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江苏小伊中学2023初三年级数学上册期中试卷(含答案解析) 一、基础练习：（每小题8分） 1．已知2y2+y﹣2的值为3，则4y2+2y+1的值为（） A． 10 B． 11 C． 10或11 D． 3或11 2．将一元二次方程式x2﹣6x﹣5=0化成（x+a）2=b的形式，则b=（） A． ﹣4 B． 4 C． ﹣14 D． 14 3．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（） A． k＞﹣1 B． k≥﹣1 C． k＞﹣1且k≠0 D． k≥﹣1且k≠0 4．已知a，b，c为△ABC的三边长，则关于x的一元二次方程4x2+4（a+b）x+c2=0的根的情况（） A． 有两个不相等的实数根 B． 没有实数根 C． 有两个相等的实数根 D． 无法判断 5．若某一元二次方程的两个根是3和﹣5，则这个方程是（） A． x2﹣2x﹣15=0 B． x2﹣2x+15=0 C． x2+2x﹣15=0 D． x2+2x+15=0 6．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（） A． 1 B． 12 C． 13 D． 25 7．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（） A． a=c B． a=b C． b=c D． a=b=c 二、填空题（每小题8分） 8．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=． 9．将方程（2﹣x）（x+1）=8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是，它的一次项系数是，常数项是． 10．设一元二次方程x2﹣7x+3=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2=，x1x2=． 11．如果2x2+1与4x2﹣2x﹣5互为相反数，则x的值为． 12．已知x2﹣2x﹣1=0，则x2+ =． 三、解答题（共7小题，满分0分） 13．解方程 （1）3（x﹣2）2=x（x﹣2） （2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 14．某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，如果平均每月的增长率相同，则增长率是多少？ 15．已知关于x的方程x2﹣10x+k=0有实数根，求满足下列条件的k的值： （1）有两个实数根； （2）有两个正实数根； （3）有一个正数根和一个负数根； （4）两个根都小于2． 16．造一个方程，使它的根是方程3x2﹣7x+2=0的根； （1）大3； （2）倒数． 17．已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根及m的值． 18．已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求： （1）当k为何值时，原方程是一元二次方程； （2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解． 19．造一个方程，使它的根是方程3x2﹣7x+2=0的根； （1）2倍； （2）相反数． 江苏小伊中学2023初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析 一、基础练习：（每小题8分） 1．已知2y2+y﹣2的值为3，则4y2+2y+1的值为（） A． 10 B． 11 C． 10或11 D． 3或11 考点： 代数式求值． 专题： 整体思想． 分析： 观察题中的两个代数式可以发现2（2y2+y）=4y2+2y，因此可整体求出4y2+2y的值，然后整体代入即可求出所求的结果． 解答： 解：∵2y2+y﹣2的值为3， ∴2y2+y﹣2=3， ∴2y2+y=5， ∴2（2y2+y）=4y2+2y=10， ∴4y2+2y+1=11． 故选B． 点评： 代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式4y2+2y的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 2．将一元二次方程式x2﹣6x﹣5=0化成（x+a）2=b的形式，则b=（） A． ﹣4 B． 4 C． ﹣14 D． 14 考点： 解一元二次方程-配方法． 专题： 配方法． 分析： 配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 解答： 解：∵x2﹣6x﹣5=0， ∴x2﹣6x=5， ∴x2﹣6x+9=5+9， ∴（x﹣3）2=14． ∴b=14． 故选D． 点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（） A． k＞﹣1 B． k≥﹣1 C． k＞﹣1且k≠0 D． k≥﹣1且k≠0 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义． 分析： 方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零． 解答： 解：∵△=b2﹣4ac=22﹣4×k×（﹣1）≥0， 解上式得，k≥﹣1， ∵二次项系数k≠0， ∴k≥﹣1且k≠0． 故选D． 点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 4．已知a，b，c为△ABC的三边长，则关于x的一元二次方程4x2+4（a+b）x+c2=0的根的情况（） A． 有两个不相等的实数根 B． 没有实数根 C． 有两个相等的实数根 D． 无法判断 考点： 根的判别式；三角形三边关系． 分析： 根据三角形中任意两边之和大于第三边，再结合根的判别式求出即可． 解答： 解：∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴a+b＞c， ∵关于x的一元二次方程4x2+4（a+b）x+c2=0中， b2﹣4ac=[4（a+b）]2﹣4×4×c2=16[（a+b）2﹣c2]， ∴b2﹣4ac＞0， ∴关于x的一元二次方程4x2+4（a+b）x+c2=0的根的情况是有两个不相等的实数根． 故选：A． 点评： 此题主要考查了三角形三边关系以及根的判别式，得出b2﹣4ac的符号是解题关键． 5．若某一元二次方程的两个根是3和﹣5，则这个方程是（） A． x2﹣2x﹣15=0 B． x2﹣2x+15=0 C． x2+2x﹣15=0 D． x2+2x+15=0 考点： 根与系数的关系． 分析： 先计算3和﹣5的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程即可． 