2023初三数学下册期中二次函数综合测试题4(含答案解析)

2023初三数学下册期中二次函数综合测试题4(含答案解析)

一．选择题（共12小题 ）

1．下列函数中，不是二次函数的是（）

A． y=1﹣ x2 B． y=2（x﹣1）2+4 C． y= （x﹣1）（x+4） D． y=（x﹣2）2﹣x2

2．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）

A． B． C． D．

3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（）

A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ①②

4．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）

A． B． C． 3 D． 4

5．如图，点A（a，b）是抛物线 上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）

（5题） （6题） （9题） （18题）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

6．如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）

A． ab=﹣2 B． ab=﹣3 C． ab=﹣4 D． ab=﹣5

7．对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 0 D． 不能确定

8．用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（）

A． 450m2 B． 300m2 C． 225m2 D． 60m2

9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）

A． a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B． a＜0，b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0

C． a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0 D． a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0

10．已知二次函数y=ax2+c，且当x=1时，﹣4≤y≤﹣1，当x=2时，﹣1≤y≤5，则当x=3时，y的取值范围是（）

A． ﹣1≤y≤20 B． ﹣4≤y≤15 C． ﹣7≤y≤26 D． ≤y≤

11．已知一次函数y=ax+c与y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（）

A． B． C． D．

12．下列函数 ，y=3x2 ， ，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

二．填空题（共8小题）

13．已知 是二次函数，则a=_________．

14．在同一直角坐标系内直线y=x﹣1，双曲线 ，抛物线y=﹣2x2+12x﹣15这三个图象共有_________个交 点．

15．如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_________．

16．抛物线y=x2﹣2 x+a2的顶点在直线y=2上，则a=_________．

17．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个80元出售，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降1元，其销售量就增加1个，则为了获得最大利润，应降价_________元．

18．如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是_________cm2．

19．二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为_________．

20．若函数y=3x2﹣（9+a）x+6+2a（x是自变量且x为整数），在x=6或x=7时取得最小值，则a的取值范围是_________．

三．解答题（共6小题）

21．如图，一次函数y=﹣2x+b的图象与二次函数y=﹣x2+3x+c的图象都经过原点，

（1）b=_________，c=_________；

（2）一般地，当直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行时，k1=k2，b1≠b2，若直线y=kx+m与直线y=﹣2x+b平行，与轴交于点A，且经过直线y=﹣x2+3x+c的顶点P，则直线y=kx+m的表达式为_________；

（3）在满足（2）的条件下，求△APO的面积．

22．已知一个二次函数的图象经过A（4，﹣3），B（2，1）和C（﹣1，﹣8）三点．

（1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点M，N（M在N的左边）的坐标．

（2）若以线段MN为直径作⊙G，过坐标原点O作⊙G的切线OD，切点为D，求OD的长．

（3）求直线OD的解析式．

（4）在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由．

23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直线y= x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y= x+m的表达式；

（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y= x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．

（1）求B点坐标；

（2）求证：ME是⊙P的切线；

（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，

①求△ACQ周长的最小值；

②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．

25．如图，抛物线C1：y=x2+2x﹣3的顶点为M，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D；抛物线C2与抛物 线C1关于y轴对称，顶点为N，与x轴相交于E、F两点．

（1）抛物线C2的函数关系式是_________；

（2）点A、D、N是否在同一条直线上？说明你的理由；

（3）点P是C1上的动点，点P ′是C2上的动点，若以OD为一边、PP′为其对边的四边形ODP′P（或ODPP′）是平行四边形，试求所有满足条件的点P的坐标；

（4）在C1上是否存在点Q，使△AFQ是以AF为斜边且有一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2023初三数学下册期中二次函数综合测试题4(含答案解析)参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．下列函数中，不是二次函数的是（）

