2023初三数学下册期中抛物线与x轴测试题(含答案解析)

2023初三数学下册期中抛物线与x轴测试题(含答案解析)

一．选择题（共8小题）

1．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2023的值为（）

A．2023 B．2023 C．2023 D．2023

2．若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）

A．0 B．0 或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2

3．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x 的方程x2+ax+b=0的解是（）

A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4

4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）

A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4

5．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）

A．②③ B．③④ C．①② D．①④

6．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）

A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．三个交点

7．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）

A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的 长为2

C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大

8．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2023的值为（）

A．2023 B．2023 C．2023 D．2023

二．填 空 题（共6 小题）

9．如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k=_________．

10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为_________．

11．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是_________．

12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为_________．

13．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线_________．

14．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是_________．

三．解答题（共8小题）

15．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

16．已知二次函数y=x2﹣4x+3．

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．

（2）求△EMF与△BNF的面积之比．

18．关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

19．如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；

（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．

20．如图，二次函数y= x2﹣2x+c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M．

（1）若A（﹣2，0），求二次函数的关系式；

（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM的面积．

（3）当c=0时，试判断四边形AMBM的形状，并请说明理由．

21．如图，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．

（1）求m的值；

（2）求点B的坐标；

（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．[抛物线的顶点坐标：（﹣ ， ）]．

22．在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y=x2﹣4x+k（k是常数）与x轴相交于A、B两点（B在A的右边），与y轴相交于C点．

（1）求k的取值范围；

（2）若△OBC是等腰直角三角形，求k的值．

2023初三数学下册期中抛物线与x轴测试题(含答案解析)参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2023的值为（）

A． 2023 B．2023 C．2023 D． 2023

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2023，并求值．

解答： 解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），

∴m2﹣m﹣1=0，

解得 m2﹣m=1．

∴m2﹣m+2023=1+2023=2023．

故选：D．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．

2若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）

A． 0 B．0或2 C．2或﹣2 D． 0，2或﹣2

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 分类讨论．

分析： 分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．

解答： 解：分为两种情况：

①当函数是二次函数时，

∵函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，

∴△=（m+2）2﹣4m（ m+1）=0且m≠0，

解得：m=±2，

②当函数是一次函数时，m=0，

此时函数解析 式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，

故选：D．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．

3．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）

A． 无解 B．x=1 C．x=﹣4 D． x=﹣1或x=4

考点： 抛物线与x 轴的交点．

分析： 关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．

解答： 解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），

∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．

故选：D．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）

A． m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D． m＞4

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 数形结合．

分 析： 根据题意利用图象直接得出m的取值范围即可．

解答： 解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，

可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，

可见，m≥﹣2，

故选：A．

点评： 此题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合得出是解题关键．

5．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）

A． ②③ B．③④ C．①② D． ①④

考点： 抛物线与x轴的交点；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义．

分析： 首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴 影部分面积的大小关系．

解答： 解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；

②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影= ×2×2=2；

③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S= xy= ×4=2；

④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1；

②③的面积相等，

故选：A．

点评： 此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以 及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键．

6．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）

A． 二个交点 B．一个交点 C．无交点 D． 三个交点

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 因为x2﹣2x+1=0中，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，有两个相等的实数根，图象与x轴有一个交点，再加当y=0时的点即可．

解答： 解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1

∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．

故选：A．

点评： 解答此题要明确抛物线y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数与方程x2﹣2x+1=0解的个数有关，还得考虑与y轴相交．

7．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）

A． 点C的坐标是（0，1） B． 线段AB的长为2

C． △ABC是等腰直角三角形D． 当x＞0时，y随x增大而增大

考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

分析： 判断各选项，点C的坐标可以令x=0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y=0，得到的两个x值即为与x轴的交点坐标A、B；且AB的长也有两点坐标求得，对函数的增减性可借助函数图象进行判断．

解答： 解：A，令x=0，y=1，则C点的坐标为（0，1），正确；

B，令y=0，x=±1，则A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，正确；

C，由A、B、C 三点坐标可以得出AC=BC，且AC2+BC2=AB2，则△ABC是等腰直角三角形，正确；

D，当x＞0时，y随x增大而减小，错误．

故选D．

点评： 本题考查了二次函数的性质，需学会判定函数的单调性及由坐标判定线段或点之间连线构成的图形的形状等问题．

8．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2023的值为（）

A． 2023 B．2023 C．2023 D． 2023

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 计算题．

分析： 把交点（m，0）代入解析式得到m2﹣m﹣1=0，则m2﹣m=1，然后利用整体代入的方法计算代数式m2﹣m+2023的值．

解答： 解：根据题意得m2﹣m﹣1=0，

所以m2﹣m=1，

所以m2﹣m+2023=1+2023=2023．

故选D．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

二．填空题（共6小题）

9．如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k=1．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 二次函数的图象与x轴交点个数取决于△，△＞0图象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有且只有一个交点；利用此公式直接求出k的值即可

