2023初三数学下册期中二次函数综合测试题1(含答案解析)

2023初三数学下册期中二次函数综合测试题1(含答案解析)

一．选择题（共8小题）

1．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）

A．（ ， ） B．（2，2） C．（ ，2） D．（2， ）

2．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）

A． B． C．﹣2 D．

3．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

4．下列图形中，阴影部分的面积为2的有（）个．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5．正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（）

A． B． C． D．

6．如图，两条抛物线y1=﹣ x2+1，y2= 与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）

A．8 B．6 C．10 D．4

7．如图，二次函数y=﹣x2﹣2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标是（）

A．（﹣3，﹣3） B．（1，﹣3） C．（﹣3，﹣3）或（﹣3，1） D．（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）

8．如图 ，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）

A． B． C． D．

二．填空题（共6小题）

9．如图，矩形ABCD的长AB=6cm，宽AD=3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y=ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是____ _____cm2．

10．如图，正方形AB CD边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（﹣1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30°后D点转到D′位置，且D′在抛物线上，则抛物线的解析式为_________．

11．已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．

（1）抛物线解析式为_________．

（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为_________．

12．如图，将2个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的关系式为_________．

13．下列图形中阴影部分的面积相等的是（填序号）_________．

14．如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，2），⊙M经过原点O和点A，若点M在抛物线 上，则点M的坐标为__ _______．

三．解答题（共6小题）

15．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

16．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

17．如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；

（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2x与x轴正半轴交于点A，顶点为B．

（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）已知点C（0，﹣2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值；

（3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，﹣ ），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：

①求点F的坐标；

②设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

19．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与x轴交于点C．

（1） 求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

20．如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．

（1）求点A的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

2023初三数学下册期中二次函数综合测试题1(含答案解析)参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）

A． （ ， ） B．（2，2） C．（ ，2） D． （2， ）

考点： 二次函数综合题．

专题： 综合题．

分析： 首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；

解答： 解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，

∴4=a×（﹣2）2，

解得：a=1

∴解析式为y=x2，

∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），

∴OB=OD=2，

∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，

∴CD∥x轴，

∴点D和点P的纵坐标均为2，

∴令y=2，得2=x2，

解得：x=± ，

∵点P在第一象限，

∴点P的坐标为：（ ，2）

故选：C．

点评： 本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．

2．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）

A． B． C．﹣2 D．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： 连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OC与x轴正半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．

解答： 解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；

则∠BOC=45°，∠BOD=30°；

已知正方形的边长为1，则OB= ；

Rt△OBD中，OB= ，∠BOD=30°，则：

BD= OB= ，OD= OB= ；

故B（ ，﹣ ），

代入抛物线的解析式中，得：

（ ）2a=﹣ ，

解得a=﹣ ；

故选B．

点评： 此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键．

3．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）

A． ﹣3 B．﹣1 C．1 D． 3

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： 根据顶点P在线段MN上移动，又知点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），分别求出对称轴过点M和N时的情况，即可判 断出A点坐标的最小值．

解答： 解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，

即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，

此时的A点坐标为（﹣1，0），

当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），

此时A点的坐标最小为（﹣3，0），

故点A的横坐标的最小值为﹣3，

故选A．

点评： 本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．

4．下列图形中，阴影部分的面积为2的有（）个．

A． 4个 B．3个 C．2个 D． 1个

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题；图表型；数形结合．

分析： ①分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；

②把x=1代入函数解析式求出对应的y，然后利用三角形的面积公式即可求解；

③首先求出平稳性与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；

④根据反比例函数的性质即可求解．

解答： 解：①y=﹣x+2，

当x=0，y=2，

当y=0，x=2，

∴S阴影部分= ×2×2=2；

②y=4x，

当x=1，y=4，

∴S阴影部分= ×1×4=2；

③y=x2﹣1，

当x=0，y=﹣1，

当y=0，x=±1，

S阴影部分= ×1×2=1；

④y= ，

∴xy=4，

∴S阴影部分= ×4=2；

故阴影部分的面积为2的有 ①②④．

故选B．

点评： 此题主要 考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，同时也利用了三角形的面积公式，解题时要求学生熟练掌握三种函数的图象和性质才能解决问题．

