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南岗区48中2023九年级数学下册期中测试题(含答案解析) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 的倒数是( ) （A）－ （B） （C）－ （D） 2．下列运算错误的是( ) (A)－(a－b)=－a+b (B)a2?a3=a6 (C)a 2－2ab+b2=(a－b)2 (D)3a－2a=a 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) 4．抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为(－3，0)， 则它与x轴另一个交点的坐标为( ) (A)(－2，0)(B)(－1，0)(C)(2，0)(D)(5，0) 5、如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是( ) （A）（B）（C）（D） 6．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，点E在 AB边上，点F在CD边上，EF经过点O，若图中两阴影部 分面积和为1，则四边形ABCD面积为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 7．若反比例函数y= 的图象经过点(－1，2)，则它一定不经过下列四个点中的( ) (A)(2，1) (B)(1，－2) (C)(2，－l) (D)(－2，1) 8．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9．在1，2，3，4四个数中任取两个数相加等于5概率为( ) (A) (B) （C） (D) 10．大客车从甲地开往乙地，出租车从乙地开往甲地， 两车同时出发，它们离甲地的距离y(千米)与客车 行驶的时间x(小时)之间的函数关系图象如图所示， 则下列结论不正确的是( ) (A)甲、乙两地相距600km (B)客车比出租车晚4小时到达终点 (C)出发4小时，两车相遇(D)大客车的速度比出租车慢40千米/时 二．填空题：(每小题3分，共30分) 11．20230用科学记数法可表示为． 12．计算4 ＋ =． 13．因式分解4m2－8mn+4n2=． 14．不等式组 的解集为． 15．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，此时BC与B′C′交于点P， 则∠B′PC的度数为． 16．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润为250万元，则平均每月增长％． 17．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积为． 18．PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上 (不与点A、B重合)，若∠P=70°，则∠ACB的度数是． 19 .如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，将该矩形沿直线 DE折叠，点A恰好落在BC边的点F处．若AE=5，BF=3， 则AD边的长是____________. 20．如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上， CE与BF相交于点D，若AF=BE，BD∶DF=3∶4， 则ED∶CD =____________. 三、解答题(共60分，其中21～24题各6分，25、26题各8分。27、28题各10分) 21．(本题6分) 先化简，再求代数式 ÷( －a－2)的值，其中a=tan60°－ 6sin30°． 22．(本题6分) 如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均 为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上． (1)在图中以AB为一腰作等腰三角形ABC，使得△ABC 一个顶角为钝角，点C在小正方形顶点上． (2)直接写出△ABC的周长 23．(本题6分) 如图平面直角坐标系中，第一象限内的P点在直线y＝ x+1上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A，若四边形AOBP的周长为8，反比例函数y＝ (k≠0)经过P点， (1) 求P点坐标 (2) 求反比例函数y＝ (k≠0)的解析式 24、(本题6分) 随机调查了某小区内若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求出扇形统计图中a、b的值并补全条形统计图. （2）若该小区年龄在15～59岁居民约有2023人，请估计年龄在60岁以上的居民人数． 25．(本题8分) 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于F，过D作AC的垂线交AC于E， (1) 求证：DE是⊙O的切线； (2) 若CD＝ ，AF＝1，求⊙O的半径 26．(本题8分) 17中学计划购进一批人文类图书与科技类图书，每本人文类图书的价格相同。每本科技类图书的价格也相同．且每本人文类图书的价格比每本科技类图书的价格少l元，用420元购入的科技类图书与用360元购入的人文类图书册数相同， (1)求每本科技类图书和每本人文类图书的价格分别为多少元? (2)学校计划用不多于2．3万元购买2023本科技类图书和若干本人文类图书，在购买时书店给了每本书l元的优惠，求该校至多购买人文类图书多少本? 27．(本题l0分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ x+6与x轴交于A，B两点(A右B左)，与y轴的正半轴交于点C，A点坐标为(8，0) (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线在第一象限内的一个动点，点P的横坐标为t，过P作y轴的平行线交 AC于E，设线段PE的长为d，求出d与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围； (3)在(2)的条件下，当t为何值时，d最大？