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南通市2023初三数学下学期期中联考试卷(含答案解析) 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．）． 1． 的绝对值是（ ）． A． B． C．D．2 2．下列运算正确的是（ ）． A. B． C．D． 3．关于x的方程 的解为正实数，则m的取值范围是（ ）． A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2D．m＜2 4．下列函数的图像在每一个象限内， 值随 值的增大而增大的是（ ）． A． B． C． D． 5．直线 一定经过点（ ）． A．(1，0) B．(1，k) C． (0，k) D．(0，－1) 6．若点 P（ ， －2）在第四象限，则 的取值范围是（ ）． A．－2＜ ＜0 B．0＜ ＜2 C． ＞2 D． ＜0 7．在平面直角坐标系中，将抛物线 绕着它与 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）． A． B． C． D． 8．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b= ，如：4★5= ，若x★2=6，则实数x的值是（） A. 或B.4或 C.4或D. 或2 9．如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个 图形需要围棋子的枚数为（） A．5nB．5n－1 C．6n－1 D．2n2＋1 10．如图，将边长为 的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线上由图1的位置按顺时针方 向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的 长为（ ）． A.B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡上）． 11．因式分解：． 12．我市在临桂新区正在建设的广西桂林图书馆、桂林博物馆、桂林大剧院及文化广场，建成后总面积达202300平方米，将成为我市“文化立市”和文化产业大发展的新标志，把202300平方米用科学记数法可表示为平方米． 13．某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为 ． 14．如图，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，则菱形ABCD的面积为 ． 15．如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、PB.则∠APB的大小为 °． （第15题） 16．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC,BE∥AD, 梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△BEC的周长为 ． 17．双曲线 、 在第一象限的图像如图， ， 过 上的任意一点 ，作 轴的平行线交 于 ， 交 轴于 ，若 ，则 的解析式是 ． 18．若 ， ， ，… ；则 的值为．（用含 的代数式表示） 三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在题后空白区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本题满分7分）计算： 20．（本题满分7分）解二元一次方程组： 21.（本题满分7分）． 如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧 的中点，求证四边形OACB是菱形. 22．（本题满分8分） 如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与双曲线 在第一象限内交于点B，BC⊥x轴于点C，OC=2AO．求双曲线的解析式． 23．（本题满分10分） 为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 24．（本题满分8分）“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如下的统计图，请回答下列问题： （1）这次抽查的家长总人数为 ； （2）请补全条形统计图和扇形统计图； （3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率 是 ． 25．（本题满分10分）某市为争创全国文明卫生城，2023年市政府对市区绿化工程投入的资金是2023万元，2023年投入的资金是2023万元，且从2023年到2023年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同. （1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率； （2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2023年需投入多少万元？ 26．（本题满分12分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心， AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC． （1）求证：D是 的中点； （2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD； （3）若 ，且AC=4，求CF的长. 27．（本题满分13分） 四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题： （1）如图（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB； （2）如图（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2； （3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式． 28．（本题满分14分）已知二次函数 的图象如图. （1）求它的对称轴与 轴交点D的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 轴， 轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由. 南通市2023初三数学下学期期中联考试卷(含答案解析)参考答案及评分标准： 证明：（1）∵AC是⊙O的直径 ∴AE⊥BC …………1分 ∵OD∥BC ∴AE⊥OD…………2分 ∴D是 的中点 …………3分 （2）方法一： 如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC …4分 ∴∠AGD=∠B ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD …………5分 又∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO ∴∠DAO=∠B +∠BAD …………6分 方法二： 如图，延长AD交BC于H …4分 则∠ADO=∠AHC ∵∠AHC=∠B +∠BAD …………5分 ∴∠ADO =∠B +∠BAD 又∵OA=OD ∴∠DAO=∠B +∠BAD …………6分 （3） ∵AO=OC ∴ ∵ ∴ …………7分 ∵∠ACD=∠FCE∠ADC=∠FEC=90° ∴△ACD∽△FCE…………………8分 ∴ 即:…………10分 ∴CF=2 …………12分 27．（1）证明：作BC的中垂线MN，在MN上取点P，连接PA、PB、PC、PD， 如图（1）所示，∵MN是BC的中垂线，所以有PA=PD，PC=PB， 又四边形ABCD是矩形，∴AC=DB ∴△PAC≌△PDB（SSS） ……………3分 （2）证明：过点P作KG//BC ，如图（2） ∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC ∴AB⊥KG，DC⊥KG， ∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2 同理，PC2=CG2+PG2 ；PB2= BK2+ PK2，PD2=+DG2+PG2 PA2+PC2= AK2+PK2+ CG2+PG2， ，PB2+ PD2= BK2+ PK2 +DG2+PG2 AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB ，可证得四边形ADGK是矩形， ∴AK=DG，同理CG=BK ， ∴AK2=DG2，CG2=BK2 ∴PA2+PC2=PB2+PD2 ……………6分 （3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3） ∴BC=4，AB=2 ∴ =4×2=8 作直线HI垂直BC于点I，交AD于点H ①当点P在直线AD与BC之间时 即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=4－x ……………8分 ②当点P在直线AD上方时， 即y －x =4，因而y与x的函数关系式为y=4+x …………10分 ③当点P在直线BC下方时， 即x － y =4，因而y与x的函数关系式为y=x－4 ……………12分 28．（本题满分14分） 解: （1）由 得 …………2分 ∴Ｄ（3，0）…………4分 （2）方法一: 如图1, 设平移后的抛物线的解析式为 …………5分 则C OC= 令 即 得 …………6分 ∴A ，B ∴ ………7分 ……………………8分 ∵ 即: 得 (舍去) ……………9分 ∴抛物线的解析式为 ……………10分 方法二: ∵ ∴顶点坐标 设抛物线向上平移h个单位 则得到 ,顶点坐标……………………5分 ∴平移后的抛物线: ……………………6分 当 时, ∴ A B ……………………7分 ∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB ∴ OA?OB……………………8分 解得 , …………9分 ∴平移后的抛物线: …………10分 （3）方法一: 如图2, 由抛物线的解析式 可得 A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M …………11分 过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H 则 ∴ 在Rt△COD中,CD= =AD ∴点C在⊙D上 …………………12分 ∵ ……13分 ∴ ∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM ∴直线CM与⊙D相切 …………14分 方法二: 如图3, 由抛物线的解析式可得 A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M …………11分 作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H 则 , 由勾股定理得 ∵DM∥OC ∴∠MCH=∠EMD ∴Rt△CMH∽Rt△DME …………12分 ∴得 …………13分 由(2)知 ∴⊙D的半径为5 ∴直线CM与⊙D相切 …………14分 | 
