2023九年级数学下册期中二次函数测试题2(含答案解析)

2023九年级数学下册期中二次函数测试题2(含答案解析)

一．选择题（共8小题，每题3分）

1．下列函数中，是二次函数的是（ ）

A． B．y=（x+2）（x﹣2）﹣x2 C． D．

2．下列结论正确的是（）

A．二次函数中两个变量的值是非零实数

B．二次函数中变量x的值是所有实数

C．形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数

D．二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零

3．下列函数中，y是x二次函数的是（）

A．y=x﹣1 B．y=x2+ ﹣10 C．y=x2+2x D．y2 =x﹣1

4．二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）

A． B． C． D．

5．如图，a1，a2，a3，a4的大小关系是（）

A．a1＞a2＞a3＞a4 B．a1＜a2＜a3＜a4 C．a4＞a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a1＞a4

6．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）

A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x﹣3 D．y=x2+2x+3

7．二次函数y=x2﹣4x图象的对称轴是（）

A．直线x=0 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x=﹣4

8．物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规 律可以表示为：s= gt2．其中s表示自某一高度下落的距离，t表示下落的时间，g是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s和时间t函数图象大致为（）

A． B． C． D．

二．填空题（共6小题，每题3分）

9．抛物线y=x2+6x+8与坐标轴的交点分别为A，B，C，则△ABC的面积为_________．

10．已知过点（1，0）的直线与抛物线y=2x2仅有一个交点，写出满足该条件的直线解析式_________．

11．抛物线y=﹣ （x﹣1）（x+ 2）与x轴的交点坐标是_________，与y轴的交点坐标是_________．

12．已知抛物线y=﹣2（x+3）2+5，如果y随x的增大而减少，那么x的取值范围_________．

13．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，则这个函数图象的对称轴为_________．

14．若二次函数y=x2﹣ax+9的图象的顶点在坐标轴上，则a的值为_________．

三．解答题（共10小题）

15．（6分）已知一个二次函数，当x=﹣2或3时，y=0，且函数图象最高点纵坐标为2，用待定系数法求二次函数解析式．

16．（6分）（1）请写出图中所示的二次函数图象的解析式；

（2）若﹣3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为_________、_________．

17．（6分）已知一抛物线经过A（0， ）、B（1，2）、C（﹣1，0）三个点．

（1）求这抛物线的解析式；

（2）画出这抛物线的图象；

（3）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最值情况；

（4）求抛物线与x轴的交点坐标，并指出x取哪些实数时，y＜0？

18（8分）．抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，AB=3，且抛物线过点P（﹣1，2），求抛物线的解析式．

19．（8分）如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．

21．（8分）如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm ，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．

22．（8分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在 ，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（10分）小张到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：小张的采购价y （元/吨）与采购x （吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）已知老王种植水果的成本是2023元/吨，那么小张的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？

24．（8分）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2所示．

（1）求y2的解析式；

（2）第几月销售这种水果，每千克所 获得利润最大？最大利润是多少？

2023九年级数学下册期中二次函数测试题2(含答案解析)参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．下列函数中，是二次函数的是（）

A． B．y=（x+2）（x﹣2）﹣x2 C． D．

考点： 二次函数的定义．

分析： 整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．

解答： 解：A、函数式整理为y= x2﹣ x，是二次函数，正确；

B、函数式整理为y=﹣4，不是二次函数，错误；

C、是正比例函数，错误；

D、是反比例函数，错误．

故选A．

点评： 本题考查二次函数的定义．

2．下列结论正确的是（）

A． 二次函数中两个变量的值是非零实数

B． 二次函数中变量x的值是所有实数

C． 形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数

D． 二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零

考点： 二次函数的定义．

分析： 根据二次函数定义：形如y=ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数就可以解答．

解答： 解：A、例如y=x2，自变量取0，函数值是0，所以不对；

B、二次函数中变量x的值可以取所有实数，正确；

C、应强调当a≠0时，是二次函数，错误；

D、要求a≠0，b、c可以为0．

故选B．

点评： 本题考查二次函数的概念和各系数的取值范围．

3．下列函数中，y是x二次函数的是（）

A． y=x﹣1 B．y=x2+ ﹣10 C．y=x2+2x D． y2=x﹣1

考点： 二次函数的定义．

分析： 首 先找出关于x的函数为整式的，再利用二次函数的定义进行选择．

解答： 解：A、一次函数，不是二次函数；

B、不是关于x的整式，不符合二次函数的定义；

C、符合二次函数的定义；

D、y的指数为2，不符合二次函数的定义；

故选C．

点评： 本题考查二次函数定义．

4．二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）

A． B．C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．

分析： 根据a的符号分类，a＞0时，在A、B中判断一次函数的图象是否相符，a＜0时，在C、D中进行判断．

解答： 解：①当a＞0时，二次函数y=ax2的开口向上，一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限，排除A、B；