A． y=1﹣ x2 B． y=2（x﹣1）2+4 C． y= （x﹣1）（x+4） D． y=（x﹣2）2﹣x2

考点： 二次函数的定义．

分析： 利用二次函数的定义，整理成一般形式就可 以解答．

解答： 解：A、y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函数，正确；

B、y=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6，是二次函数，正确；

C、y= （x﹣1）（x+4）= x2+ x﹣2，是二次函数，正确；

D、y=（x﹣2）2﹣x2=﹣4x+4，是一次函数，错误．

故选D．

点评： 本题考查二次函数的定义．

2．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象；二次函数的图象．

专题： 压轴题；动点型．

分析： 利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案．

解答： 解：根据已知可得：点E在未到达C之前，y=x（5﹣x）=5x﹣x2；且x≤3，当x从0变化到2.5时，y逐渐变大，

当x=2.5时，y有最大值，当x从2.5变化到3时，y逐渐变小，

到达C之后，y=3（5﹣x）=15﹣3x，x＞3，

根据二次函数和一次函数的性质．

故选：A．

点评： 利用一次函数和二次函数的性质，结合实际问题于图象解决问题．

3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（）

A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ①②

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题；推理填空题．

分析： 根据点B坐标和对称轴求出A的坐标，即可判断①；由图象可知：当x=1时，y＞0，把x=1代入二次函数的解析式，即可判断②；抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出a＜0，c＞0，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断④．

解答： 解：∵点B坐标（﹣1，0），对称轴是直线x=1，

∴A的坐标是（3，0），

∴OA=3，∴①正确；

∵由图象可知：当x=1时，y＞0，

∴把x=1代入二次函数的解析式得：y=a+b+c＞0，∴②错误；

∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴a＜0，c＞0，

∴ac＜0，∴③错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，∴④正确；

故选A．

点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力，是一道比较容易出错的题目，但题型比较好．

4．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）

A． B． C． 3 D． 4

考点： 二次函数的最值；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE= ，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF ∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出 = ， = ，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解答： 解：

过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，

∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，

∴BF∥DE∥CM，

∵OD=AD=3，DE⊥OA，

∴OE=EA= OA=2，

由勾股定理得：DE= ，

设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，

∵BF∥DE∥CM，

∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，

∴ = ， = ，

∵AM=PM= （OA﹣OP）= （4﹣2x）=2﹣x，

即 = ， = ，

解得 ：BF= x，CM= ﹣ x，

∴BF+CM= ．

故选A．

点评： 本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．

5．如图，点A（a，b）是抛物线 上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数综合题．

专题： 计算题；代数几何综合题．

分析： 过点A、B分别作x轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．△AOB的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可判断④是否正确．

解答： 解：过A、B分别作AC⊥x轴于C、BD⊥x轴于D，则：AC=b，OC=﹣a，OD=c，BD=d；

（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：

= ，即 =

∴ac=﹣bd（结论②正确）．

（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，有：

b= a2…Ⅰ、d= c2…Ⅱ；

Ⅰ×Ⅱ，得：bd= a2c2，即﹣ac= a2c2，ac=﹣4（结论①正确）．

（3）S△AOB=S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BOD

= （b+d）（c﹣a）﹣ （﹣a）b﹣ cd

= bc﹣ ad= （bc﹣ ? ）= （bc+ ）

由此可看出，△AOB的面积不为定值（结论③错误）．

（4）设直线AB的解析式为：y=kx+h，代入A、B的坐标，得：

ak+h=b…Ⅲ、ck+h=d…Ⅳ

Ⅲ×c﹣Ⅳ×a，得：

h= = =﹣ ac=2；

∴直线AB与y轴的交点为（0，2）（结论④正确）．

综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，故选C．

点评： 题目涉及的考点并不复杂，主要有：利用待 定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质以及图形面积的解法，难就难在式子的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子间的联系来找出答案．

6．如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）

A． ab=﹣2 B． ab=﹣3 C． ab=﹣4 D． ab=﹣5

考点： 二次函数综合题．

专题： 综合题；压轴题．

分析： 假设a=﹣1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．

解答： 解：假设a=﹣1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=﹣x2+1．

令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．

令y=0，得：x=±1．

∴A（﹣1，0），B（1，0），

∵C与C1关于点B中心对称，

∴抛物线n的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3；

令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．

令y=0，得：ax2+b=0，∴x=± ，∴A（﹣ ，0），B（ ，0），

∴AB=2 ，BC= = ．

要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，

∴2 = ．∴4×（﹣ ）=b2﹣ ，

∴ab=﹣3．

∴a，b应满足关系式ab=﹣3．

故选B．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．

7．对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 0 D． 不能确定

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 压轴题；新定义．

分析： 由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax 2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2与x轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断．

