式法．

分析： 由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程 ，利用判别式即可求出a的取值范围．

解答： 解：分类讨论：

①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；

②当a﹣5≠0即a≠5时，

∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根

∴16+4（a﹣5）≥0，

∴a≥1．

∴a的取值范围为a≥1．

故选：A．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

4．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）

A． 4 B． 8 C． D．

考点： 切线长定理；等边三角形的判定与性质．

专题： 压轴题．

分析： 根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．

解答： 解：∵PA、PB都是⊙O的切线，

∴PA=PB，

又∵∠P=60°，

∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，

故选B．

点评： 此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．

5．如图在△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC=（）

A． 140° B． 135° C． 130° D． 125°

考点： 三角形的内切圆与内心；三角形内角和定理．

分析： 先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．

解答： 解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，

∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= （180°﹣∠A）= （180°﹣70°）=55°，

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣55°=125°．

故选D．

点评： 本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，比较简单．

6．已知⊙O中，弦AB长为 ，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 垂径定理；勾股定理．

分析： 连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程R2=（R﹣1）2+（ ）2，求出R即可．

解答：

解：连接OA，

∵OC是半径，OC⊥AB，

∴AD=BD= AB= ，

设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，

在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，

即R2=（R﹣1）2+（ ）2，

R=2，

故选B．

点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想．

7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是（2，﹣1），则点N的坐标是（）

A． （2，﹣4） B． （2，﹣4.5） C． （2，﹣5） D． （2，﹣5.5）

考点： 坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．

分析： 本题可根据MN垂直x轴得知N的横坐标与M相同，根据图形连接MP和NP，根据三角形的勾股定理列出方程，化简求解即可得出答案．

解答： 解：过点M作MA⊥OP，垂足为A

设PM=x，PA=x﹣1，MA=2

则x2=（x﹣1）2+4，

解得x= ，

∵OP=PM= ，PA= ﹣1= ，

∴OP+PA=4，所以点N的坐标是（2，﹣4）

故选A．

点评： 本题综合考查了圆形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度中等的综合题，关键是根据勾股定理和垂径定理确 定点P的坐标，从而得到N的坐标．

8．在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（）

A． r＞4 B． 0＜r＜6 C． 4≤r＜6 D． 4＜r＜6

考点： 直线与圆的位置关系．

专题： 压轴题．

分析： 根据题意可知，本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围．

解答： 解：根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=﹣1，

若以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的 圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，

那么该圆与直线y=﹣1必须是相离的关系，与直线y=1必须是相交的关 系，

所以r的取值范围是|﹣5|﹣|﹣1|＜r＜|﹣5|+1，

即4＜r＜6．

故选D．

点评： 解决本题要认真分析题意，理清其中的数量关系．看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围．

二、填空题（每小题3分，共24分.）

9．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+5=0的两个根，则x1?x2=5．

考点： 根与系数的关系．

分析： 直接根据根与系数的关系求解即可．

解答： 解：根据题意得x1x2= =5．

故答案为5．

点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．

10．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是2．

考点： 圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．

专题： 计算题．

分析： 过O点作OD⊥BC，D点为垂足，则DB=DC，所以OD为△BAC的中位线，即有OD= AC；由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理可求得AC，即可得到OD的长．

解答： 解：过O点作OD⊥BC，D点为垂足，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB2=BC2+AC2，即AC= =4，

又∵OD⊥BC，

∴DB=DC，而OA=OB，

∴OD为△BAC的中位线，即有OD= AC，

所以OD= ×4=2，即圆心O到弦BC的距离为2．

故答案为2．

点评： 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了勾股定理和垂径定理以及中位线的性质．

11．已知圆锥的母线长为30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为10．

考点： 弧长的计算．

专题： 压轴题．

分析： 已知圆锥的母线长为30即展开所得扇形半径是30，弧长是 =20π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是20π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解即可．

解答： 解：弧长= =20π，

根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长得

2π r=20π，

解得：r=10．

该圆锥的底面半径为10．

点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

12．边长为1cm的正六边形面积等于 cm2．

考点： 正多边形和圆．

分析： 求得边长是1的等边三角形的面积，正六边形的面积是等边三角形的面积的6倍，据此即可求解．

解答： 解：边长是1的等边三角形的面积是： ，

则正六边形的面积是： ×6= cm2．

故答案是： ．

点评： 本题考查了正多边形的计算，理解正六边形的面积是等边三角形的面积的6倍是关键．

13．若⊙O的半径是方程（2x+1）（x﹣4）=0的一个根，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是相交．

考点： 直线与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．

分析： 首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线a的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．

解答： 解：∵（2x+1）（x﹣4）=0，

∴2x+1=0或x﹣4=0，

解得：x1=﹣ （不合题意舍去），x2=4，

∵⊙O的半径是方程（2x+1）（x﹣4）=0的一个根，

∴该圆的半径是4，

∵圆心O到直线l的距离为3，

∴4＞3，

∴直线l与圆相交．

故答案是：相交

点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

14．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为 cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α=75度．

考点： 圆心角、弧、弦的关系；三角形的外角性质；勾股定理；垂径定理．

专题： 压轴题．

分析： 根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α．

解答： 解：连接OA、OB、OC、OD，

∵OA=OB=OC=OD=1，AB= ，CD=1，

∴OA2+OB2=AB2，

∴△AOB是等腰直角三角形，

△COD是等边三角形，

∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，

∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，

∴α=180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD=180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）=180°﹣45°﹣60°=75°．

点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．

15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，⊙A与BC相切于D，与AB相交于E，连结DE，则∠BDE=25 度．