5．正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图 象大致是（）

A． B． C． D．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题 ．

分析： 由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．

解答： 解：依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH

=1﹣4× （1﹣x）x=2x2﹣2x+1，

即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），

抛物线开口向上，对称轴为x= ，

故选C．

点评： 本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．

6．如图，两条抛物线y1=﹣ x2+1，y2= 与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）

A． 8 B．6 C．10 D． 4

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： 两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积．

解答： 解：∵两解析式的二次项系数相同，

∴两抛物线的形状完全相同，

∴y1﹣y2=﹣ x2+1﹣（﹣ x2﹣1 ）=2；

∴S阴影=（y1﹣y2）×|2﹣（﹣2）|=2×4=8，

故选A．

点评： 本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题．

7．如图，二次函数y=﹣x2﹣2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标是（）

A． （﹣3，﹣3） B．（1，﹣3） C．（﹣3，﹣3）或（﹣3，1） D． （﹣3，﹣3）或（1，﹣3）

考点： 二次函数综合题．

分析： 根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．

解答： 解：抛物线的解析式中，令y=0，得：﹣x2﹣2x=0，解得x=0，x=﹣2；

∴A（﹣2，0），OA=2；

∵S△AOP= OA?|yP|=3，∴|yP|=3；

当P点纵坐标为3时，﹣x2﹣2x=3，x2+2x+3=0，△=4﹣12＜0，方程无解，此种情况不成立；

当P点纵坐标为﹣3时，﹣x2﹣2x=﹣3，x2+2x﹣3=0，

解得x=1，x=﹣3；

∴P（1，﹣3）或（﹣3，﹣3）；

故选D．

点评： 能够根据三角形面积来确定P点的坐标，是解答此题的关键．

8．如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）

A． B．C． D．

考点： 二次函数综合题；二次函数的图象．

专题： 压轴题．

分析： 因为A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以n=2m．根据三角形面积公式即可得出S与m之间的函数关系，根据关系式即可解答．

解答： 解：由题意可列该函数关系式：S= |m|?2|m|=m2，

因为点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，

所以点A（m，n）在第一或三象限，

又因为S＞0，

所以取第一、二象限内的部分．

故选D．

点评： 应熟记：二次函数的图象是一条抛物线．且注意分析题中的“小细节”．

二．填空题（共6小题）

9．如图，矩形ABCD的长AB=6cm，宽AD=3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y=ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： 根据抛物线的对称性易知阴影部分的面积实际是一个半圆的面积，且半圆的半径为OA（或OB）的一半，AB的四分之一，由此可求出阴影部分的面积．

解答： 解：由题意，得：S阴影=S半圆= π（ ）2= π（cm2）．

点评： 此题并不难，能够发现阴影部分与半圆面积之间的关系是解答此题的关键．

10．如图，正方形ABCD边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（﹣1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30°后D点转到D′位置，且D′在抛物线上，则抛物线的解析式为y= （x+1）（x﹣1）（或y= x2﹣ ）．

考点： 二次函数综合题．

分析： 如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．根据旋转的性质推知直角△AED′中的AD′=2，∠D′AE=60°，通过解该直角三角形即可求得AE、D′E的长度，从而求得点D′的坐标，然后将其代入二次函数解析式y=a（x+1）（x﹣1）（a≠0），从而求得a的值．

解答： 解：根据题意，可设该二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣1）（a≠0），

如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．

∵A（1，0），B（﹣1，0），

∴AB=2．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=2，∠DAB=90°．

又∵由旋转的性质知，∠DAD′=30°，AD=AD′=2，

∴在直角△AED′中，AE=AD′cos60°=2× =1，D′E=AD′sin60°=2× = ，

∴D′（2， ）．

∵点D′在抛物线上，

∴ =a（2+1）（2﹣1），

解得，a= ，

∴该二次函数解析式是：y= （x+1）（x﹣1）（或y= x2﹣ ）．

故答案是：y= （x+1）（x﹣1）（或y= x2﹣ ）．

点评： 本题综合考查了旋转的性质，点的坐标与图形的性质，解直角三角形以及待定系数法求二次函数解析式．在求点D′的坐标时，也可以在直角△AED′中利用“勾股定理、30°角所对的直角边是所对的斜边的一半”进行解答．