解答： 解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点

△=（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4

∵（m﹣2）2一定为非负数

∴（m﹣2）2+4＞0

∴二次函数y=x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是2．

故选B．

点评： 考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．

8．用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（）

A． 450m2 B． 300m2 C． 225m2 D． 60m2

考点： 二次函数的最值．

分析： 设矩形的宽为xm，表示出长为60﹣3x，根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答： 解：设矩形的宽为xm，则长为60﹣3x，

养鸡场的面积=（60﹣3x）x=﹣3x2+60x=﹣3（x﹣10）2+300，

∵﹣3＜0，

∴当养鸡场的宽为10m时，养鸡场的最大面积为300m2．

故选B．

点评： 本题考查了二次函数的最值，要注意分隔成两个矩形有三条宽．

9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）

A． a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B． a＜0，b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0

C． a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0 D． a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题．

分析： 根据抛物线的开口方向判定a的符号，根据对称轴的位置来确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置来判断c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数可确定根的判别式．

解答： 解：由图知：

抛物线的开口向下，则a＜0；对称轴在y轴左侧，则x=﹣ ＜0，即b＜0；

抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0；

故选A．

点评： 考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．

10．已知二次函数y=ax2+c，且当x=1时，﹣4≤y≤﹣1，当x=2时，﹣1≤y≤5，则当 x=3时，y的取值范围是（）

A． ﹣1≤y≤20 B． ﹣4≤y≤15 C． ﹣7≤y≤26 D． ≤y≤

考点： 二次函数的性质．

分析： 由当x=1时，﹣4≤y≤﹣1，当x=2时，﹣1≤y≤5，将y=ax2+c代入得到关于a、c的两个不等式组，再设x=3时y=9a+c=m（a+c）+n（4a+c），求出m、n的值，代入计算即可．

解答： 解：由x=1时，﹣4≤y≤﹣1得，﹣4≤a+c≤﹣1…①

由x=2时，﹣1≤y≤5得，﹣1≤4a+c≤5…②

x=3时，y=9a+c=m（a+c）+n（4a+c）

得 ，解得 ，

故 ≤﹣ （a+c）≤ ，

﹣ ≤ （4a+c）≤ ，

∴﹣1≤y≤20．

选A

点评： 本题考查了二次函数性质的运用，熟练解不等式组是解答本题的关键．

11．已知一次函数y=ax+c与y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．

专题： 压轴题．

分析： 本题可先由一次函数y=ax+c的图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．

解答： 解：A、D中，由二次函数图象可知a的符号，与由一次函数的图象可 知a的符号，两者相矛盾，排除A、D；

一次函数y=ax+c与y=ax2+bx+c的图象都过点（0，c），排除B．

C正确，故选C．

点评： 解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．

12．下列函数 ，y=3x2， ，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

考点： 二次函数的定义．

分析： 整理成一般形式后，根据二次函数的定义条件判定即可．

解答： 解：y=3x2， ，y=x（x﹣2）都符合二次函数定义的条件，是二次函数；

，y=（x﹣1）2﹣x2整理后，都是一次函数．二次函数有三个．

故选B．

点评： 本题考查二次函数的定义．

二．填空题（共8小题）

13．已知 是二次函数，则a=﹣1．

考点： 二次函数的定义．

分析： 由二次函数的定义，列出方程与不等式解答即可．

解答： 解：根据题意可得a2﹣2a﹣1=2

解得a=3或﹣1

又∵a﹣3≠0

∴a≠3，

∴a=﹣1．

点评： 此题考查二次函数的定义．

14．在同一直角坐标系内直线y=x﹣1，双曲线 ，抛物线y=﹣2x2+12x﹣15这三个图象共有5个交点．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比 例函数的图象．

