2023九年级数学下册期中易错题测试(含答案解析)

2023九年级数学下册期中易错题测试(含答案解析)

一．选择题（共11小题）

1．如图，直线l1与直线l2相交，∠α=60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，…，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，Pn．若Pn与P重合，则n的最小值是（）

A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

2．关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（）

A． ﹣ ＜a＜ B． a＞ C． a＜﹣ D． ﹣ ＜a＜0

3．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）xK b 1.C om

A． 11+ B． 11﹣

C． 11+ 或11﹣ D． 11+ 或1+

4．已知两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是（）

A． 相交 B． 外切 C． 外离 D． 内含

5．已知⊙O1和⊙O2的直径分别为4cm和6cm，两圆的圆心距是1cm，则两圆的位置关系是（）

A． 内切 B． 外切 C． 相交 D． 外离

6．在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）

A． 点（0，3） B． 点（2，3） C． 点（5，1） D． 点（6，1）

7．若关于x的分式方程 无解，则a的值为（）

A． ﹣2 B． 0 C． 1 D． 1或﹣2

8．方程x2+3x﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y= 的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3﹣x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（）

A． ﹣1＜x0＜0 B． 0＜x0＜1 C． 1＜x0＜2 D． 2＜x0＜3

9．过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y= （x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）

A． 2≤k≤9 B． 2≤k≤8 C． 2≤k≤5 D． 5≤k≤8

10．已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线 上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（）

A． 有最大值，最大值为 B． 有最大值，最大值为

C． 有最小值，最小值为 D． 有最小值，最小值为

11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣ ．下列结论中，正确的是（）

A． abc＞0 B． a+b=0 C． 2b+c＞0 D． 4a+c＜2b

二．填空题（共12小题）

12．一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为_________cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．

13．二次函数y=﹣（x﹣2）2+ 的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有_________个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．

14．如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，得到△AOH．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形△POQ与△AOH全等，则符合条件的△AOH的面积是_________．

15．为美化小区环境，某小区有一块面积为30m2的等腰三角形草地，测得其一边长为10m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为_________m．

16．在直角坐标系中，已知两点A（﹣8，3），B（﹣4，5）以及动点C（0，n），D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值 为_________．

17．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为_________．

18．在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是_________．

19．?ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件_________（只添一个即可），使?ABCD是矩形．

20．操作与探索：如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，绕点P旋转．设三角板的直角边PM交线段CB于E点，当CE=0，即E点和C点重合时，有PE=PB，△PBE为等腰三角形，此外，当CE等于_________时，△PBE为等腰三角形．

21．关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是_________．

22．幼儿园某班有玩具若干件分给小朋友，如果每人三件，那么还多59件；如果每人分5件，那么最后一个小朋友得到玩具但不超过3件，则这个班有_________件玩具．新-课 -标-第- 一-网

23．点A、B在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k的值为_________．

三．解答题（共7小题）

24．A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．

（1）当t=3时，求l的解析式；

（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；

（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

25．如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形ABCD的边长为1cm，FG=4cm，GH=3cm，设正方形移动的时间为x秒，且0≤x≤2.5．

（1）直接填空：DG=_________cm（用含x的代数式表示）；

（2）连结CG，过点A作AP∥CG交GH于点P，连结PD．

①若△DGP的面积记为S1，△CDG的面积记为S2，则S1﹣S2的值会发生变化吗？请说明理由；

②当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

26．△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

27．AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．

（1）求证：BD平分∠ABH；

（2）如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离．

28．在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BH⊥PD，垂足为H，BH交⊙O于点C，连接BD．

（1）求证：BD平分∠ABH；

（2）如果AB=10，BC=6，求BD的长；

（3）在（2）的条件下，当E是 的中点，DE交AB于点F，求DE?DF的值．

29．解方程： ．

30．某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元．

（1）若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？

（2）若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只？

（3）相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？

2023九年级数学下册期中易错题测试(含答案解析)参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．如图，直线l1与直线l2相交，∠α=60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，…，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，Pn．若Pn与P重合，则n的最小值是（）