②当a＜0时，二次函数y=ax2的开口向下，一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限，排除D．

故选C．

点评： 利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．

5．如图，a1，a2，a3，a4的大小关系是（）

A． a1＞a2＞a3＞a4 B．a1＜a2＜a3＜a4 C．a4＞a1＞a2＞a3 D． a2＞a3＞a1＞a4

考点： 二次函数的图象．

分析： 令x=1，根据函数图象按照从上到下的顺序排列a1，a2，a3，a4的大小即可得解．

解 答： 解：令x=1，根据函数图象可得a1＞a2＞a3＞a4．

故选A．

点评： 本题考查了二次函数的图象，令x=1得到相应的系数的值与函数值相等，从上到下的顺序按照从大到小的顺序排列即可，比较简单．

6．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）

A． y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x﹣3 D． y=x2+2x+3

考点： 待定系数法求二次函数解析式．

专题： 压轴题．

分析： 根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．

解答： 解：根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为﹣3，符合题意，故

设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，

抛物线过（﹣1，0），（0，﹣3），（3，0），

所以 ，

解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，

这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3．

故选B．

点评： 本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．

7．二次函数y=x2﹣4x图象的对称轴是（）

A． 直线x=0 B．直线x=2 C．直线x=4 D． 直线x=﹣4

考点： 二次函数的性质．

专题： 函数思想．

分析： 根据对称轴方程x=﹣ 解答．

解答： 解：∵y=x2﹣4 x的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣4，

∴对称轴x=﹣ =2，即x=2．

故选B．

点评： 本题考查了二次函数的性质．解答该题时，也可以利用顶点式方程来求二次函数的对称轴．

8．物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s= gt2．其中s表 示自某一高度下落的距离，t表示下落的时间，g是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s和时间t函数图象大致为（）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的应用；二次函数的图象．

专题： 图表型．

分析： 先根据函数关系式为h= gt2确定图象属于那一类函数的图象，再根据g、t的取值范围确定图象的具体形状．

解答： 解：t为未知数，关系式h= gt2为二次函数，

∵g为正常数

∴抛物线开口方向向上，排除C、D；

又∵时间t不能为负数，

∴图象只有右半部分．

故选B．

点评： 根据关系式判断属于哪一类函数，关键要会判断未知数及未知数的指数的高低．

二．填空题（共6小题）

9．抛物线y=x2+6x+8与坐标轴的交点分别为A，B，C，则△ABC的面积为8．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 先根据抛物线y=x2+6x+8找到与坐标轴的三个交点，则该三角形的面积可求．

解答： 解：解方程x2+6x+8=0，

∴x1=﹣2，x2=﹣4，

∴它与x轴的三个交点分别是：（﹣2，0），（﹣4，0）；

当x=0时，y=8，

∴它与y轴的交点是：（0，8）

∴该三角形的面积为 ×2×8=8．

故答案为：8．

点评： 此题考 查了抛物线与坐标轴的交点求法，解决此问题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点坐标．

10．已知过点（1，0）的直线与抛物线y=2x2仅有一个交点，写出满足该条件的直线解析式y=8x﹣8或x=1或y=0．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 设过点（1，0）的直线为y=kx+b，把（1，0）代入其中得k+b=0，又直线与抛物线y=2x2只有一个交点，那么它们组成的方程组只有一个实数解，那么关于x的方程的判别式为0，由此即可求出k和b．

解答： 解：设过点（1，0）的直线为y=kx+b，

把（1，0）代入其中得k+b=0，

∴b=﹣k ①，

∴y=kx﹣ k，

∵过点（1，0）的直线与抛物线y=2x2仅有一个交点，

∴kx﹣k=2x2的判别式为0，

即△=b2﹣4ac=k2﹣8k=0，∴k=8或k=0（不合题意，舍去），

∴当k=8时，b=﹣8，

当k=0时，b=0，

∴直线解析式为y=8x﹣8或x=1或y=0．

故填空答案：y=8x﹣8或x=1或y=0．

点评： 此题主要考查了抛物线与直线的交点情况与它们解析式组成的方程组的解之间的关系，解题根据是利用它们之间的对应关系列出关于待定系数的方程．

11．抛物线y=﹣ （x﹣1）（x+2）与x轴的交点坐标是（1，0），（﹣2，0），与y轴的交点坐标是（0， ）．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 已知抛物线解析式为：y=﹣ （x﹣1）（x+2）是函数的两点式，易求 其与x轴的交点，然后再令x=0，求得函数与y轴的交点坐标．