专题： 数形结合．

分析： 建立网格结构平面直角坐标系，然后作出三个函数的函数图象，根据图象即可得解．

解答： 解：如图所示，三个图象在第一象限有3个交点，

在第三象限，直线与双曲线有一个交点，抛物线与双曲线也一定有一个交点，

所以共有5个交点．

故答案为：5．

点评： 本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，本题易错点在于在第一象限，三个函数图象都经过点（2，1），在第三象限抛物线与双曲线必有一交点．

15．如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是﹣6、﹣ ．

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 按x≥1和x＜1分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值．

解答： 解：当x≥1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣7x，

图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（ ，﹣ ），

当x＜1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣x﹣6，

顶点坐标为（ ，﹣ ），

∴当b=﹣6或b=﹣ 时，两图象恰有三个交点．

故本题答案为：﹣6，﹣ ．

点评： 本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．

16．抛物线y=x2﹣2 x+a2的顶点在直线y=2上，则a=2．

考点： 待定系数法求二次函数解析式．

专题： 压轴题．

分析： 根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意 要有意义．

解答： 解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣ ， ）

所以 =2

解得：a1=2，a2=﹣1

又因为 要有意义

则a≥0

所以a=2．

点评： 此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如： 中a≥0．

17．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个80元出售，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降1元，其销售量就增加1个，则为了获得最大利润，应降价5元．

考点： 二次函数的应用．

专题： 探究型．

分析： 设应降价x元，利润为y元，则每天售出的个数为20+x，每个的利润为80﹣50﹣x，由此列出关于x、y的一元二次方程，再求出y最大时x的值即可．

解答： 解：设应降价x元，利润为y元，则每天售出的个数为20+x，每个的利润为80﹣50﹣x，

故y=（80﹣50﹣x）（20+x），即y=﹣x2+10x+600，

当x= =5元时，y有最大值．

故答案为：5．

点评： 本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于x、y的函数解析式是解答此题的关键．

18．如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： 观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积，其半径为AB的 ，根据面积公式即可解答．

解答： 解：观察图形，

根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积，

其半径为AB的 ，即半径为1，易得其面积为 ．

故答案为： ．

点评： 本题考查不规则图形的面积求法，要根据图形的对称性与相互关系转化为规则的图形的面积，再进行求解．

19．二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 先根据A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6设出A、B两点的坐标，再根据两根之和公式与两根之积公式求得k的值，让直线的y的值为0即可求得直线y=kx+1与x轴的交点坐标．

解答： 解：∵A，B分别在原点的两侧，A点在左侧，且OA+OB=6，

∴设A（a，0），则B（6+a，0），

∵函数y=x2+（2+k）x+2k的图象与x轴的交点就是方程x2+（2+k）x+2k=0的根，

∴a+6+a=﹣（2+k），a?（6+a）=2k，

即2a=﹣k﹣8，6a+a2=2k，

解得a=﹣8，或a=﹣2，

当a=﹣2时，k=﹣4，

∴直线y =kx+1为直线y=﹣4x+1，与x轴交点坐标为（ ，0），

当a=﹣8时，k=8，

∴直线y=kx+1为直线y=8x+1，与x轴交点为（﹣ ，0）（不合题意舍去）

故直线y=kx+1与x轴的交点坐标为（ ，0）．

点评： 当告诉二次函数与x轴的两个交点时，利用根与系数的关系求得相关未知数的值是解题关键．

20．若函数y=3x2﹣（9+a）x+6+2a（x是自变量且x为整数），在x=6或x=7时取得最小值，则a的取值范围是24＜a＜36．

考点： 二次函数的最值．

分析： 根据x取整数，在x=6或x=7时取得最小值判断出对称轴的取值范围在5.5到7.5之间，然后列出不等式组求解即可得到a的值．

解答： 解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ = ，

∵在x=6或x=7时取得最小值，x是整数，

∴ ，

解不等式①得，a＞24，

解不等式②得，a＜36，

所以，不等式组的解是24＜a＜36，

即a的取值范围是24＜a＜36．

故答案为：24＜a＜36．

点评： 本题考查了二次函数的最值问题，根据取得最小值时的x的取值判断出对称轴的取值范围，列出不等式组是解题的关键．

三．解答题（共6小题）

21．如图，一次函数y=﹣2x+b的图象与二次函数y=﹣x2+3x+c的图象都经过原点，

（1）b=0，c=0；

（2）一般地，当直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行时，k1=k2，b1≠b2，若直线y=kx+m与直线y=﹣2x+b平行，与轴交于点A，且经过直线y=﹣x2+3x+c的顶点P，则直线y=kx+m的表达式为y=﹣2x+ ；