A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

考点： 轴对称的性质．

专题： 规律型．

分析： 设两直线交点为O，作图后根据对称性可得．

解答： 解：作图可得：设两直线交点为O，

根据对称性可得：作出的一系列点P1，P2，P3，…，Pn都在以O为圆心，OP为半径的圆上，

∵∠α=60°，

∴每相邻两点间的角度是60°；

故若Pn与P重合，

则n的最小值是6．

故选B

点评： 此题考查了平面图形，主要培养学生的观察、分析能力和与作图能力．

2．关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（）

A． ﹣ ＜a＜ B． a＞ C． a＜﹣ D． ﹣ ＜a＜0

考点： 根的判别式；解一元一次不等式组．

分析： 首先解关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，求出x的解，再根据x1＜1＜x2，求出a的取值范围．

解答： 解：ax2+（a+2）x+9a=0，

解得；x1= = ，

x2= ，

∵x1＜1＜x2，

∴① ＞1，

解得；﹣ ＜a＜0，

② ＜1．

解得：﹣ ＜a＜0，

∴﹣ ＜a＜0，

故选：D．

点评： 此题主要考查了解一元二次方程与不等式的解法，此题综合性较强，解题的关键是利用求根公式求出x，再求不等式的解集是解决问题的关键．

3．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）

A． 11+ B． 11﹣

C． 11+ 或11﹣ D． 11+ 或1+

考点： 平行四边形的性质；勾股定理．

专题： 计算题；压轴题；分类讨论．

分析： 根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=5，BC=AD=6，

①如图：

由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=15，

求出AE= ，AF=3，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，

把AB=5，AE= 代入求出BE= ，

同理DF=3 ＞5，即F在DC的延长线上，

∴CE=6﹣ ，CF=3 ﹣5，

即CE+CF=1+ ，

②如图：

∵AB=5，AE= ，在△ABE中，由勾股定理得：BE= ，

同理DF=3 ，

由①知：CE=6+ ，CF=5+3 ，

∴CE+CF=11+ ．

故选D．

点评： 本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论啊．

4．已知两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是（）

A． 相交 B． 外切 C． 外离 D． 内含

考点： 圆与圆的位置关系．

分析： 本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．

解答： 解：∵两圆的直径分别为2cm和4cm，

∴两圆的半径分别为1cm和2cm，

两圆圆心距d=2+1=3

故两圆外切．

故选B．

点评： 本题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．

5．已知⊙O1和⊙O2的直径分别为4cm和6cm，两圆的圆心距是1cm，则两圆的位置关系是（）

A． 内切 B． 外切 C． 相交 D． 外离

考点： 圆与圆的位置关系．

分析： 先将直径转化为半径，求两圆半径的和或差，再与圆心距进行比较，确定两圆位置关系．

解答： 解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距O1O2=1cm，

O1O2=4﹣3=1cm，

∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2相内切．

故选A．

点评： 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．

6．在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）

A． 点（0，3） B． 点（2，3） C． 点（5，1） D． 点（6，1）

考点： 切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．

专题： 压轴题；网格型．

分析： 根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．

解答： 解：连接AC，作AC的垂直平分线BO′，交格点于点O′，则点O′就是 所在圆的圆心，

∵过格点A，B，C作一圆弧，

∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），

∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，

∴当△BO′D≌△FBE时，

∴EF=BD=2，

F点的坐标为：（5，1），

∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．

故选：C．

点评： 此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．

7．若关于x的分式方程 无解，则a的值为（）

A． ﹣2 B． 0 C． 1 D． 1或﹣2

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 该分式方程 无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．

解答： 解：去分母得：x（x﹣a）﹣3（x﹣1）=x（x﹣1），

去括号得：x2﹣ax﹣3x+3=x2﹣x，

移项合并得：（a+2）x=3．

（1）把x=0代入（a+2）x=3，

∴a无解；

把x=1代入（a+2）x=3，

解得a=1；

（2）（a+2）x=3，

当a+2=0时，0×x=3，x无解

即a=﹣2时，整式方程无解．

综上所述，当a=1或a=﹣2时，原方程无解．

故选D．

点评： 分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．

8．（方程x2+3x﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y= 的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3﹣x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（）

