2023初三数学下册期中二次函数关系测试题(含答案解析)

2023初三数学下册期中二次函数关系测试题(含答案解析)

一．选择题（共8小题）

1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动， 始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）

A．y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D．y=x2﹣x﹣1

2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）

A．y= B．y= C．y= D．y=

3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2

4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）

A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x） C．y=a（1﹣x2） D．y=a（1﹣x）2

5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（）

A．y=20（1﹣x）2 B．y=20+2x C．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x

6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）

A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2 C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2

7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）

A．y=x2 B．y=（12﹣x2） C．y=（12﹣x）?x D．y=2（12﹣x）

8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（）

A．y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2） C．y=60﹣x2 D．y=60（1+x）2

二．填 空题（共6小题）

9．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是_________．

10．用一根长50厘米的铁 丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：_________．

11．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=_________．

12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是_________．

13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=_________．

14．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为_________．

三．解答题 （共8小题）

15．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函 数解析式，它是二次函数吗？如 果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．

16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．

（1）求y与x之间的关系式．

（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．

17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．

18．某公园门票每张是8 0元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？

19．已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．

（1）求a的值．

（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度， 沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．

①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；

②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．

22．某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可 售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．

2023初三数学下册期中二次函数关系测试题(含答案解析)参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥E F．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）

A． y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D． y=x2﹣x﹣1

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

专题： 动点型．

分析： 易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．

解答： 解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．

∴∠BAE=∠FEC．

∴△ABE∽△ECF

那么AB：EC=BE：CF，

∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．

∴AB?CF=EC?BE，

即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．

化简得：y=x2﹣x+1．

故选C．

点评： 本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式．根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键．

2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）

A． y= B．y= C．y= D． y=

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

专题： 压轴题．

分析： 四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．

解答： 解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，

∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE

∴∠BAC=∠DAE

又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°

∴△ABC≌△ADE（AAS）

∴BC=DE，AC=AE，

设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，

CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，

在Rt△CDF中，由勾股定理得，

CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，

解得：a= ，

∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF

= ×（a+4a）×4a

=10a2

= x2．

故选：C．

点评： 本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．

3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线 的关系式是（）

A． y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D． y= x2

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

专题： 压轴题．

分析： 由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．

解答： 解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；

那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．

则﹣2=4a

即得a=﹣ ，

那么y=﹣ x2．

故选：C．

点评： 根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．

4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）

A． y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x） C．y=a（1﹣x2） D． y=a（1﹣x）2

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．

解答： 解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．

则函数解析式是y=a（1﹣x）2．

故选D．

点评： 本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．

5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（）

A． y=20（1﹣x）2 B．y=20+2x C．y=20（1+x）2 D． y=20+20x2+20x

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 根据已知表示出一年后 产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．

解答： 解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，

∴一年后产品是：20（1+x），

∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．

故选：C．

点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数 关系式，得出变化规律是解题关键．

6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）

A． y=x2+a B．y=a（x﹣1）2 C． y=a（1﹣x）2 D． y=a（1+x）2

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．

解答： 解：依题意，

得y=a（1+x）2．

故选D．

点评： 在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．

7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）

A． y=x2 B．y=（12﹣x2） C．y=（12﹣x）?x D． y=2（12﹣x）

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

专题： 几何图形问题．

分析： 先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．

解答： 解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），

∴长方形的另一边长为12﹣x，

∴y=（12﹣x）?x．

故选C．

点评： 考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点．

8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（）

A． y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2） C．y=60﹣x2 D． y=60（1+x）2

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．

解答： 解：二年后的价格是为：

60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，

则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．

故选A．

点评： 本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．

二．填空题（共6小题）

9．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂 画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是y=4x2+160x+2023．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．

解答： 解：由题意可得：

y=（50+2x）（30+2x）

=4x2+160x+2023．

故答案为：y=4x2+160x+2023．

点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，此题主要利用了长方形的面积公式解题．

10．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：y=﹣x2+25x．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．

解答： 解：由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x=25﹣x，

则y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．

故答案为y=﹣x2+25x．

点评： 本题考查列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．

11．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=100（1+x）2．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 由一月份新产品的研发资金为100元，根据题意可以得到2月份研发资金为100（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．

解答： 解：∵一月份新产品的研发资金为100元，

2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，

∴2月份研发资金为100（1+x），

∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．

故答案为：100（1+x）2．

点评： 此题主要考查了根 据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公 式a（1±x）2=b来解题．

12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是8x﹣x2．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式．

解答： 解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，

∴另一边长为8﹣x，

∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．

故答案为：S=8x﹣x2．

点评： 此题考查列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的突破点．

13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

专题： 计算题．

分析： 由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来 ，由此即可确定函数关系式．

解答： 解：∵一月份新产品的研发资金为a元，

2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，

∴2月份研发资金为a×（1+x），

∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．

故填空答案：a（1+x）2．

点评： 此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．

14．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为 ．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 根据题意可得y= （24﹣x）x，继而可得出y与x之间的函数关系式．