解答： 解：∵3+（﹣5）=﹣2， 3×（﹣5）=﹣15， ∴以3和﹣5为根的一元二次方程可为x2+2x﹣15=0． 故选：C． 点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ． 6．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（） A． 1 B． 12 C． 13 D． 25 考点： 根与系数的关系． 专题： 压轴题． 分析： 根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=﹣ ，x1x2= ，根据x12+x22=7，将（x1+x2）2﹣2x1x2=7，可求出m的值，再结合一元二次方程根的判别式，得出m的值，再将（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2求出即可． 解答： 解：∵x12+x22=7， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=7， ∴m2﹣2（2m﹣1）=7， ∴整理得：m2﹣4m﹣5=0， 解得：m=﹣1或m=5， ∵△=m2﹣4（2m﹣1）≥0， 当m=﹣1时，△=1﹣4×（﹣3）=13＞0， 当m=5时，△=25﹣4×9=﹣11＜0， ∴m=﹣1， ∴一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0为：x2+x﹣3=0， ∴（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=7﹣2×（﹣3）=13． 故选C． 点评： 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及运用配方法将公式正确的变形，这是解决问题的关键． 7．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（） A． a=c B． a=b C． b=c D． a=b=c 考点： 根的判别式． 专题： 压轴题；新定义． 分析： 因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系． 解答： 解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=0， 又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c， 代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0， 即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0， ∴a=c． 故选A 点评： 一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根． 二、填空题（每小题8分） 8．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=2． 考点： 一元二次方程的定义． 分析： 根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|=2，求出即可． 解答： 解：∵（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0，|m|=2， 解得：m=2， 故答案为：2． 点评： 本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）． 9．将方程（2﹣x）（x+1）=8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是x2﹣x+6=0，它的一次项系数是﹣1，常数项是6． 考点： 一元二次方程的一般形式． 分析： 去括号、移项、合并同类项，最后方程两边都除以﹣1，即可得出答案． 解答： 解：（2﹣x）（x+1）=8， 2x+2﹣x2﹣x﹣8=0， ﹣x2+x﹣6=0， 两边都除以﹣1得：x2﹣x+6=0， 即一元二次方程的一般形式是x2﹣x+6=0，它的一次项系数是﹣1，常数项是6， 故答案为：x2﹣x+6=0，﹣1，6． 点评： 本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），说项时，要带着前面的符号． 10．设一元二次方程x2﹣7x+3=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2=7，x1x2=3． 考点： 根与系数的关系． 分析： 直接根据一元二次方程根与系数之间的关系就可以得到两根之和，两根之积． 解答： 解：根据一元二次方程根与系数之间的关系可知： x1+x2=7，x1x2=3． 故填空答案为7，3． 点评： 本题考查学生一元二次方程根与系数之间的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）如果方程的两根为x1，x2，则有 ， ，应用时注意不要搞错符号． 11．如果2x2+1与4x2﹣2x﹣5互为相反数，则x的值为1或﹣ ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 因式分解． 分析： 根据条件把题转化为求一元二次方程的解的问题，然后用因式分解法求解比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解． 解答： 解：∵2x2+1与4x2﹣2x﹣5互为相反数， ∴2x2+1+4x2﹣2x﹣5=0， ?3x2﹣x﹣2=0， ∴（x﹣1）（3x+2）=0， 解得x1=1，x2=﹣ ． 点评： 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12．已知x2﹣2x﹣1=0，则x2+ =6． 考点： 分式的混合运算；完全平方公式． 分析： 将x2﹣2x﹣1=0变形为x﹣2﹣ =0，得到x﹣ =2，再两边平方即可得到x2+ ． 解答： 解：∵x2﹣2x﹣1=0， ∴x﹣2﹣ =0， ∴x﹣ =2， x2+ ﹣2=4， x2+ =6． 故答案为：6． 点评： 本题考查的是分式的混合运算，完全平方公式，根据式子的特点进行适当的变形是解决本题的关键． 三、解答题（共7小题，满分0分） 13．解方程 （1）3（x﹣2）2=x（x﹣2） （2）（y+2）2=（3y﹣1）2． 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 分析： （1）移项后分解因式得出（x﹣2）（2x﹣6）=0，推出x﹣2=0，2x﹣6=0，求出方程的解即可； （2）开方后得出方程y+2=3y﹣1，y﹣2=﹣（3y﹣1），求出方程的解即可． 解答： 解：（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）， 移项得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0， （x﹣2）（2x﹣6）=0， x﹣2=0，2x﹣6=0， 解得：x1=2，x2=3； （2）（y+2）2=（3y﹣1）2开方得：y+2=±（3y﹣1） 即y+2=3y﹣1，y﹣2=﹣（3y﹣1）， 解得：y1= ，y2= ． 