解答： 解：∵抛物线y=﹣ （x﹣1）（x+2），

∴x轴的交点坐标是：（1，0），（﹣2，0），

令x=0，得y=﹣ = ，

∴y轴的交点坐标是：（0， ）．

点评： 此题主要考查一元二次方程与函数的关系及二次函数与坐标轴的交点坐标，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．

12．已知抛物线y=﹣2（x+3）2+5，如果y随x的增大而减少，那么x的取 值范围x＞﹣3．

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次函数解析式可知其图象开口向下，在对称轴右侧时y随x的增大而减小，可得出答案．

解答： 解：∵抛物线y=﹣2（x+3）2+5，

∴其图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，

∴y随x的增大而减少，x的取值范围为x＞﹣3，

故答案为：x＞﹣3．

点评： 本题主要考查二次函数的增减性，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性是解题的关键．

13．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，则这个函数图象的对称轴为直线x=2．

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题．

分析： 根据抛物线的对称性得到点A与点B是抛物线上的对称点，易得抛物线的对称轴为直线x=2．

解答： 解：∵A（1，0）、B（3，0）两点为抛物线与x轴的两交点坐标，

∴点A与点B是抛物线上的对称点，

而A（1，0）和B（3，0）关于直线x=2对称，

∴抛物线的对称轴为直线x=2．

故答案为：直线x=2．

点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高 点．

14．若二次函数y=x2﹣ax+9的图象的顶点在坐标轴上，则a的值为0或6或﹣6．

考点： 二次函数的性质．

分析： 可利用顶点坐标公式求得顶点坐标，当顶点在x轴上时可知其最小值为0，当顶点在y轴上时可知其对称轴为0，可分别求得a的值．

解答： 解：∵y=x2﹣ax+9，

∴其对称轴为x= ，最小值为9﹣ ，

∴其顶点坐标为（ ，9﹣ ），

当顶点在x轴上时，则9﹣ =0，解得a=±6，

当顶点在y轴上时，则 =0，解得a=0，

故答案为：0或6或﹣6．

点评： 本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点在坐标轴上的条件是解题的关键．

三．解答题（共10小题）

15．已知一个二次函数，当x=﹣2或3时，y=0 ，且函数图象最高点纵坐标为 2，用待定系数法求二次函数解析式．

考点： 待定系数法求二次函数解析式．

分析： 将点（﹣2，0），（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 =2，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式．

解答： 解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），（3，0），

∴对称轴为：x= ，

∵顶点的纵坐标为2，

∴顶点坐标为：（ ，2），

设此二次函数解析式为：y=a（x﹣ ）2+2，

∴0=a（1﹣ ）2+2，

解得：a=﹣8，

∴这 个二次函数的解析式为y=﹣8（x﹣ ）2+2

即这个二次函数的解析式为y=﹣8x2+8x；

点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．

16．（1）请写出图中所示的二次函数图象的解析式；

（2）若﹣3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为2、﹣30．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．

专题： 计算题．

分析： （1）由于已知抛物线与x轴的两交点坐标，则可设交点式y=ax（x+2），然后把A点坐标代入即可得到a的值，从而得到抛物线解析式；

（2）根据二次函数的性质当﹣3≤x≤3时 ，x=﹣1时，函数有最大值2；当x=3时，函数有最小值，把x=3代入解析式计算函数的最小值．

解答： 解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x+2），

把A（﹣1，2）代入得a?（﹣1）?（﹣1+2）=2，解得a=﹣2，

所以抛物线解析式为y=﹣2x（x+2）=﹣2x2﹣4x；

（2）抛物线y=2x2+4x的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，

当﹣3≤x≤3时，x=﹣1时，函数有最大值2；当x=3时，函数有最小值为y=﹣2×9﹣4×3=﹣30．

故答案为2，﹣30．

点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

17．已知一抛物线经过A（0， ）、B（1，2）、C（﹣1，0）三个点．

（1）求这抛物线的解析式；

（2）画出这抛物线的图象；

（3）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最值情况；

（4）求抛物线与x轴的交点坐标，并指出x取哪些实数时，y＜0？

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．

专题： 计算题．

分析： （1）设一般式，利用待定系数法求函数解析式；

（2）先配成顶点式，再利用描点法画函数图象；

（3）根据二次函数的性质求解；

（4）求函数值为0时所对应的自变量的值，即解方程﹣ x2+x+ =0可得到抛物线与x轴的交点坐标；然后利用函数图象，找出y＜0时所对应的自变量的取值范围．

解答： 解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

根据题意得 ，解得 ，

所以抛物线解析式为y=﹣ x2+x+ ；

（2）y=﹣ （x﹣1）2+2，

如图；

（3）物线的顶点坐标为（1，2）、对称轴为直线x=1、函数有最大值2；

（4）当y=0时，﹣ x2+ x+ =0，解得x1=﹣1，x2=3，

所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），

当x＞3或x＜﹣1时，y＜0．

点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．

18．抛物线y=ax2+ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，AB=3，且抛物线过点P（﹣1，2），求抛物线的解析式．