A． ﹣1＜x0＜0 B． 0＜x0＜1 C． 1＜x0＜2 D． 2＜x0＜3

考点： 图象法求一元二次方程的近似根．

专题： 压轴题．

分析： 所给方程不是常见的方程，两边都除以x以后再转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数的图象即可得到实数根x0所在的范围．

解答： 解：方程x3﹣x﹣1=0，

∴x2﹣1= ，

∴它的根可视为y=x2﹣1和y= 的交点的横坐标，

当x=1时，x2﹣1=0， =1，交点在x=1的右边，

当x=2时，x2﹣1=3， = ，交点在x=2的左边，

又∵交点在第一象限．

∴1＜x0＜2，

故选C．

点评： 本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．

9．过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y= （x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）

A． 2≤k≤9 B． 2≤k≤8 C． 2≤k≤5 D． 5≤k≤8

考点： 反比例函数综合题．

专题： 综合题；压轴题．

分析： 先求出点A、B的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y=﹣x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．

解答： 解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，

∴当x=1时，y=﹣1+6=5，

当y=2时，﹣x+6=2，解得x=4，

∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小，

设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，

则k=x（﹣x+6）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，

∵1≤x≤4，

∴当x=3时，k值最大，

此时交点坐标为（3，3），

因此，k的取值范围是2≤k≤9．

故选A．

点评： 本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．

10．已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线 上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（）

A． 有最大值，最大值为 B． 有最大值，最大值为

C． 有最小值，最小值为 D． 有最小值，最小值为

考点： 二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有

专题： 压轴题．

分析： 先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．

解答： 解：∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），

∴N点的坐标为（﹣a，b），

又∵点M在反比例函数 的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，

∴ ，

整理得 ，

故二次函数y=﹣abx2+（a+b）x为y=﹣ x2+3x，

∴二次项系数为﹣ ＜0，故函数有最大值，最大值为y= = ，

故选：B．

点评： 本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值．

11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣ ．下列结论中，正确的是（）

A． abc＞0 B． a+b=0 C． 2b+c＞0 D． 4a+c＜2b

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 压轴题．

分析： 由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=﹣ ，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．

解答： 解：A、∵开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴﹣ ＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0，

故本选项错误；

B、∵对称轴：x=﹣ =﹣ ，

∴a=b，

故本选项错误；

C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，

故本选项错误；

D、∵对称轴为x=﹣ ，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，

∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，

∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，

即4a+c＜2b，

故本选项正确．

故选D．

点评： 此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．

二．填空题（共12小题）

12．一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为7.5×10﹣4cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．

考点： 圆柱的计算．

专题： 压轴题．

分析： 保鲜膜的厚度=膜的总厚度÷总层数．

解答： 解：圆筒状保鲜膜的平均直径是（3.2+4.0）÷2=3.6cm，而保鲜膜长的是60m=2023cm，因此一共有2023÷（3.14×3.6）=530层，那么厚度就是：0.5×（4.0﹣3.2）÷530=7.54÷20230=0.202354cm≈7.5×10﹣4cm．

点评： 本题的关键是得出圆筒状包装的保鲜膜的平均直径，而不能直接让两个外径的差除以2来得出保鲜膜的厚度．

13．二次函数y=﹣（x﹣2）2+ 的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向下，顶点坐标为（2， ），当y=0时，可解出与x轴的交点横坐标．

解答： 解：∵二次项系数为﹣1，

∴函数图象开口向下，

顶点坐标为（2， ），

当y=0时，﹣（x﹣2）2+ =0，

解得x1= ，得x2= ．

可画出草图为：

图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．

点评： 本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键．

14．如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，得到△AOH．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形△POQ与△AOH全等，则符合条件的△AOH的面积是 ，2 ， ， ．