点评： 本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程． 14．某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，如果平均每月的增长率相同，则增长率是多少？ 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题． 分析： 先得到二月份的印刷数量，三月份的印刷数量，等量关系为：一月份的印刷数量+二月份的印刷数量+三月份的印刷数量=182万，依此列出方程，解方程即可． 解答： 解：如果平均每月的增长率相同，设增长率是x， 依题意得二、三月份的印刷数量分别为50（1+x）、50（1+x）2， 则50+50（1+x）+50（1+x）2=182， 解得：x=0.2或x=﹣3.2（舍去）， 答：如果平均每月的增长率相同，则增长率是20%． 点评： 本题考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的印刷数量的等量关系是解决本题的关键． 15．已知关于x的方程x2﹣10x+k=0有实数根，求满足下列条件的k的值： （1）有两个实数根； （2）有两个正实数根； （3）有一个正数根和一个负数根； （4）两个根都小于2． 考点： 根与系数的关系；根的判别式；抛物线与x轴的交点． 分析： 由关于x的一元二次方程x2﹣10x+k=0有实数根，根据根的判别式的意义可知道△≥0，求出k的取值范围，再结合一元二次方程根与系数的关系可以求得答案． （1）有两个实数根，△≥0，即为k的取值范围； （2）有两个正实数根，x1+x2＞0，x1?x2＞0， （3）有一个正数根和一个负数根，x1?x2＜0， （4）两个根都小于2，因为x1+x2=10，所以方程无解． 解答： 解：关于x的一元二次方程x2﹣10x+k=0有实数根， 根据根的判别式的意义可知道△≥0， 则100﹣4k≥0， 解得k≤25． （1）有两个实数根，△≥0， 根据根的判别式的意义可知道△≥0， 则100﹣4k≥0， 解得k≤25． （2）有两个正实数根，x1+x2＞0，x1?x2＜0， 即：x1+x2=10＞0，x1?x2=k＞0， 故它的取值范围是0＜k＜25． （3）有一个正数根和一个负数根，x1?x2＜0， 即：k＜0， 故它的取值范围是k＜0． （4）两个根都小于2，因为x1+x2=10，所以方程无解． 点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义． 16．造一个方程，使它的根是方程3x2﹣7x+2=0的根； （1）大3； （2）倒数． 考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题． 分析： 设方程3x2﹣7x+2=0的根为a和b，根据根与系数的关系得到a+b= ，ab= ， （1）先计算出a+3+b+3和（a+3）（b+3）的值，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程； （2）先计算出 + 和 ? 的值，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程． 解答： 解：设方程3x2﹣7x+2=0的根为a和b， 则a+b= ，ab= ， （1）a+3+b+3= +6= ，（a+3）（b+3）=ab+3（a+b）+9= +7+9= ， 所以所求方程为x2﹣ x+ =0，即3x2﹣25x+50=0； （2） + = = ， ? = ， 所以所求方程为x2﹣ x+ =0，即2x2﹣7x+3=0． 点评： 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了根与系数的关系． 17．已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根及m的值． 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 分析： 设方程的另一个根为t，先利用两根之积为﹣2求出t，然后利用两根之和为﹣ 可计算出m的值． 解答： 解：设方程的另一个根为t， 根据题意得﹣5+t=﹣ ，﹣5t=﹣2， 解得t= ， 则m=﹣25+5t=﹣23， 即m的值为﹣23，方程的另一根为 ． 点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了一元二次方程解的定义． 18．已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求： （1）当k为何值时，原方程是一元二次方程； （2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解． 考点： 一元二次方程的定义；一元一次方程的定义． 分析： （1）根据一元二次方程的定义得到（k﹣1）（k﹣2）≠0，由此求得k的值； （2）根一元一次方程的定义得到k﹣2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可． 解答： 解：（1）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）≠0， 解得k≠1且k≠2； （2）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）≠0，且k﹣1≠0， 所以k﹣2=0， 解得k=2， 所以该方程为x+5=0， 解得x=﹣5． 点评： 本题考查了一元一次方程、一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 19．造一个方程，使它的根是方程3x2﹣7x+2=0的根； （1）2倍； （2）相反数． 考点： 一元二次方程的解． 分析： 设方程3x2﹣7x+2=0的根为a和b，根据根与系数的关系得到a+b= ，ab= ， （1）先计算出2a+2b和2a?2b的值，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程； （2）先计算出﹣a﹣b和（﹣a）（﹣b）的值，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程． 解答： 解：设方程3x2﹣7x+2=0的根为a和b， 则a+b= ，ab= ， （1）2a+2b= ，2a?2b=4ab= ， 所以所求方程为x2﹣ x+ =0，即3x2﹣15x+8=0； （2）﹣a﹣b=﹣ ，（﹣a）（﹣b）=ab= ， 所以所求方程为x2+ x+ =0，即3x2+7x+2=0． 点评： 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了根与系数的关系． | 