当d最大时，连PC、AP，点F在y轴上，问是否存在这样的F点，使得△PCF与△APC相似，若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由． 28．(本题l0分) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BH平分∠ABC，交AC边于点H，CD⊥BH，垂足为点D，点E在线段BD上，且．∠EAC=3∠ABH (1)如图l，求证：AE=CD； (2)如图2，延长AE交BC于F，G在BE上，且GF=EF，探究GB×BD与BE2之间的数量关系并证明． 南岗区48中2023九年级数学下册期中测试题(含答案解析)参考答案 一、选择题DBCDABACBC 二、填空题 11、1.78×104 12、5 13、4(m－n)2 14、1x＜3 15、160° 16、2023、12π 18、55°或125° 19、15 20、1∶6 三、解答题 21.原式= ÷[ －(a+2)] = ÷ = × =－-------2分 当x= －6× = －3时，-------2分 原式=－ =－ =－ -------2分 22.共有两种画法 （1）画图正确-------4分（2）周长为10+3 或10+4 ，-------2分 23.(1)设P点坐标为(x， x+1)， ∵PA⊥y轴、PB⊥x轴，∴∠PAO＝∠PBO＝90°＝∠AOB， ∴四边形AOBP是矩形，-------2分 ∴AP＝OB＝x，AO=BP= x+1，∴2x+2( x+1)＝8， ∴x=2，∴P(2，2) -------2分 (2)∵反比例函数y＝ (k≠0)经过P点，∴k=2×2=4， ∴反比例函数y＝ (k≠0)的解析式为y＝ -------2分 24.(1) ∵样本中15岁至40岁共有144人，占抽样人数的48% ∴144÷48%=300(人) ------1分 ∴300－144－60－36=60 (人) 补图 ------1分 ∴a= ×100%=20%， b= ×100%=12%------2分 (2) 样本中15岁至59岁占抽样人数的(48%+20%)=68%, 60岁以上占12% ∴由样本估计总体：2023× =900 (人) ------1分 答：估计该小区60岁以上居民有900人 ------1分 25．(1)证明：连OD， ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°------1分 ∵BO、DO都是⊙O半径， ∴BO=DO，------1分 ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ------1分 ∴∠ODE＝∠AED＝90°， ∴DE是⊙O的切线 ------1分 (2) 解：连AD、BF ∵AB为⊙O直径， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°， ∴∠CFB＝∠CDA＝90°， ∵AB＝AC， ∴BD=CD＝ ，------1分 ∵∠C＝∠C， ∴△CBF∽△CDA，------1分 ∴CD∶FC＝AC∶BC， ∴CD×CB=CF×AC， ∴ ×2 =CF×(CF+1) ∴CF2+CF－20=0, ∴CF1=－5(舍) CF2=4 ∴AB=AC=1+4=5, ------1分 ∴⊙O的半径为 ------1分 另：证：△CFD∽△CBA亦可 26.（1）设每本科技类图书为x元，则每本人文类图书为(x－1)元，----1分 由题意得： = -------1分 解得x=7经检验x=7是原方程的解----1分 x－1=7－1=6(元) --------1分 答：每本科技类图书为7元，则每本人文类图书为6元 （2）设该校购买人文类图书a本，---------1分 依题意得：2023×(7－1) +(6－1)a≤2.3×104-------2分 解得a≤2023---------1分 答：该校至多购买人文类图书2023本 27.(2+4+4) 解：(1) 将A点坐标为(8，0)代入y=ax2+ x+6 得：64a=－20，∴a=－ ，---------1分 ∴抛物线的解析式：y=－ x2+ x+6---------1分 (2) y=－ x2+ x+6令x=0，y=6， ∴C(0，6)，设AC直线解析式为y=kx+b， ∴ ∴ ∴y=－ x+6 ---------2分 设P(t，－ t2+ t+6) ，E(t，－ t+6) ∴ PE=(－ t2+ t+6)－(－ t+6) =－ t2+ t ---------1分 ∴d=－ t2+ t t8)---------1分 (3) 延长PE交AB于L， d最大时，t=－ =4，---------1分 此时PE=5， ∴P(4，8)，E(4，3) ∵AO=8，∴E是AC中点， ∵Rt△ACO中，AC= =10 ∴CE=AE=5=PE， ∴∠ACP=∠CPE，∠EPA=∠EAP ∵∠ACP+∠CPE+∠EPA+∠EAP=180° ∴∠APC=90°，---------1分 ∵PE∥y轴， ∴∠ACP=∠CPE=∠1，共分两种情况： ①∠PF1C=90°，∴△PF1C∽△APC，∴F1的坐标为(0，8)---------1分 ②∠F2PC=90°，∴△F2PC≌△APC，∴OF2=2O F1=16，∴F2的坐标为(0，16)----1分 综上所述，t=4时d最大，F点坐标为(0，8)，(0，16) 28. (5+5) (1)证明：过A作AL⊥BD于L，延长CD、BA交于K，连AD． 设∠ABH＝α＝∠CBD， ∵∠BAD＝∠BDC=90° ∴∠CDA=∠ABD=α ∵∠K=90°－α=∠BCK ∴BK=BC，∵∠BDC=90° ∴DK=CD，∴AD是Rt△CAK的斜边中线----2分 ∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=α， ∵∠ALB=90°=∠BDK，∴AL∥CD， ∴∠LAH=∠DCH=α，∴∠EAL=2α=∠DAL ∴∠AED=90°－2α=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=CD ----3分 (2) BE2=BG×BD----1分 先证：△ABE∽△FBG， 得AB∶BF=BE∶BG ----2分 再证：△ABD∽△FBE， 得AB∶BF=BD∶BE ∴BE∶BG=BD∶BE ∴BE2=BG×BD ----2分 | 