解答： 解：∵二次函数y=x2﹣2x+k的图象与x轴有且只有一个交点，

∴△=b2﹣4ac=4﹣4k=0，

∴k=1．

故答案为：1．

点评： 此题主要考查了二次函数图象与x轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合．

10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 数形结合．

分析： 依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．

解答： 解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，

∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），

∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），

把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，

∴4a﹣2b+c=0，

故答案为：0．

点评： 本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．

11．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是3．

考点： 抛物 线与x轴的交点．

专题： 数形结合．

分析： 根据抛物线y=x2﹣k的顶点为P，可直接求出P点的坐标，进而得出OP的长度，又因为△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用锐角三角函数即可求出OB的长度，得出B点的坐标，代入二次函数解析式即可求出k的值．

解答： 解：∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，

∴P点的坐标为：（0，﹣k），

∴PO=k，

∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，

∴OA=OB，∠OPB=30°，

∴tan30°= = ，

∴OB= k，

∴点B的坐标为：（ k，0），点B在抛物线y=x2﹣k上，

∴将B点代入y=x2﹣k，得：

0=（ k）2﹣k，

整理得： ﹣k=0，

解得：k1=0（不合题意舍去），k2=3．

故答案为：3．

点评： 此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，以及正三角形的性质和锐角三角函数求值问题等知识，求出A或B点的坐标进而代入二次函数解析式是解决问题的关键．

12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为8．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点 的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．

解答： 解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x=2对称，

∵点A的坐标为（﹣2， 0），

∴点B的坐标为（6，0），

AB=6﹣（﹣2）=8．

故答案为：8．

点评： 此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．

13．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线x=﹣1．

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 待定系数法．

分析： 因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标 都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代 入公式x= 求解即可．

解答： 解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0） ，（2，0），

∴两交点关于抛物线的对称轴对称，

则此抛物线的对称轴是直线x= =﹣1，即 x=﹣1．

故答案是：x=﹣1．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x= 求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（x1，0），（x 2，0），则抛物线的对称轴为直线x= ．

14．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元 二次方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=2．

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 计算题．

分析： 把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx=0解方程即可．

解答： 解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3

得 ，

解得 ，

代入ax2+bx=0

得，﹣x2+2x=0，

解得x1=0，x2=2．

故答案为：x1=0，x2=2．

点评： 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出a，b的值．

三．解答题（共8小题）

15．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

考点： 抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．

专题： 待定系数法．

分析： （1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；

（3）根据图象直接写出答案．

解答： 解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，

∴对称轴是x= =﹣1．

又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，

∴D（﹣2，3）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 常数），

根据题意得 ，

解得 ，

所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．

16．已知二次函数y=x2﹣4x+3．

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的三种形式．

专题： 数形结合．

分析： （1）配方后求出顶点坐标即可；

（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．

解答： 解：（1）y=x2﹣4x+3

=x2﹣4x+4﹣4+3

=（x﹣2）2﹣1，

所以顶点C的坐标是（2，﹣1），

当x≤2时，y随x的增大而减少；

当x＞2时，y随x的增大而增大；

（2）解方程x2﹣4x+3=0

得：x1=3，x2=1，

即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），

过C作CD⊥AB于D，

∵AB=2，CD=1，

∴S△ABC= AB×CD= ×2×1=1．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．

17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．

（2）求△EMF与△BNF的面积之比．

考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质．

专题： 代数几何综合题．

分析： （1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；

（2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比．

解答： 解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，

解得：c=3，

∴y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点M（1，4）；

（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，

∴点B（3，0），

∴EM=1，BN=2，

∵EM∥BN，

∴△EMF∽△BNF，

∴ =（ ）2=（ ）2= ．

点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF∽△BNF是解题关键．

18．关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

考点： 抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征．

专题： 计算题．

分析： 需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况．

解答： 解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；

②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则

△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，

解得 m=3，m=﹣1（舍去）．

综上所述，m的值是1或3．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．注意一定要分类讨论，以防漏解．

19．如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；

（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．

考点： 抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题．

分析： （1）把A的坐标代入抛物线的解析式可求出b的值，进而得到抛物线的解析式，利用配方法即可求出顶点D的坐标；

（2）首先求出C，A，B的坐标，根据抛物线的对称性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC=2 ．