解答： 解：由题意得：y= （24﹣x）x=﹣ x2+12x，

故答案为：y=﹣ x2+12x．

点评： 此题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式．

三．解答题（共8小题）

15．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．

解答： 解：依题意，

得y=a（1+x）2=ax2+2ax+a，

是二次函数，二次项系数为：a、一次项系数为2a和常数项为a．

点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．

16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．

（1）求y与x之间的关系式．

（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法．

专题： 几何图形问题；压轴题．

分析： （1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×30+45+2x2×120化简即可．

（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费=195元，即可列出方程求解．

解答： 解：（1）y=（2x+2x+x +x）×30+45+2x2×120

=240x2+180x+45；

（2）由题意可列方程为

240x2+180x+45=195，

整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，

解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）

∴x=0.5，

∴2x=1，

答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．

点评： 本题 是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．

17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出y=100（1+x）2．

解答： 解：∵一月份的利润是100万元，利润月平均增长率为x，

∴二月份的利润是100（1+x），

∴三月份的利润是100（1+x）2，

因此y=100（1+x）2．

点评： 本题考查一元二次方程的应用，解决此类三 次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．

18．某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 根据已知得出门票价格为x（x≤80）元时，进而表示出进园人数得出即可．

解答： 解：根据题意可得：

y=x[200+6（80﹣x）]

=﹣6x2+680x．

点评： 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每天进园人数是解题关键．

19．已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 作△ABC的高AD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD= AB，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积= BC?AD，将相关数值代入即可．

解答： 解：如图，作△ABC的高AD．

在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，

∴AD= AB= x，

∴S=△ABC的面积= BC?AD= （12﹣x）? x=﹣ x2+3x，

∴面积S关于x的函数解析式为S=﹣ x2+3x（x＞0）．

点评： 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，求出△ABC的高AD是解题的关键．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．

（1）求a的值．

（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．

①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取 值范围；

②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．

专题： 计算题；压轴题；动点型．

分析： （1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；

（2）根据勾股定理求出AB，s inB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC?BC﹣ AP?CE﹣ BQ?BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3×（10﹣2t）× =﹣ t+12；III当2.5＜t≤3时，S=﹣ t+ 12，IIII当3＜t＜4时，S= CQ?CPsin∠BCD= CQ?CPsin∠B= ×（6﹣3t）×（10﹣2t）× = t2﹣ t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB= = ，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ， = ，得到，

= 或 = ，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．

解答： 解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，

∴AC+BC=14，

又∵AC﹣BC=2，

∴AC=8，BC=6，

∴a=8×6=48，

答：a的值是48．

（2）∵∠ACB=90°，

∴AB= =10．

又∵D为AB的中点，

∴CD= AB=5，

∵sinB= = ，

过C作CE⊥AB于E，

根据三角形的面积公式得： AC?BC= AB?CE，

6×8=10CE，

解得 ：CE= ，

过P作PK ⊥BQ于K，

∵sinB= ，

∴PK=PB?sinB，

∴S△PBQ= BQ×PK= BQ?BPsinB，

（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC?BC﹣ AP?CE﹣ BQ?BPsinB，

= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3t×（10﹣2t）× ，

= t2﹣ t+24，

（ II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ= AC?BC﹣ AP?CE﹣ BQ?BPsinB，

= ×8×6﹣ ×2t× ﹣ ×3×（10﹣2t）× ，

=﹣ t+12；

（III）当2.5＜t≤3时，

S= CQ?PCsin∠BCD= ×3×（10﹣2t）× =﹣ t+12；

（IIII）当3＜t＜4时，

∵△PHC∽△BCA，

∴ ，

∴ = ，

∴PH=8﹣1.6t，

∴S= CQ?PH= CQ?PH= ×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）

= t2﹣ t+48．

答：S与t之间的函数关系式是：

S= t2﹣ t+24（0＜t≤1）

或S=﹣ t+12（1＜t≤2.5），

或S=﹣ t+12（2.5＜t≤3），

或S= t2﹣ t+48．（3＜t＜4）．

②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，

当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB= = ，

∴ = ，

∴t=2.5，

当P在DC上时，若∠PQC=90°，

sinA=sin∠CPQ，

= ，

= ，或 = ，

t= ，或t=2.5，

∵1＜t＜4，

∴t= ，t=2.5，符合题意，

∴当t=2.5秒或 秒时，△PCQ为直角三角形．

答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒， 秒．

点评： 本题主要考查对锐角三角函数的定义，根据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．

21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 首先表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积公式求出即可．

解答： 解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，

∴另一边长为：（ ﹣x）m，

故x（ ﹣x）=60，

则L= +2x，（0＜x＜ ）．

点评： 此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，表示出另一边长是解题关键．

22．某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．

分析： 首先根据题意得出当定价为x元时，每件降价（55﹣x）元，此时销售量为[100+10（55﹣x）]件，根据利润=销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可．

解答： 解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，

则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+2023x﹣20230，

即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+2023x﹣20230．

点评： 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示销售量是解题的关键．