考点： 切线的性质．

分析： 根据切线的性质以及三角形的性质和三角形的内角和定理分析即可．

解答： 解：∵⊙A与BC相切于D，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，∠BAC=100°，

∴∠B=40，

∴∠BAD=50°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=65°，

∴∠BDE=25°，

故答案为25．

点评： 本题考查了切线的性质以及三角形的性质和三角形的内角和定理，属于基础性题目．

16．无论m取什么实数时，点P（m﹣2，2m﹣5）总在直线l上，且点Q（a，a2）也在直线l上，则a的值为1．

考点： 一次函数图象上点的坐标特征．

分析： 先令m=2，则P（0，﹣1）；再令m=1，则P（﹣1，﹣3），设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0），把两点代入即可得出其解析式，再把Q（a，a2）代入即可得出a的值．

解答： 解：设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．

∵无论m取什么实数时，点P（m﹣2，2m﹣5）总在直线l上，

∴m=2，则P（0，﹣1）；再令m=1，则P（﹣1，﹣3），

∴ ，

解得 ，

∴此直线的解析式为：y=2x﹣1，

∵Q（a，a2）是直线l上的点，

∴2a﹣1=a2，即（a﹣1）2=0，

解得a=1．

故答案是：1．

点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．

三、解答题（本大题共6题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解下列方程

（1）

（2）（2x﹣1）（x+3）=4．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

专题： 计算题．

分析： （1）方程左边利用完全平方公式分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；

（2）方程整理后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

解答： 解：（1）方程变形得：（x﹣2 ）2=0，

解得：x1=x2=2 ；

（2）方程整理得：2x2+5x﹣7=0，

分解因式得：（x﹣1）（2x+7）=0，

解得：x1=1，x2=﹣ ．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

18．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度．

考点： 垂径定理的应用；勾股定理．

专题： 探究型．

分析： 连接OA，过点O作OD⊥AB，由垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可计算出太阳在海平线以下部分的高度，根据太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟即可得出结论．

解答： 解：连接OA，过点O作OD⊥AB，

∵AB=8厘米，

∴AD= AB=4厘米，

∵OA=5厘米，

∴OD= =3厘米，

∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8（厘米），

∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，

∴“图上”太阳升起的速度= =0.5厘米/分钟．

点评： 本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

19．已知关于x 的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m=0．

（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；

（2）设这个一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．

考点： 根的判别式；根与系数的关系；勾股定理．

分析： （1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2﹣4ac≥0；

（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．

解答： 解：（1）∵b2﹣4ac

=（m﹣3）2+12m

=m2+6m+9

=（m+3）2；

又∵（m+3）2≥0，

∴b2﹣4ac≥0，

∴原方程有两个实数根；

（2）原方程可变为（x+m）（x﹣3）=0，

则方程的两根为x1=﹣m，x2=3，

∴直角三角形三边为2，3，﹣m；

∴m＜0，

①若﹣m为直角三角形的斜边时，则：

22+32=m2 ，

∴ ；

②若3为直角三角形的斜边时，则：

22+m2=32

∴ ．

点评： 此题考查利用根的判别式b2﹣4ac探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透．

20．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于52cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2．”他的说法对吗？请说明理由．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： （1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可；

（2）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可．

解答： 解：设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，

由题意，得（ ）2+（ ）2=52；

解得：x1=16，x2=24，

当x=16时，较长的为40﹣16=24cm，当x=24时，较长的为40﹣24=16＜24（舍去）

∴较短的这段为16cm，较长的这段就为24cm；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，

由题意得：（ ）2+（ ）2=44，

变形为：m2﹣40m+448=0，

∵△=﹣192＜0，∴原方程无解，

∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．

21．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若E是 的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

考点： 切线的判定；扇形面积的计算．

专题： 计算题．

分析： （1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；

（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．

解答： 解：（1）CD与圆O相切．理由如下：

∵AC为∠DAB的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

则CD与圆O相切；

（2）连接EB，交OC于F，

∵E为 的中点，

∴ = ，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA，

又∵∠EAC=∠OAC，

∴∠ECA=∠OAC，

∴CE∥OA，

又∵OC∥AD，

∴四边形AOCE是平行四边形，

∴CE=OA，AE=OC，

又∵OA=OC=1，

∴四边形AOCE是菱形，

∵AB为直径，得到∠AEB=90°，

∴EB∥CD，

∵CD与⊙O相切，C为切点，

∴OC ⊥CD，

∴OC∥AD，

∵点O为AB的中点，

∴OF为△ABE的中位线，

∴OF= AE= ，即CF=DE= ，

在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC= ，

则S阴影=S△DEC= × × = ．

点评： 此题考查了切线的判定，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．

22．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

考点： 圆的综合题．

分析： （1）利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE，进而得出∠DAC=∠DBA；

（2）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案；

（3）利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．

解答： （1）证明：∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，

∴∠DAC=∠CBD，

∴∠DAC=∠DBA，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，

∴∠ADB=∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，

∴∠ADE=∠DBA，

∴∠DAC=∠ADE，

∴∠DAC=∠DBA；

（2）证明：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB=90°，

∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=9 0°，

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，

∴PD=PA，

∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，

∴∠PDF=∠PFD，

∴PD=PF，

∴PA=PF，即P是线段AF的中点；

（3）解：连接CD，

∵∠CBD=∠DBA，

∴CD=AD，

∵CD﹦3，∴AD=3，

∵∠ADB=90°，

∴AB=5，

故⊙O的半径为2.5，

∵DE×AB=AD×BD，

∴5DE=3×4，

∴DE=2.4．

即DE的长为2.4．

点评： 此题主要考查了圆的综合以及圆周角定理和勾股定理以及三角形面积等知识，熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．