北师大版2023初三年级数学下册期中检测试题(含答案解析)

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第二章 二次函数检测题

【本检测题满分:120分，时间:120分钟】

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.已知二次函数y=a(x+1)2 b(a≠0)有最小值1，则a、b的大小关系为（ ）

A.a B.a C.a=b D.不能确定

2.（2023?成都中考）将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（）

A.y=（x+1）2+4 B.y=（x+1）2+2 C.y=（x-1）2+4 D.y=（x-1）2+2

3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2 4先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式是（ ）

A.y=(x+2)2+2 B.y=(x 2)2 2C.y=(x 2)2+2 D.y=(x+2)2 2

4.一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

5.已知抛物线 的顶点坐标是 ，则 和 的值分别是（ ）

A.2，4 B. C.2， D. ，0

6.对于函数 ，使得 随 的增大而增大的 的取值范围是（）

A.x＞-1 B.x＞0 C.x＜0 D.x＜-1

7.二次函数y=a +bx+c的图象如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则（）

A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是

8.下列关于二次函数y=a -2ax+1(a＞1)的图象与x轴交点的判断，正确的是（）

A.没有交点

B.只有一个交点，且它位于y轴右侧

C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧

D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧

9.图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=－ +16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴.若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为( )

① ②

A.16 米B. 米C.16 米 D. 米

10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对

称轴为直线x= .下列结论中，正确的是（ ）

A.abc B.a+b=0

C.2b+c D.4a+c2b

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知点A（x1,y1）、B（x2,y2）在二次函数y=(x 1)2+1的图象上，若x11，则y1 y2（填“”“=”或“”）.

12.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数表达式为y= .

13.把二次函数y= 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式是________.

14.设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为.

15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是y=60x 1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行m才能停下来.

16.设 三点依次分别是抛物线 与 轴的交点以及与 轴的两个交点，则△ 的面积是.

17.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点.若点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为.

18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴为直线 ;

乙：与 轴两个交点的横坐标都是整数;

丙：与 轴交点的纵坐标也是整数.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式__________________．

三、解答题（共66分）

19.（7分）把抛物线 向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线 重合．请求出 的值，并画出函数的示意图．

20.（7分）炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军大炮A与射击目标B的水平距离为600 m，炮弹运行的最大高度为1 200 m.

（1）求此抛物线的表达式．

（2）若在A、B之间距离A点500 m处有一高350 m的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.

21.（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．

22.（8分）已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+ 在x=0和x=2时的函数值相等.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若一次函数y=kx+6(k≠0)的图象与二次函数的图象都经过点A（ 3,m），求m和k

的值.

23．（8分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．

(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).

(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?(参考公式：当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值

24.（8分）如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐 标系.

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时）的变化满足函数关系h= 9)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

25.（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m.

（1）若花园的面积为192 m2，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.

26.（10分）已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）.

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

北师大版2023初三年级数学下册期中检测试题(含答案解析)参考答案

一、选择题

1. A 解析:∵ 二次函数y=a(x+1)2 b(a≠0)有最小值1,

∴ a0且x= 1时， b=1.∴ a0,b= 1.∴ ab.

2.D 解析：y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1）2+2.

3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位长度得y=(x-2)2-4，再向上平移2个单位长度得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.

4.C 解析:当 时，二次函数图象开口向下，一次函数图象y随x的增大而减小，此时C，D符合.又由二次函数图象的对称轴在 轴左侧，

所以 ，即 ，只有C符合.同理可讨论当 时的情况.

5.B 解析: 抛物线 的顶点坐标是（ ），

所以 ，解得 .

6.D 解析:由于函数图象开口向下，所以在对称轴左侧 随 的增大而增大，由对称轴为直线 ，知 的取值范围是x＜-1.

7. A 解析：因为OA=OC，点C（0，c），所以点A（-c,0），即当x= -c时，y=0,则 ，所以a，b，c满足的关系式是ac-b+1=0,即ac+1=b.

8.D 解析：当y=0时,得到 （ ＞1），则 =4a(a-1)，因为 ＞1，所以4a(a-1)＞0，即 ＞0，所以方程 有两个不相等的实数根，即二次函数 的图象与x轴有两个交点，设与x轴两个交点的横坐标为 ，由题意，得 ＞0， ＞0，所以 同号，且均为正数，所以这两个交点在y轴的右侧.所以选项D正确.

9. B 解析：∵ OA=10米，∴ 点C的横坐标为 10.把x= 10代入y=－ +16得,y= ,故选B.

10. D 解析:由图象知a＞0,c＜0,又对称轴x= = ＜0,

∴ b＞0,∴ abc＜0.又 ＝ ，∴ a＝b，a+b≠0.

∵ a=b,∴ y=ax2+bx+c=bx2+bx+c.

由图象知,当x＝1时，y＝2b+c＜0，

故选项A,B,C均错误.∵ 2b+c＜0，

∴ 4a 2b+c＜0.∴ 4a+c＜2b,D选项正确.

二、填空题

11.＞ 解析:∵ a＝1＞0，对称轴为直线x=1，∴ 当x＞1时，y随x的增大而增大.故由x1＞x2＞1可得y1＞y2.