考点： 二次函数综合题．

专题： 探究型．

分析： 由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：

①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；

②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y= x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；

③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；

④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答： 解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；

∵∠AOH=30°，

∴直线OA：y= x，联立抛物线的解析式，

∴ ，

解得 或

故A（ ， ），

∴S△AOH= × × = ；

②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，

得 ，解得 或 ，

∴P（ ，3），A（3， ）

∴S△AOH= ×3× = ；

③如图3，当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，

得， ，解得 或 ，

∴P（ ，3），

∴OP=2 ，QP=2，

∴OH=OP=2 ，AH=QP=2，

∴A（2 ，2），

∴S△AOH= ×2 ×2=2 ；

④如图4，当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；

此时直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，

得 ，解得 或 ，

∴P（ ， ），

∴QP= ，OP= ，

∴OH=QP，QP= ，AH=OP= ，

∴A（ ， ），

∴S△AOH= × × = ．

综上所述，△AOH的面积为： ，2 ， ， ．

故答案为： ，2 ， ， ．

点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解答此题时一定要注意进行分类讨论．

15．为美化小区环境，某小区有一块面积为30m2的等腰三角形草地，测得其一边长为10m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为2 +10或20+2 或20+6 m．

考点： 解直角三角形的应用．

专题： 应用题；压轴题；分类讨论．

分析： （1）如图，当底边BC=10m时，由于S=30m2，所以高AD=6，然后根据勾股定理求出AB，AC，最后求出三角形的周长；

（2）①当△ABC是锐角三角形时，如图，当AB=AC=10m时，高CE=6m，根据勾股定理可以求出AE=8m，BE=2m，然后在RT△BEC中，可以求出BC，最后求出周长；

②当△ABC是钝角三角形时，作AD⊥BC，设BD=xm，AD=hm，求出x的长，进而可得出△ABC的周长．

解答： 解：（1）如图1，当底边BC=10m时，

由于S=30m2，所以高AD=6m，

此时AB=AC= = （m），

所以周长=（2 +10）m；

（2）①当△ABC是锐角三角形时，如图2，当AB=AC=10m时，高CE=6，此时AE=8m，BE=2m，在Rt△BEC中，BC=2 m，

此时周长=（20+2 ）m．

②当△ABC是钝角三角形时，如图3，设BD=xm，AD=hm，

则在Rt△ABD中， ×2x×h=30，

xh=30，

，解得 或 （舍去），

故△ABC是钝角三角形时，△ABC的周长=2×10+3 =（20+6 ）（m），

故填空答案：2 +10或20+2 或20+6 ．

点评： 解此题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中．另外要分类讨论．

16．在直角坐标系中，已知两点A（﹣8，3），B（﹣4，5）以及动点C（0，n），D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值 为 ．

考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

专题： 动点型．

分析： 先根据两点间的距离公式求出AB的值，再过点B作关于y轴的对称点B′，过点A作关于x轴的对称点A′，连接A′B′分别交x、y轴于点D、C，由两点之间线段最短可知线段A′B′即为四边形ABCD的周长最小值，用待定系数法求出过A′B′两点的直线解析式，即可求出C、D的坐标．