11．已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．

（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x．

（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为（﹣ ， ）、（﹣ ， ）．

考点： 二次函数综合题．

专题： 计算题；压轴题；数形结合；分类讨论．

分析： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，因为抛物线过原点，把（0，0）代入，求出a即可．

（2）由于PQ⊥MA，即∠MQP=∠MBA=90°；所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．

①∠PMQ=∠AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点（设为点C），显然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根据该条件得到点C的坐标，进而求出直线MC（即直线MP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；

②∠PMQ=∠MAB时，若设直线MP与x轴的交点为D，那么△MAD必为等腰三角形，即MD=AD，根据此条件先求出点D的坐标，进而得出直线MP的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．

解答： 解：（1）∵过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），

∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，

将x=0，y=0代入可得：4a+4=0，

解得：a=﹣1，

∴抛物线解析式为：y=﹣（x+2）2+4，

即y=﹣x2﹣4x；

（2）∵PQ⊥MA

∴∠MQP=∠MBA=90°；

若△MPQ、△MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：

①∠PMQ=∠AMB，此时MA为∠PMB的角平分线，如图①；

取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：

，解得 （舍），

∴点C的坐标为（﹣ ， ）；

设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、（﹣ ， ）得：

，解得

∴直线MP：y= x+

联立抛物线的解析式，有：

，解得 ，

∴点P的坐标（﹣ ， ）；

②∠PMQ=∠MAB，如右图②，此时△MAD为等腰三角形，且MD=AD，若设点D（x，0），则有：

（x+4）2=（x+2）2+（0﹣4）2，解得：x=1

∴点D（1，0）；

设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、D（1，0）后，有：

，解得：

∴直线MP：y=﹣ x+

联立抛物线的解析式有：

，解得： ，

∴点P的坐标（﹣ ， ）

综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（﹣ ， ）、（﹣ ， ）．

故答案：（1）y=﹣x2﹣4x；（2）（﹣ ， ）、（﹣ ， ）．

点评： 该题虽然是一道填空题，但难度不亚于压轴题；主要的难度在于第二题，在“相似三角形→相等角→确定关键点→得到直线MP解析式”的解题思路中，综合了相似三角形、等腰三角形的性质、轴对称图形、坐标系两点间的距离公式、函数图象交点坐标的求法等重点知识，这就要求同学们有扎实的基础功底和良好的数形结合的思考方法．

12．如图，将2个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的关系式为y=﹣ x2+ x+1．

考点： 二次函数综合题．

专题： 代数几何综合题．

分析： 根据正方形的性质求出点B、C的坐标，再根据二次函数图象的轴对称性确定出点M的坐标，然后利用待 定系数法求二次函数解析式解答即可．

解答： 解：∵正方形的边长为1，

∴OA=1+1=2，OC=1，

∴点B（2，1）、C（0，1），

∵正方形EFMN的两顶点M、N在抛物线上，

∴根据二次函数图象的轴对称性，点M的横坐标为1﹣ ×1=1﹣ = ，

纵坐标为1+1=2，

∴点M（ ，2），

设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，

则 ，

解得 ，

所以，二次函数的关系式为y=﹣ x2+ x+1．

故答案为：y=﹣ x2+ x+1．

点评： 本题是二次函数综合题型，主要涉及正方形的性质，二次函数图象的轴对称性，待定系数法求二次函数解析式，综合题但难度不大，确定出点B、C、M的坐标是解题的关键．

13．下列图形中阴影部分的面积相等的是（填序号）③④．

考点： 二次函数综合题．

分析： 首先根据各图形的函数解 析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．

解答： 解：①：直线y=x+2与坐标轴的交点坐标为：（﹣2，0），（0，2），故S阴影= ×2×2=2；

②：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；

③：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1；

④：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S= xy= ×2=1；

因此③④的面积相等，

故答案为：③④．

点评： 此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键．

14．如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，2），⊙M经过原点O和点A，若点M在抛物线 上，则点M的坐标为（ ，1），（﹣ ，1）．