（3）在满足（2）的条件下，求△APO的面积．

考点： 二次函数综合题．

专题： 探究型．

分析： （1）把（0，0）分别代入一次函数y=﹣2x+b的图象与二次函数y=﹣x2+3x+c的解析式及可求出b、c的值；

（2）先由（1）中b、c的值得出一次函数与二次函数的解析式，再根据直线y=kx+m与直线y=﹣2x+b平行，且经过直线y=﹣x2+3x+c的顶点P即可得出直线的解析式；

（3）根据直线y=kx+m的解析式求出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答： 解：（1）∵一次函数y=﹣2x+b的图象与二次函数y=﹣x2+3x+c的图象都经过原点，

∴b=0，c=0．

（2）∵由（1）知b=0，c=0，

∴一次函数的解析式为y=﹣2x，二次函数的解析式为y=﹣x2+3x，

∴顶点坐标为P（ ， ），

∵直线y=kx+m与直线y=﹣2x+b平行，

∴k=﹣2，

∵经过直线y=﹣x2+3x+c的顶点P，

∴ =（﹣2）× +m，

解得m= ，

∴y=﹣2x+ ；

（3）∵直线的解析式为y=﹣2x+ ，

∴A（0， ），

∵P（ ， ），

∴S△APO= × × = ．

故答案为：0，0．

点评： 本题考查的是二次函数综合题，熟知用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式是解答此题的关键．

22．已知一个二次函数的图象经过A（4，﹣3），B（2，1）和C（﹣1，﹣8）三点．

（1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点M，N（M在N的左边）的坐标．

（2）若以线段MN为直径作⊙G，过坐标原点O作⊙G的切线OD，切点为D，求OD的长．

（3）求直线OD的解析式．

（4）在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

专题： 计算题；代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．

分析： （1）已知函数图象上三个不同点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；再令函数值为0，就能求出点M、N的坐标（注意它们的位置）．

（2）在（1）题中，已经求得了M、N的坐标，则线段OM、ON的长可知，直接利用切割线定理即可求出OD的长．

（3）利用待定系数法求直线OD的解析式，必须先求出点D的坐标；连接圆心和切点，过点D作x轴的垂线OE（垂足为E），首先由半径长和OD的长求出∠DOG的度数，然后在Rt△ODE中，通过解直角三角形求出DE、OE的长，则点D的坐标可知，由此得解（需要注意的是：点D可能在x 轴上方，也可能在x轴下方，所以直线OE的解析式应该有两个）．

（4）在（3）中，已经知道共有两条直线OD，所以要分两种大的情况讨论，它们的解答方法是一致的，以点P在x轴上方为例进行说明：

①当点M是直角顶点时，MP所在直线与x轴垂直，即M、P的横坐标相同，直接将点M的横坐标代入直线OD的解析式中即可得到点P的坐标；

②当点P是直角顶点时，由圆周角定理知：（2）题的切点D正好符合点P的条件；

③当点N是直角顶点时，方法同①．

解答： 解：（1）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A（4，﹣3），B（2，1）和C（﹣1，﹣8）三点，