解答： 解：∵AB= =2 ，

∴四边形ABCD周长=AB+BC+CD+AD=2 +BC+CD+AD，

∴求其周长最小值，就是求BC+CD+AD的最小值．过B作y轴对称点B′（4，5），

则BC=B′C，

过A作x轴对称点A′（﹣8，﹣3），则AD=A′D

∴BC+CD+AD=B′C+CD+A′D≥A′B′

即A′、D、C、B′四点共线时取等号

可求出相应的C、D坐标，

设直线A′B′的方程是y=kx+b（k≠0），

∴ ，解得k= ，b= ，故过A′B′两点的一次函数解析式为y= x+ ，

∴C（0， ）D（﹣ ，0），

即n= ，m=﹣ ，

=﹣ ．

故答案为：﹣ ．

点评： 本题考查的是两点之间线段最短及用待定系数法求一次函数的解析式，根据对称的性质作出A、B的对称点A′、B′及求出其坐标是解答此题的关键．

17．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为6π．

考点： 弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质．

专题： 压轴题；规律型．

分析： 如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．

解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=5．

∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，

∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为： = ．

同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为： =2π．

点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为： = ．

则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为： +2π+ =6π．

故答案是：6π．

点评： 本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键．

18．在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是 ．

考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有

专题： 计算题．

分析： 根据题意画出图形，如图所示，由对称性得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四个三角形都为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形BEF与等腰直角三角形CFG相似，且相似比为2：1，得到BE=BF=DH=DG=2AE=2AH=2CG=2CF，设正方形边长为3a，表示出BE，BF，以及AH，AE，利用勾股定理表示出EF与EH，进而表示出矩形EFGH的面积，即可求出矩形与正方形面积之比．

解答： 解：由对称性得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四个三角形都为等腰直角三角形，

∵△BEF∽△CFG，EF=2FG，

设正方形的边长为3a，即S正方形ABCD=9a2，

则BE=BF=DH=DG=2a，AE=AH=CG=CF=a，

根据勾股定理得：EF=2 a，EH= a，

∴S矩形EFGH=EF?EH=4a2，

则矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是 ．

故答案为：

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

19．?ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD（只添一个即可），使?ABCD是矩形．

考点： 矩形的判定；平行四边形的性质．

专题： 开放型．

分析： 根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．

解答： 解：添加的条件是AC=BD，

理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：AC=BD．

点评： 本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．

20．操作与探索：如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，绕点P旋转．设三角板的直角边PM交线段CB于E点，当CE=0，即E点和C点重合时，有PE=PB，△PBE为等腰三角形，此外，当CE等于1或 时，△PBE为等腰三角形．

考点： 旋转的性质．

专题： 操作型．

分析： △PBE为等腰三角形，有三种可能：①PE=PB，此时CE=0；②PB=BE，根据CE=BC﹣BE可求解；③PE=BE，此时PE⊥BE．

解答： 解：∵在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，

∴AB= =2 ，

又∵P点为AB的中点，

∴PB= ，

①若PE=PB，连接PC，∵PB=PC，∴C、E两点重合，此时CE=0；

②若PB=BE，则CE=BC﹣BE=2﹣ ；

③若PE=BE，此时PE⊥BE，

∵P点为AB的中点，∴E点为BC的中点，

即CE= BC=1．

故答案为：1或 ．

点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，分类讨论的数学思想．

21．关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是6≤a＜9．

考点： 一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有

专题： 计算题；压轴题．

分析： 解不等式得x≤ ，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断 的取值范围，求出a的取值范围．

解答： 解：原不等式解得x≤ ，

∵解集中只有两个正整数解，

则这两个正整数解是1，2，

∴2≤ ＜3，

解得6≤a＜9．

故答案为：6≤a＜9．

点评： 本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

22．幼儿园某班有玩具若干件分给小朋友，如果每人三件，那么还多59件；如果每人分5件，那么最后一个小朋友得到玩具但不超过3件，则这个班有152或155件玩具．

考点： 一元一次不等式组的应用．

分析： 设这个幼儿园有x个小朋友，则有（3x+59）件玩具．根据关键语句“如果每人分5件，那么最后一个小朋友得到玩具但不超过3件”得：0＜3x+59﹣5（x﹣1）≤3求解可得答案．

解答： 解：设这个幼儿园有x个小朋友，则有（3x+59）件玩具，由题意得：

0＜3x+59﹣5（x﹣1）≤3，

解得： ＜x≤32，

∵x为整数，

∴x=31或x=32，

当x=31时3x+59=3×31+59=152；

当x=32时，3×32+59=155．

故答案为：152或155．

点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，根据关键语句列出不等式组．

23．点A、B在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k的值为4．

考点： 反比例函数综合题．

专题： 代数几何综合题．

分析： 设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再求出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k，然后计算即可得解．