考点： 二次函数综合题．

分析： 根据⊙M经过原点O和点A，得出M在AO的垂直平分线上，进而得出垂直平分线解析式为y=1，再求出两图象交点即可．

解答： 解：∵A（0，2），⊙M经过原点O和点A，

∴AO=2，

∴M在AO的垂直平分线上，

∴垂直平分线解析式为y=1，

∴两图象交点为：1= x2，

解得：x=± ，

∴点M的坐标为：（ ， 1），（﹣ ，1）．

故答案为：（ ，1），（﹣ ，1）．

点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用，根据已知得出M在AO的垂直平分线上是解题关键．

三．解答题（共6小题）

15．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

考点： 二次函数综合题．

专题： 综合题．

分析： （1）先求出A、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程x=﹣ 求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的坐标特征求出点B的坐标；

（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根据条件即可得到△CAD∽△ABC，然后运用相似三角形的性质可求出CD的长，由此可得到OD的长，就可解决问题．

解答： 解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；

由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；

把点C（0，4）代入y=x2+kx+k﹣1，得k﹣1=4，

解得：k=5，

∴此抛物线的解析式为y=x2+5x+4，

∴此抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ ．

令y=0得x2+5x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=﹣4，

∴点B的坐标为（﹣1，0）．

（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴OA=OC=4，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，

∴AC= =4 ，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．

∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．

∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，

∴ = ，即 = ，

解得：CD= ，

∴OD=CD﹣CO= ﹣4= ，

∴点D的坐标为（0，﹣ ）．

点评： 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，弄清两相似三角形的对应关系是解决第（2）小题的关键．

16．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

考点： 二次函数综合题；勾股定理；锐角三角函数的定义．

专题： 数形结合．

分析： （1）如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则易推知CD∥AB，所以∠BCD=∠ABC=45°．利用直角等腰直角三角形的 性质和图中相关线段间的和差关系求得BC=4 ，BE=BC﹣CE= ．由正切三角函数定义知tan∠DBC= = ；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由点B、D的坐标得到BD⊥x轴，∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF= ．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知 = ，通过解方程求得点P的坐标为（﹣ ， ）．

解答： 解：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，

解得 x1=﹣1，x2=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，

∴D（3，4）．

如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．

∵C（0，4），

∴CD∥AB，

∴∠BCD=∠ABC=45°．

在直角△OBC中，∵OC=OB=4，

∴BC=4 ．

在直角△CDE中，CD=3．

∴CE=ED= ，

∴BE=BC﹣CE= ．

∴tan∠DBC= = ；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．

∵∠CBF=∠DBP=45°，

∴∠PBF=∠DBC，

∴tan∠PBF= ．

设P（x，﹣x2+3x+4），则 = ，

解得 x1=﹣ ，x2=4（舍去），

∴P（﹣ ， ）．

点评： 本题主要考查了二次函数综合型题目，其中涉及到了坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点．解题时，要注意数形结合的数学思想方法．

17．如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C 两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；

（2）将（1）中求得的抛物线向左 平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）根据已知点的坐标代入已知的函数的解析式即可利用待定系数法确定二次函数的解析式；

（2）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定点P的坐标，然后求得点C的坐标，从而利用待定系数法确定直线AC的解析式，然后确定m的取值范围即可；

（3）求出AB 中点，过此点且垂直于AB的直线在x=1的交点应该为顶点P的临界点，顶点P继续向上移动，不存在Q点，向下存在两个点P．

解答： 解：（1）将A（0，﹣6），B（﹣2，0）代入y= x2+bx+c，

得： ，

解得： ，

∴y= x2﹣2x﹣6，

∴顶点坐标为（2，﹣8）；

（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1= （x﹣2+1）2﹣8+m，

∴P（1，﹣8+m），

在抛物线y = x2﹣2x﹣6中易得C（6，0），

∴直线AC为y2=x﹣6，

当x=1时，y2=﹣5，

∴﹣5＜﹣8+m＜0，

解得：3＜m＜8；

（3）∵A（0，﹣6），B（﹣2，0），

∴线段AB的中点坐标为（﹣1，﹣3），直线AB的解析式为y=﹣3x﹣6，

∴过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为：y= x﹣ ，

∴直线y= x﹣ 与y= （x﹣1）2﹣8+m有交点，

联立方程，求的判别式为：

△=64﹣12（6m﹣29）≥0

解得：m≤

∴①当3＜m＜ 时，存在两个Q点，可作出两个等腰 三角形；

②当m= 时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；

③当 ＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．

点评： 本题考查了二次函数的综合知识，题目中还渗透了分类讨论的数学思想，这也是中考中常常出现的重要的数学思想，应加强此类题目的训练．

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2x与x轴正半轴交于点A，顶点为B．

（1）求点B 的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）已知点C（0，﹣2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值；