∴ 解之，得

∴抛物线为y=﹣x2+4x﹣3， 令y=0，得﹣x2+4x﹣3=0，解得x1=1，x2=3．

∴抛物线与x轴的交点坐标为M（1，0），N（3，0）．

（2）过原点O作⊙G的切线，切点为D．易知OM=1，ON=3．由切割线定理，得OD2=OM?ON=1×3．

∴OD= ，即所求的切线OD长为 ．

（3）如右图，连接DG，则∠ODG=90°，DG=1．∵OG=2，∴∠DOG=30°．

过D作DE⊥OG，垂足为E，则DE=OD?sin30°= ，DE=OD?cos30°= ．

∴点D的坐标为D（ ， ）或（ ，﹣ ）．从而直线OD的解析式为y=± x．

（4）Ⅰ、当点P在x轴上方时；

①点M是直角顶点，此时MP1⊥x轴，即M、P1的横坐标相同；

当x=1时，y= x= ；

即 P1（1， ）；

②当点P是直角顶点时，由（2）知，P2、D重合，即P2（ ， ）；

③当点N是直角顶点，同①可求得 P3（3， ）．

Ⅱ、当点P在x轴下方时，同Ⅰ可知：P4（1，﹣ ），P5（ ，﹣ ），P6（3，﹣ ）．

综上，在直线OD上存在点P，使△MNP是直角三角形．所求P点的坐标为（1，± ），或（3，± ），或（ ，± ）．

点评： 此题是几何与代数知识的综合运用，在考查常规知识的同时，结合圆的对称性等渗透了分类讨论思想．解答（3）（4）问时，解题者常拘泥于习惯性思维，只考虑到在x轴上方的切线OD和以P为直角顶点的Rt△MNP这些常见情形，从而导致丢解．作为压轴题，本题（4）问显示出了层次性，由易到难，逐步深入，体现了命题者的匠心．

23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直线y= x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y= x+m的表达式；

（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y= x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

专题： 计算题；压轴题；分类讨论．

分析： （1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式．

（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．

（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：

①以OF为对角线，那么点M必 为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；

②以OF为边，那么 由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C

∴C（0，﹣3）则 OC=3；

∵P到x轴的距离为 ，P到y轴的距离是1，且在第三象限，

∴P（﹣1，﹣ ）；

∵C关于直线l的对称点为A

∴A（﹣2，﹣3）；

将点A（﹣2，﹣3），P（﹣1，﹣ ）代入抛物线y=ax2+bx﹣3中，有：

，解得

∴抛物线的表达式为y= x2+ x﹣3．

（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°

∵∠DEG=∠BEC

∴△DEG∽△BEC

∵DE：BE=4：1，

∴DG：BC=4：1；

已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；

将x=4代入y= x2+ x﹣3中，得y=5，则 D（4，5）．

∵直线y= x+m过点D（4，5）

∴5= ×4+m，则 m=2；

∴所求直线的表达式y= x+2．

（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2；

设点M（x， x+2），则：OM2= x2+3x+4、FM2= x2；

（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；

∴ x+2=1，x=﹣ ；即点M的坐标（﹣ ，1）．

（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：

①FM=OF=2，则： x2=4，x1= 、x2=﹣

代入y= x+2中，得：y1= 、y2= ；

即点M的坐标（ ， ）或（﹣ ， ）；

②OM=OF=2，则： x2+3x+4=4，x1=0（舍）、x2=﹣

代入y= x+2中，得：y= ；

即点M的坐标（﹣ ， ）；

综上，存在符合条件的点M，且坐标为（﹣ ，1）、（ ， ）、（﹣ ， ）、（﹣ ， ）．

点评： 此题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等．最后一题容易漏解，一定要根据菱形顶点排列顺序的不同进行分类讨论．

24．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．

（1）求B点坐标；

（2）求证：ME是⊙P的切线；

（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，

①求△ACQ周长的最小值；

②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： （1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；