解答： 解：设OM=a，

∵点A在反比例函数y= ，

∴AM= ，

∵OM=MN=NC，

∴OC=3a，

∴S△AOC= ?OC?AM= ×3a× = k=6，

解得k=4．

故答案为：4．

点评： 本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用OM的长度表示出AM、OC的长度，相乘恰好只剩下k是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题．

三．解答题（共7小题）

24．A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．

（1）当t=3时，求l的解析式；

（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；

（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

考点： 一次函数综合题．

专题： 探究型．

分析： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式；

（2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围；

（3）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．

解答： 解：（1）直线y=﹣x+b交y轴于点P（0，b），

由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．

当t=3时，b=4，

故y=﹣x+4．

（2）当直线y=﹣x+b过点M（3，2）时，

2=﹣3+b，

解得：b=5，

5=1+t，

解得t=4．

当直线y=﹣x+b过点N（4，4）时，

4=﹣4+b，

解得：b=8，

8=1+t，

解得t=7．

故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．

（3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．

过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．

已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，

∴DE=MD=2，OE=OF=1，

∴E（1，0），F（0，﹣1）．

∵M（3，2），F（0，﹣1），

∴线段MF中点坐标为（ ， ）．

直线y=﹣x+b过点（ ， ），则 =﹣ +b，解得：b=2，

2=1+t，

解得t=1．

∵M（3，2），E（1，0），

∴线段ME中点坐标为（2，1）．

直线y=﹣x+b过点（2，1），则1=﹣2+b，解得：b=3，

3=1+t，

解得t=2．

故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．

点评： 本题是动线型问题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质．难点在于第（3）问，首先注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．

25．如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．已知正方形ABCD的边长为1cm，FG=4cm，GH=3cm，设正方形移动的时间为x秒，且0≤x≤2.5．

（1）直接填空：DG=（4﹣x）cm（用含x的代数式表示）；

（2）连结CG，过点A作AP∥CG交GH于点P，连结PD．

①若△DGP的面积记为S1，△CDG的面积记为S2，则S1﹣S2的值会发生变化吗？请说明理由；

②当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）根据GF=4cm，正方形ABCD的边长为1cm，将正方形ABCD以1cm/秒的速度沿FG方向移动，得出正方形移动的时间为x秒时，表示出DG的长即可；

（2）①首先得出△CDG∽△PGA，进而得出PG的长，进而表示出△DGP的面积S1，△CDG的面积S2，即可得出S1﹣S2的值；

②首先得出∠GDP=∠DPG=∠ADB=45°，即可得出PG=DG，进而得出x的值，求出PD= ，得出即可．

解答： 解：（1）由题意可得出：DG=（4﹣x）；

（2）①答：S1﹣S2不会发生变化．

如图1，

∵AP∥CG，

∴∠CGD=∠GAP，

又∵∠CDG=∠PGA=90°，

∴△CDG∽△PGA，

∴ ，即 ，

∴ ，

∵ ，

，

∴ ．

②如图2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵直线PD⊥AC，

∴点P在对角线BD所在的直线上，

∴∠GDP=∠DPG=∠ADB=45°，

∴PG=DG，

即： ，

整理得 x2﹣5x+5=0，

解得 ， ，

经检验：x1，x2都是原方程的根，

∵0≤x≤2.5，

∴ ，

∴DG=PG= ，

在Rt△DGP中，PD= ．

故答案为：（3﹣x）．

点评： 此题主要考查了四边形的综合应用以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法，注意自变量的取值范围得出DG的长是解题关键．

26．△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．h

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

专题： 压轴题；动点型．

分析： （1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= QC，即6﹣x= （6+x），求出x的值即可；