（3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，﹣ ），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：

①求点F的坐标；

②设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点B的坐标；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．先由ME∥y轴，得出△AME∽△AOC，根据相似三角形对应边的比相等得出 = = ，于是ME= OC=1．再根据△OCD≌△BED，得到OC=BE=2，于是BM=BE+ME=3，即﹣ =﹣3，进而求出m的值；

（3）由（2）得抛物线的解析式为y= x2﹣2x，其对称轴是x=3，A（6，0）．

①将N（n，﹣ ）代入y= x2﹣2x，求出n的值，得到N点坐标．由于四边形ONGF中，边ON与FG为定值，所以当NG+OF最小时，四边形ONGF的周长最小．于是可将点N向上平移1个单位得到N′（1，﹣ ），连结AN′，与对称轴的交点即为所求点F．在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，根据两点之间线段最短可知此时得到的四边形ONGF的周长最小．运用待定系数法求出直线AN′的解 析式，将x=3代入，求出y的值，进而得到点F的坐标；

②N（1，﹣ ），F（3，﹣ ），设H（0，y）．分两种情况讨论：

Ⅰ）当NF为平行四边形的边时，

如果NFHP为平行四边形，由点F向左平移3个单位横坐标为0，求得点P的横坐标为1﹣3=﹣2，将x=﹣2代入y= x2﹣2x，

求出P点坐标（﹣2， ），那么N点先向左平移3个单位，再向上平移 ﹣（﹣ ）=7个单位到点P，依此求出H点纵坐标为﹣ +7= ，进而得到H点坐标为（0， ）；

如果NFPH为平行四边形，同理求出H点坐标为（0，﹣ ）；

Ⅱ）当NF为平行四边形的对角线时，先求出NF的中点坐标，再根据H与P关于这个中点坐标对称，求出H点坐标为（0， ）．

解答： 解：（1）∵y=mx2﹣2x=m（x﹣ ）2﹣ ，

∴顶点B的坐标为（ ，﹣ ）；

（2）∵点C（0，﹣2），

∴OC=2．

设抛物线的对称轴与x轴交于点M．

∵ME∥y轴，

∴△AME∽△AOC，

∴ = = ，

∴ME= OC=1．

∵△OCD≌△BED，

∴OC=BE=2，

∴BM=BE+ME=3，

∴﹣ =﹣3，

∴m= ；

（3）由（2）得抛物线的解析式为y= x2﹣2x，其对称轴是直线x=3，A（6，0）．

①∵点N（n，﹣ ）在此抛物线上，

∴﹣ = n2﹣2n，

解得n1=1，n2=5．

∵点N在对称轴的左侧，

∴n=1，

∴N（1，﹣ ）．

将点N向上平移1个单位得到N′（1，﹣ ），连结AN′，与对称轴的交点即为所求点F．在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，可知此时得到的四边形ONGF的周长最小（由N′F′+AF′＞AN′，可得NG′+OF′＞NG+OF）．