（2）由（1） 知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线；

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值；

②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案．

解答： （1）解：如图甲， 连接PE、PB，设PC=n，

∵正方形CDEF的面积为1，

∴CD=CF=1，

根据圆和正方形的轴对称性知：OP=PC=n，

∴BC=2PC=2n，

∵而PB=PE，

∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，

∴5n2=（n+1）2+1，

解得：n=1或n=﹣ （舍去），

∴BC=OC=2，

∴B点坐标为（2，2）；

（2）证明：如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），

∵A，C在抛物线上，

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x+2= （x﹣3）2﹣ ，

∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，

∵C与G关于直线x=3对称，

∴CF=FG=1，

∴MF= FG= ，

在Rt△PEF与Rt△EMF中，

∠EFM=∠EFP，

∵ ， ，

∴ ，

∴△PEF∽△EMF，

∴∠EPF=∠FEM，

∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，

∴ME是⊙P的切线；

（3）解：①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，

则有AQ=A′Q，

∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，

∵A与A′关于直线x=3对称，

∴A（0，2），A′（6，2），

∴A′C= =2 ，而AC= =2 ，

∴△ACQ周长的最小值为2 +2 ；

②当Q点在F点上方时，S=S梯形ACFK﹣S△AKQ﹣S△CFQ= ×（3+1）×2﹣ ×（2﹣t）×3﹣ ×t×1=t+1，

同理，可得：当Q点在线段FN上时，S=1﹣t，

当Q点在N点下方时，S=t﹣1．

点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用．

25．如图，抛物线C1：y=x2+2x﹣3的顶点为M，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，顶点为N，与x轴相交于E、F两点．

（1）抛物线C2的函数关系式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）点A、D、N是否在同一条直线上？说明你的理由；

（3）点P是C1上的动点，点P′是C2上的 动点，若以OD为一边、PP′为其对边的四边形ODP′P（或ODPP′）是平行四边形，试求所有满足条件的点P的坐标；

（4）在C1上是否存在点Q，使△AFQ是以AF为斜边且有一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综 合题．

专题： 计算题；压轴题；存在型；数形结合；分类讨论．

分析： （1）抛物线C1、C2关于y轴对称，那么它们的开口方向、开口大小都相同（即二次项系数相同），顶点关于y轴对称（即M、N关于y轴对称）；首先将抛物线C1写成顶点式，再根据上述条件得出抛物线C2的解析式．

（2）点A、D的坐标可由抛物线C1的解析式得出，利用待定系数法能求得直线AD的解析式，然后将点N的坐标代入直线AD的解析式中进行验证即可．

（3）已经给出了OD为平行四边形的边，那么OD、PP′必平行且相等，因此PP′必平行于y轴（即横坐标相同），且PP′=OD=3（即P、P′纵坐标的绝对值为3），据此确定点P的坐标．

（4）通过观察图形不难判断出：

①当点Q在x轴下方时，∠AFQ=30°，那么首先通过解直角三角形求出点Q的坐标，再代入抛物线C1的解析式中进行验证即可；

②当点Q在x轴上方时，∠FAQ=30°，解法同①．

解答： 解：（1）∵抛物线C1、C2关于y轴对称，且C1：y=x2+ 2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴M（﹣1，﹣3）、N（1，﹣3），C2：y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．

（2）三点在同一直线上，理由：

由C1：y=x2+2x﹣3，得：A（﹣3，0）、D（0，﹣3）；

设直线AD的解析式：y=kx+b，则有：

，

解得

故直线AD：y=﹣x﹣3；

当x=1时，y=﹣1﹣3=﹣4，即点N在直线AD上；

所以，A、D、N三点共线．

（3）∵四边形ODP′P（或ODPP′）是平行四边形，且OD、PP′为边，

∴OD PP′；

设P（x，x2+ 2x﹣3），则P′（x，x2﹣2x﹣3），由PP′=OD=3，得：

|（x2+2x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）|= 3，

解得：x=± ；

故点P的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）．

（4）满足条件的点Q不存在，理由如下：

①当点Q在x轴下方时，∠AFQ=30°，如右图；

在Rt△AFQ中，AF=6，∠AFQ=30°，QG⊥AF，有：

AQ= AF=3，AG= = = ，QG=AG?tan60°= ；

则Q（﹣ ，﹣ ）；

将Q（﹣ ，﹣ ）代入抛物线C1：y=x2+2x﹣3中，等式不成立；

②当点Q在x轴上方时，∠FAQ=30°；

同①可求得，Q（ ， ），代入抛物线C1：y=x2+2x﹣3中，等式不成立；

综上，不存在符合条件的点Q使得△AFQ是以AF为斜边且有一个角为30°的直角三角形．

点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称图形的性质、平行四边形与直角三角形的性质等综合知识；难度较大的是后面两题，（3）题中，OD为平行四边形的边是解题的一个关键条件，而平行四边形的对边平行且相等是解题的主要理论依据；最后一题中，点Q的位置共有两种情况，这是容易漏解的地方．