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浙教版2023初三年级数学下册期中重点试题(含答案解析) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在直角三角形 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角 的正弦值和正切值（ ） A.都缩小 B.都扩大2倍 C.都没有变化 D.不能确定 2. 如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°， tan∠BAC= ，则边BC的长为（） A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm 3.一辆汽车沿坡角为 的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ） A.500sin B.C.500cos D. 4.如图，在△ 中， =10，∠ =60°，∠ =45°， 则点 到 的距离是（ ） A.10 5 B.5+5 C.15 5 D.15 10 5. 的值等于（） A.1B. C. D.2 6.计算 的结果是( ) A. B. C. D. 7.如图，在 中， 则 的值是( ) A.B.C.D. 8.上午9时，一船从 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达 处，如图所示，从 ， 两处分别测得小岛 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么 处与小岛 的距离为（ ） A.20海里 B.20 海里 C.15 海里D.20 海里 9. AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（） A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° 10. 如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连结 交⊙ 于点 ,连结 ,若∠ ＝45°,则下列结论正确的是（ ） A． B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.在离旗杆20 m的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 ，如果测角仪高1.5 m， 那么 旗杆的高为________m. 12.如果sin = ，则锐角 的余角是__________. 13.已知∠ 为锐角，且sin = ，则tan 的值为__________. 14.如图，在离地面高度为5 m的 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 角， 则拉线 的长为__________m(用 的三角函数值表示). 15.AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连结AD，若∠ =25°，则∠C =__________度. 16.直线l与半径为4的⊙O相切于点A， P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是． 17. 如图所示， ， 切⊙O于 ， 两点，若 ，⊙O的半径为 ， 则阴影部分的面积为_______. 18. 如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形， 三角形是直角三角形，其中最大正方形的边长为 ，则 正方形A，B的面积和是_________． 三、解答题（共66分） 19.(8分)计算:6tan230°－cos 30°?tan 60°－2sin 45°+cos 60°. 20.(8分)如图，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 处的距离 是50米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过10米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵站能否建在 处? 21.(8分) 如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q. （1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连结DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说 明理由； （2）若cos B= ，BP=6，AP=1，求QC的长. 22.(8分)在Rt△ 中，∠ =90°，∠ =50°， =3，求∠ 和a(边长精确到0.1). 23.(8分) 在△ 中， ， ， ．若 ，如图①，根据勾股定理，则 .若△ 不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论． 24.(8分)某电视塔 和楼 的水平距离为100 m，从楼顶 处及楼底 处测得塔顶 的仰角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到0.1 m). 25.(8分) 如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上，且 ， ∠ °. （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积. 26.（10分）AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的 切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH. （1）求证：AC=CD； （2）若OB=2，求BH的长. 