12. a（1+x）2 解析：二月份新产品的研发资金为a（1+x）元，因为每月新产品的研发资金的增长率都相等，所以三月份新产品的研发资金为a（1+x）（1+x）元，即a（1+x）2元.

13. 或 （答出这两种形式中任意一种均得分）

解析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得，平移后的抛物线的表达式为 .

14.y= x2- x+2或y=- x2+ x+2 解析：由题意知抛物线的对称轴为直线x=1或x=3.

（1）当对称轴为直线x=1时，b=-2a，抛物线经过A（0，2），B（4，3），

∴ 解得 ∴ y= x2- x+2.

（2）当对称轴为直线x=3时，b=-6a，抛物线经过A（0，2）， B（4，3），

∴ 解得 ∴ y=- x2+ x+2.

∴ 抛物线的函数表达式为y= x2- x+2或y=- x2+ x+2.

15. 600 解析:y=60x 1.5x2= 1.5（x 20）2+600,当x=20时,y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m才能停下来.

16. 解析:令 ，令 ，得 ，

所以 ，

所以△ 的面积是 .

17. 8 解析：因为点A到对称轴的距离为4，且抛物线为轴对称图形，所以AB=2×4=8.

18. 解析：本题答案不唯一，只要符合题意即可，如

三、解答题

19.解:将 整理，得 .

因为抛物线 向左平移2个单位长度，

再向下平移1个单位长度，得 ，

所以将 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得 ，故 ，

所以 .示意图如图所示.

20.解:（1）建立平面直角坐标系，设点A为原点，

则抛物线过点（0，0），（600，0），

从而抛物线的对称轴为直线 .

又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，

则其顶点坐标为（300，1 200），

所以设抛物线的表达式为 ，

将（0，0）代入所设表达式，得 ，

所以抛物线的表达式为 .

（2）将 代入表达式，得 ，

所以炮弹能越过障碍物.

21.分析：日利润=销售量×每件利润，每件利润为 元，销售量为[ 件，据此得表达式．

解：设售价定为 元/件.

由题意得， ，

∵ ，∴ 当 时， 有最大值360.

答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．

22.分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x= =1,列方程求t的值，确定二次函数表达式.

（2）把x= 3,y=m代入二次函数表达式中求出m的值，再代入y=kx+6中求出k的值.

解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，

则 =1，∴ t= .∴ y= x2+x+ .

(2)∵ 二次函数图象必经过A点，

∴ m= ×( )2+( 3)+ = 6.

又一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴ 3k+6= 6,∴ k=4.

23.分析：（1）由三角形面积公式S= 得S与x之间的表达式为S= ?x（40 x）= x2+20x.

（2）利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.

解：（1）S= x2+20x.

（2）方法1：∵ a= ＜0,∴ S有最大值.

∴ 当x= = =20时，S有最大值为 = =200.

∴ 当x为20 cm时,三角形面积最大，最大面积是200 cm2.

方法2：∵ a= ＜0,∴ S有最大值.

∴ 当x= = =20时，S有最大值为S= ×202+20×20=200.

∴ 当x为20 cm时，三角形面积最大，最大面积是200 cm2..

点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.

24.分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+b(a≠0),将(0,11)和（8，8）代入即可求出a,b;

(2)令h=6,解方程 （t 19）2+8=6得t1,t2，所以当h≥6时，禁止船只通行的时间为

｜t2-t1｜.

解：(1)依题意可得顶点C的坐标为（0，11），设抛物线表达式为y=ax2+11.

由抛物线的对称性可得B(8,8),

∴ 8=64a+11，解得a= ,∴ 抛物线表达式为y= x2+11.

(2)画出h= (t-19)2+8(0≤t≤40)的图象如图所示.

当水面到顶点C的距离不大于5米时，

h≥6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.

由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜=32(小时）.

答：禁止船只通行的时间为32小时.

点拨：（2）中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键，本题考查了二次函数在实

际问题中的应用.

25.分析：（1）根据矩形的面积公式列出方程x（28-x）=192，解这个方程求出x的值即可.

（2）列出S与x的二次函数表达式，根据二次函数的性质求S的最大值.

解：（1）由AB=x m，得BC=(28-x)m，根据题意，得x（28-x）=192，解得x1=12，x2=16.

答：若花园的面积为192 m2，则x的值为12或16.

（2）S=x（28-x）=-x2+28x=-(x-14)2+196，

因为x≥6，28-x≥15，所以6≤x≤13.

因为a=-10，所以当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，

所以当x=13时，S有最大值195 m2.

点拨：求实际问题中的最大值或最小值时，一般应该列出函数表达式，根据函数的性质求解.在求最大值或最小值时，应注意自变量的取值范围.

26.分析：（1）求出根的判别式，根据根的判别式的符号，即可得出答案；

（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质进行解答．

（1）证法1：因为（-2m）2-4（m2+3）=-12＜0，

所以方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根，

所以不论m为何值，函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.

证法2：因为a=10，所以该函数的图象开口向上.

又因为y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3≥3，

所以该函数的图象在x轴的上方.

所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.

（2）解：y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，

把函数y=（x-m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），

因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点.

所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

点拨：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系．Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，当Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．