考点： 待定系数法求二次函数解析式．

专题： 计算题．

分析： 抛物线解析式令y=0，得到关于x的方程，设此方程两根为x1，x2，则有x1+x2=﹣1，x1x2= ，根据AB=3列出关系式，把P坐标代入列出关系式，联立求出a与c的值，即可确定出解析式．

解答： 解：抛物线y=ax2+ax+c，令y=0，得到ax2+ax+c=0，

设此方程两根为x1，x2，则有x1+x2=﹣1，x1x2= ，

∵AB=|x1﹣x2|= = =3，

∴1﹣ =9，

把P（﹣1，2）代入抛物线解析式得：2=a﹣a+c，即c=2，

解得：a=﹣1，

则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2．

点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

19．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．

解答： 解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m，

根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x．

点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出矩形的宽是解题关键．

20．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点 P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．

解答： 解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，

动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，

∴BP=12﹣2t，BQ=4t，

∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：y= （12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（0＜t＜6）．

点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出BP，BQ的长是解题关键．

21．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．

解答： 解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴重叠部分也是等腰直角三角形，

又∵AN=2t，

∴AM=MN﹣AN=20﹣2t，

∴MH=AM=20﹣2t，

∴重叠部分的面积为y= （20﹣2t）2=2t2﹣40t+200．

点评： 本题考查了根据实际问题抽象二次函数关系式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意AM的值的求法．

22．抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）将点A、点B的坐 标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；

（2）连接BC，则BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标．

解答： 解（1）把A（1，0）、B（﹣3，0）代入抛物线解析式可得： ，

解得：

故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

（2）存在．

由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，

设直线BC解析式为y=kx+b，把B（﹣3，0）、C（0，3）代入得： ，

解得： ，

则直线BC的解析式为y= x+3，

令QX=﹣1 得Qy=2，

故点Q的坐标为：（﹣1，2）．

点评： 本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．

23．小张到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：小张的采购价y （元/吨）与采购x （吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）已知老王种植水果的成本是2023元/吨，那么小张的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）分别根据当0＜x≤20时，y=2023，当20＜x≤40时，设BC满足的函数关系式为y=kx+b，分别求出即可；

（2）利用当0＜x≤20时，老王获得的利润为：w=（2023﹣2023）x，当20＜x≤40时，老王获得的利润为w=（﹣200x+12 000﹣2023）x分别求出即可．

解答： 解：（1）当0＜x≤20时，y=2023．

当20＜x≤40时，设BC满足的函数关系式为y=kx+b，

解得： ，

∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣200x+12 000．

（2）当0＜x≤20时，老王获得的利润为：

w=（2023﹣2023）x

=5 600x≤112 000，此时老王获得的最大利润为112 000元．

当20＜x≤40时，老王获得的利润为w=（﹣200x+12 000﹣2023）x

=﹣20 0（x2﹣48x）=﹣200（x﹣24）2+202300．

∴当x=24 时，利润w取得最大值，最大值为202300元．

∵202300＞112 000，

∴当小张的采购量为24吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为202300元．

点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，根据数形结合以及分类讨论得出是解题关键．

24．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2所示．

（1）求y2的解析式；

（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

考点： 二次函数的应用；一次函数的应用．

专题： 销售问题．

分析： （1）把函数图象经过的点（3，6），（7，7）代入函数解析式，解方程组求出m、n的值，即可得解；

（2）根据图1求出每千克的售价y1与x的函数关系式，然后根据利润=售价﹣成本，得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即可．

解答： 解：（1）由图可知，y2=mx2﹣8mx+n经过点（3，6），（7，7），

∴ ，

解得 ．

∴y2= x2﹣x+ （1≤x≤12）；

（2）设y1=kx+b（k≠0），

由图可知，函数图象经过点（4，11），（8，10），

则 ，

解得 ，

∴y1=﹣ x+12（1≤x≤12），

∴每千克所获得利润=（﹣ x+12）﹣（ x2﹣x+ ）

=﹣ x+12﹣ x2+x﹣

=﹣ x2+ x+

=﹣ （x2﹣6x+9）+ +

=﹣ （x﹣3）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当x=3时，所获得利润最大，最大为 元．

答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是 元．

点评： 本题考查了二次函数的应用，主要利用 了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）整理出利润的表达式并整理成顶点式形式．