浙教版2023初三年级数学下册期中重点试题(含答案解析)参考答案及解析 一、选择题 1.C 解析：根据锐角三角函数的概念知，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角 的各三角函数均没有变化．故选C． 2.C 解析：在直角三角形ABC中，tan∠BAC= 根据三角函数定义可知：tan∠BAC= ， 则BC=AC tan∠BAC=30× =10 (cm)． 故选C． 3.A 解析：如图，∠ = ， =500米，则 =500sin ．故选A． 4.C 解析：如图，作AD⊥BC，垂足为点D.在Rt△ 中，∠ =60°， ∴ = ． 在Rt△ 中，∠ =45°，∴ = ， ∴ =（1+ ） =10．解得 =15﹣5 ． 故选C． 5.C 6.D 解析： . 7.C 解析： . 8.B 解析：如图，过点 作 ⊥ 于点 ． 由题意得， =40× =20（海里），∠ =105°． 在Rt△ 中， = ? 45°=10 ． 在Rt△ 中，∠ =60°，则∠ =30°， 所以 =2 =20 （海里）． 故选B． 9.B 解析：连结OC，如图所示. ∵ 圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC， ∴ ∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴ ∠BOC=40°， 又∵ CE为 的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°， ∴ ∠E=90° 40°=50°． 故选B. 10. A 解析：∵ 是 的直径， 与 切于 点且∠ ＝ , ∴ 、 和 都是等腰直角三角形.∴ 只有 成立.故选A. 二、填空题 11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高20tan m，测角仪高1.5 m， 故旗杆的高为（1.5+20tan ）m． 12.30° 解析：∵ sin = ， 是锐角，∴ =60°． ∴ 锐角 的余角是90°﹣60°=30°． 13.解析：由sin = = 知，如果设 =8 ，则 17 ， 结合 2+ 2= 2得 =15 ． ∴ tan = ． 14.解析：∵ ⊥ 且 =5 m，∠CAD= ， ∴ = ． 15.40 解析：连结OD，由CD切⊙O于点D，得∠ODC= . ∵ OA=OD,∴ , ∴ 16. 2 解析：如图所示， 连结 ，过点O作 于点C，所以∠ACO=90°. 根据垂径定理可知， . 根据切线性质定理得， . 因为 ，所以∠PBA=90°, ∥ , 所以 . 又因为∠ACO=∠PBA，所以 ∽ , 所以 即 ，所以 ， 所以 = ， 所以 的最大值是2. 17.， 切⊙ 于 ， 两点 ， 所以∠ =∠ ，所以∠ 所以 所以阴影部分的面积为 = . 18.25 解析：设正方形A的边长为 正方形B的边长为 则 ，所以 . 三、解答题 19.解：原式= . 20.解：∵ =50，∠ =15°，又sin∠ = ， ∴ = ?sin∠ = 50sin 15°≈13 10， 故抽水泵站不能建在 处. 21. 分析：（1）连结OC，通过证明OC⊥DC得CD是⊙O的切线；（2）连结AC，由直径所对的圆周角是直角得△ABC为直角三角形，在Rt△ABC中根据cos B= ，BP=6，AP=1，求出BC的长，在Rt△BQP中根据cos B= 求出BQ的长，BQ BC即为QC的长. 解：（1）CD是⊙O的切线. 理由如下：如图所示，连结OC， ∵ OC=OB，∴ ∠B=∠1.又∵ DC=DQ，∴ ∠Q=∠2. ∵ PQ⊥AB，∴ ∠QPB=90°. ∴ ∠B+∠Q=90°.∴ ∠1+∠2=90°. ∴ ∠DCO=∠QCB (∠1+∠2)=180° 90°=90°. ∴ OC⊥DC. ∵ OC是⊙O的半径，∴ CD是⊙O的切线. （2）如图所示，连结AC， ∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°. 在Rt△ABC中， BC=ABcos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× = . 在Rt△BPQ中，BQ= = =10.∴ QC=BQ BC=10- = . 22.解：∠ =90° 50°=40°.∵ sin = ， =3，∴ sin ≈3×0.766 0≈2.298≈2.3. 23.解：如图①，若△ 是锐角三角形，则有 .证明如下： 过点 作 ，垂足为点 ，设 为 ，则有 . 根据勾股定理，得 ，即 . ∴ .∵ ，∴ ，∴ . 如图②，若△ 是钝角三角形， 为钝角，则有 . 证明如下： 过点 作 ，交 的延长线于点 . 设 为 ，则有 ，根据勾股定理，得 ， 即 . ∵ ，∴ ，∴ . 24.解：设 = m，∵ =100 m，∠ =45°， ∴ ?tan 45°=100(m).∴ =(100+ )m. 在Rt△ 中，∵∠ =60°，∠ =90°， ∴ tan 60°= ， ∴ = ，即 +100=100 ， =100 100 73.2(m)， 即楼高约为73.2 m，电视塔高约为173.2 m. 25．（1）证明：连结 . ∵ ， ， ∴ . ∵ , ∴ . ∴ . ∴ 是 的切线. （2）解: ∵ ， ∴ . ∴ . 在Rt△OCD中, . ∴ . ∴ 图中阴影部分的面积为 π. 26. （1）证明：如图，连结OC. ∵ C是弧AB的中点，AB是 的直径， ∴ OC⊥AB.∵ BD是 的切线，∴ BD⊥AB,∴ OC∥BD. ∵ AO=BO,∴ AC=CD. (2)解：∵ OC⊥AB，AB⊥BF, OC∥BF，∴ ∠COE=∠FBE. ∵ E是OB的中点，∴ OE=BE. 在△COE和△FBE中， ∴ △COE≌△FBE(ASA). ∴ BF=CO. ∵ OB=OC=2，∴ BF=2. ∴ ∵ AB是直径，∴ BH⊥AF. ∵ AB⊥BF,∴ △ABH∽△AFB.∴ , ∴ | 