解答： 解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y= x2+bx﹣2上，

∴b=﹣ ，

∴抛物线解析式y= x2﹣ x﹣2，

∵抛物线y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，

∴顶点D的坐标（ ，﹣ ）；

（2）当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2）

∴OC=2，

当y=0时，0= x2﹣ x﹣2，

解得：x=4或﹣1，

∴B（4，0），

∴OB=4，

由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，

∴AM=BM，

∴AM+CM=BM+CM≥BC=2 ．

∴CM+AM的最小值是2 ．

点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线和抛物线的交点问题，利用抛物线的对称性得到AM+CM=BM+CM≥BC=2 是解题的关键．

20．如图，二次函数y= x2﹣2x+c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M．

（1）若A（﹣2，0），求二次函数的关系式；

（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM的面积．

（3）当c=0时，试判断四边形AMBM的形状，并请说明理由．

考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

分析： （1）把点A的坐标代入二次函数解析式，计算求出c的值，即可得解；

（2）把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而求出AB的长，再根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出△ABM的面积，根据对称性可得S四边形AMBM′=2S△ABM，计算即可得解；

（3）四边形AMBM的形状是正方形，易求A，B的坐标，又因为AB和MM′互相平分且垂直，所以四边形是正方形．

解答： 解：（1）∵A（﹣2，0）在二次函数y= x2﹣x+c的图象， ×（﹣2）2﹣（﹣2）+c=0，

解得c=﹣6，

∴二次函数的关系式为y= x2﹣2x﹣6；

（2） ∵y= x2﹣2x﹣6= （x﹣2）2﹣8，

∴顶点M的坐标为（2，﹣8），

∵A（﹣2，0），对称轴为x=2，

∴点B的坐标为（6，0），

∴AB=6﹣（﹣2）=6+2=8，

∴S△ABM= ×8×8=32，

∵顶点M关于x轴的对称点是M′，

∴S四边形AMBM′=2S△ABM=2×32=64；

（3）四边形AMBM的形状是正方形，

理由如下：

∵c=0，

∴y= x2﹣2x，

∴A坐标（0，0）B坐标（4，0），

∴顶点M坐标为（2，﹣2），

∴AB=MM′

又∵AB和MM′互相平分且垂直，

∴四边形AMBM的形状是正方形．

点评： 本题综合考查了二次函数的问题，主要利用了待定系数法求函二次数解析式，二次函数的顶点坐标的求解，二次函数的对称性，以及正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质，综合题，但难度不是很大．

21．如图，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点 C．

（1）求m的值；

（2）求点B的坐标；

（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．[抛物线的顶点坐标：（﹣ ， ）]．

考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

分析： （1）由二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值；

（2）根据（1）求得二次函数的解析式，然后将y=0代入函数解析式，即可求得点B的坐标；

（3）根据（2）中的函数解析式求得点C的坐标，由二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），可得点D在第一象限，又由S△ABD=S△ABC，可知点D与点C的纵坐标相等，代入函数的解析式即可求得点D的坐标．

解答： 解：（1）∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），

∴﹣9+2×3+m=0，

解得：m=3；

（2）∵二次函数的解 析式为：y=﹣x2+2x+3，

∴当y=0时，﹣x2+2x+3=0，

解得：x=3或x=﹣1，

∴B（﹣1，0）；

（3）如图，连接BD、AD，过点D作DE⊥AB，

∵当x=0时，y=3，

∴C（0，3），

若S△ABD=S△ABC，

∵D（x，y）（其中x＞0，y＞0），

则可得OC=DE=3，

∴当y=3时，﹣x2+2x+3=3，

解得：x=0或x=2，

∴点D的坐标为（ 2，3）．

另法：点D与点C关于x=1对称，

故D（2，3）．

点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了一元二次方程的解法以及三角形的面积问题等知识．此题综合性较强，但难度不大，属于中档题，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，注意数形结合与方程思想的应用．

22．在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y=x2﹣4x+k（k是常数）与x轴相交于A、B两点（B在A的右边），与y轴相交于C点．

（1）求k的取值范围；

（2）若△OBC是等腰直角三角形，求k的值．

考点： 抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形．

分析： （1）由抛物线的图象和x轴有两个 交点可知：△＞0，进而可求出k的取值范围；

（2）易求C的坐标为（0，k），若△OBC是等腰直角三角形 则|k|2﹣4|k|+k=0，即可求出k的值．

解答： 解：（1）依题意，（﹣4）2﹣4k＞0，

解不等式得，k＜4，

所以k的取值范围是k＜4；

（2）依题意，C（0，k），

∴B（|k|，0），

∴|k|2﹣4|k|+k=0，

∴k＞0时，k2﹣3k=0，解得k=3；

k＜0时，k2+5k=0，解得k=﹣5．

点评： 本题考查了抛物线和x轴交点的问题，一般求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．