设直线AN′的解析式为y=kx+b，

把N′（1，﹣ ），A（6，0）代入，

得 ，解得 ，

∴y= x﹣ ．

∵点F是AN′与对称轴是直线x=3的交点，

∴F（3，﹣ ）；

②N（1，﹣ ），F（3，﹣ ），设H（ 0，y）．

分两种情况讨论：

Ⅰ）当NF为平行四边形的边时，FH∥NP，FH=NP．

如果NFHP为平行四边形，

∵点F向左平移3个单位横坐标为0，

∴点P的横坐标为1﹣3=﹣2，

当x=﹣2时，y= x2﹣2x= ×（﹣2）2﹣2×（﹣2）= ，

∴P（﹣2， ），

∴N点先向左平移3个单位，再向上平移 ﹣（﹣ ）=7个单位到点P，

∴H点纵坐标为﹣ +7= ，

∴H点坐标为（0， ）；

如果NFPH为平行四边形，

∵点N向左平移1个单位横坐标为0，

∴点P的横坐标为3﹣1=2，

当x=2时，y= x2﹣2x= ×22﹣2×2=﹣ ，

∴P（2，﹣ ），

∴F点先向左平移1个单位，再向下平移﹣ ﹣（﹣ ）= 个单位到点P，

∴H点纵坐标为﹣ ﹣ =﹣ ，

∴H点坐标为（0，﹣ ）；

Ⅱ）当NF为平行四边形的对角线时，

∵NF的中点坐标为（2，﹣ ），

∴HP的中点坐标为（2，﹣ ），

∵H（0，y），

∴点P的横坐标为4，

当x=4时，y= x2﹣2x= ×42﹣2×4=﹣ ，

∴P（4，﹣ ），

∴H点纵坐标为2×（﹣ ）﹣（﹣ ）= ，

∴H点坐标为（0， ）；

综上所述，所求H点坐标为（0， ）或（0，﹣ ）或（0， ）．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线的顶点坐标求法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，轴对称的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

19．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与x轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；

（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；

（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．

解答： 解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，

∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），

∴y=a（x+2）2﹣4，

又∵函数图象经过点A（﹣6，0），

∴0=a（﹣6+2）2﹣4

解得a= ，

∴此函数的解析式为y= （x+2）2﹣4，即y= x2+x﹣3；

（2）∵点C是函数y= x2 +x﹣3的图象与y轴的交点，

∴点C的坐标是（0，﹣3），

又当y=0时，有y= x2+x﹣3=0，

解得x1=6，x2=2，

∴点B的坐标是（2，0），

则S△ABC= |AB|?|OC|= ×8×3=12；

（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．

设E（x，0），则P （x， x2+x﹣3），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），

∴ ，

解得 ，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3，

∴点F的坐标为F（x，﹣ x﹣3），

则|PF|=﹣ x﹣3﹣（ x2+x﹣3）=﹣ x2﹣ x，

∴S△APC=S△APF+S△CPF

= |PF|?|AE|+ |PF|?|OE|

= |PF|?|OA|= （﹣ x2﹣ x）×6=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+3）2+ ，

∴当x=﹣3时，S△APC有最大值 ，

此时点P的 坐标是P（﹣3，﹣ ）．

点评： 本题考查了抛物线解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了二次函数最值的求解，考查了二次函数的应用，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．

20．如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．

（1）求点A的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

考点： 二次函数综合题．

专题： 几何综合题．

分析： （1）过点C作CM∥OA交y轴于M，则△BCM∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，即OA=4CM=4，由此得出点A的坐标为（﹣4，0）；

（2）先将A（﹣4，0）代入y=ax2+bx，化简得出b=4a，即y=ax2+4ax，则顶点F（﹣ 2，﹣4a），设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，化简得n=4k，即直线AB的解析式为y= kx+4k，则B点（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，得出3k=a﹣4a，化简得到k=﹣a．再由△FCD与直角△AED相似，则△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2，得出△FCD是等腰直角三角形，则△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形内角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，进而得到此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．

解答： 解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．

∵AC：BC=3：1，

∴ = ．

∵CM∥OA，

∴△BCM∽△BAO，

∴ = = = ，

∴OA=4CM=4，

∴点A的坐标为（﹣4，0）；

（2）∵二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），

∴16a﹣4b=0，

∴b=4a，

∴y=ax2+4ax，对称轴为直线x=﹣2，

∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）．

设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，

得﹣4k+n=0，

∴n=4k，

∴直线AB的解析式为y=kx+4k，

∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．

∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，

∴3k=a﹣4a，

∴k=﹣a．

∵△AED中，∠AED=90°，

∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，

∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，

∴∠FCD=90°，

∴△FCD∽△AED．

∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，

∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，

∴FC=CD，

∴△FCD是等腰直角三角形，

∴△AED是等腰直角三角形，

∴∠DAE=45°，

∴∠OBA=45°，

∴OB=OA=4，

∴4k=4，

∴k=1，

∴a=﹣1，

∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，两点之间的距离公式、抛物线对称轴的求法，函数图象上点的坐标特征．综合性较强，有一定难度．（2）中得出△FCD是等腰直角三角形是解题的关键．