（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，

再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

解答： 解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠BQD=30°，

∴∠QPC=90°，

设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，

∴QC=QB+BC=6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，

∴PC= QC，即6﹣x= （6+x），解得x=2，

∴AP=2；

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：

作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ=∠AEP=90°，

∵点P、Q速度相同，

∴AP=BQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP=∠BFQ=90°，

∴∠APE=∠BQF，

在△APE和△BQF中，

，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE= EF，

∵EB+AE=BE+BF=AB，

∴DE= AB，

又∵等边△ABC的边长为6，

∴DE=3，

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．

27．AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．

（1）求证：BD平分∠ABH；

（2）如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离．

考点： 切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．

分析： （1）连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；

（2）过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．

解答： （1）证明：连接OD，

∵EF是⊙O的切线，

∴OD⊥EF，

又∵BH⊥EF，

∴OD∥BH，

∴∠ODB=∠DBH，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD

∴∠OBD=∠DBH，

即BD平分∠ABH．

（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG=CG=4，

在Rt△OBG中，OG= = = ．

点评： 本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．

28．在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BH⊥PD，垂足为H，BH交⊙O于点C，连接BD．

（1）求证：BD平分∠ABH；

（2）如果AB=10，BC=6，求BD的长；

（3）在（2）的条件下，当E是 的中点，DE交AB于点F，求DE?DF的值．

考点： 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）连接OD易证OD∥BH，则∠ODB=∠DBH，然后根据等边对等角证明∠ODB=∠OBD，从而证明；

（2）证明四边形ODHG是矩形，在Rt△DBH中利用勾股定理即可求解；

（3）连接AD，AE，证明△ADE∽△FDB，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得．

解答： （1）证明：连接OD．

∵PD是⊙O的切线，

∴OD⊥PD．

又∵BH⊥PD，

∴∠PDO=∠PHB=90°，

∴OD∥BH，

∴∠ODB=∠DBH．

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠OBD=∠DBH，

∴BD平分∠ABH．

（2）解：过点O作OG⊥BC，G为垂足，

则BG=CG=3，

在Rt△OBG中，OG= =4．

∵∠ODH=∠DHG=∠HGO=90°，

∴四边形ODHG是矩形．

∴OD=GH=5，DH=OG=4，BH=8．

在Rt△DBH中，BD=4 ；

（3）解：连接AD，AE，

则∠AED=∠ABD，∠ADB=90°．

在Rt△ADB中，AD=2 ．

又∵E是 的中点，即 = ，∴∠ADE=∠EDB，

∴△ADE∽△FDB．

即 = ，

∴DE?DF=DB?AD=40．

点评： 本题综合考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．

29．解方程： ．

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：去分母得：x+2（x﹣2）=x+2，

去括号得：x+2x﹣4=x+2，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

30．某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元．

（1）若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？

（2）若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只？

（3）相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？

考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．

专题： 应用题；压轴题．

分析： （1）利用这批鸡苗的总费用为等量关系列出一元一次方程后解之即可；

（2）利用这批鸡苗费用不超过2023元列出一元一次不等式求解即可；

（3）列出有关总费用的函数关系式，求得当总费用最少时自变量的取值范围即可．

解答： 解：设购买甲种小鸡苗x只，那么乙种小鸡苗为（2023﹣x）只．

（1）根据题意列方程，得2x+3（2023﹣x）=2023，

解这个方程得：x=2023，

2023﹣x=2023﹣2023=500，

即：购买甲种小鸡苗2023只，乙种小鸡苗500只；

（2）根据题意得：2x+3（2023﹣x）≤2023，

解得：x≥2023，

即：选购甲种小鸡苗至少为2023只；

（3）设购买这批小鸡苗总费用为y元，

根据题意得：y=2x+3（2023﹣x）=﹣x+2023，

又由题意得：94%x+99%（2023﹣x）≥2023×96%，

解得：x≤2023，

因为购买这批小鸡苗的总费用y随x增大而减小，所以当x=2023时，总费用y最小，乙种小鸡为：2023﹣2023=800（只），

即：购买甲种小鸡苗为2023只，乙种小鸡苗为800只时，总费用y最小，最小为2023元．

点评： 本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．